Etude de fonctions avec les racines carrées - Exercice 1

$$f$$ est définie si et seulement si $$x^{2} +2x+6 \ge 0$$
Pour cela, on utilise le discriminant.
$$\Delta=2^2-4\times1\times6$$ ainsi $$\Delta<0$$
Il en résulte qu'il n'y a pas de solutions réelles et l'expression $$x^{2} +2x+6$$ est alors du signe de $$a$$ .
On peut alors conclure que pour tout réel $$x$$, on a : $$x^{2} +2x+6 >0$$
Finalement, le domaine de définition de $$f$$ s'écrit alors : $$Df=\left]-\infty ;+\infty\right[$$ que l'on peut aussi écrire $$Df=\mathbb{R}$$

$$\blue{\text{Il s'agit d'une limite par composition.}}$$
On commence par calculer $$\lim\limits_{x\to {\color{red}+\infty} }x^{2} +2x+6$$. Ainsi : $$\lim\limits_{x\to {\color{red}+\infty} } x^{2} +2x+6 ={\color{blue}+\infty}$$
On pose $$X=x^{2} +2x+6$$. Lorsque $$x$$ tend vers $${\color{red}+\infty}$$ alors $$X$$ tend vers $${\color{blue}+\infty}$$.
Or : $$\lim\limits_{X\to {\color{blue}+\infty}} \sqrt{X }={\color{green}+\infty}$$
Par composition :
$$\purple{\text{Finalement :}}$$ $${\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} f\left(x\right)=+\infty$$

$$\blue{\text{Il s'agit d'une limite par composition.}}$$
On commence par calculer $$\lim\limits_{x\to {\color{red}-\infty} }x^{2} +2x+6$$.
$${\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty }} x^{2} +2x+6={\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty }} x^{2} \left(\frac{x^{2} +2x+6}{x^{2} } \right)$$
$${\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty }} x^{2} +2x+6={\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty }} x^{2} \left(\frac{x^{2} }{x^{2} } +\frac{2x}{x^{2} } +\frac{6}{x^{2} } \right)$$
$${\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty }} x^{2} +2x+6={\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty }} x^{2} \left(1+\frac{2}{x} +\frac{6}{x^{2} } \right)$$
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } x^{2} } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } 1+\frac{2}{x} +\frac{6}{x^{2} } } & {=} & {1} \end{array}\right\}$$ $$\text{\red{par produit :}}$$
$$\purple{\text{Finalement :}}$$
On pose $$X=x^{2} +2x+6$$. Lorsque $$x$$ tend vers $${\color{red}-\infty}$$ alors $$X$$ tend vers $${\color{blue}+\infty}$$.
Or : $$\lim\limits_{X\to {\color{blue}+\infty}} \sqrt{X }={\color{green}+\infty}$$
Par composition :
$$\purple{\text{Finalement :}}$$ $${\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty }} f\left(x\right)=+\infty$$

$$f$$ est dérivable sur $$\mathbb{R}$$On reconnaît ici $$\sqrt{u}$$ où $$u\left(x\right)=x^{2} +2x+6$$. Ainsi $$u'\left(x\right)=2x+2$$.
Il en résulte que :
$$f'\left(x\right)=\frac{2x+2}{2\sqrt{x^{2} +2x+6} }$$
$$f'\left(x\right)=\frac{2\left(x+1\right)}{2\sqrt{x^{2} +2x+6}}$$
$$f'\left(x\right)=\frac{\cancel{ \color{blue}2}\left(x+1\right)}{\cancel{ \color{blue}2}\sqrt{x^{2} +2x+6}}$$
Ainsi :

Il nous faut étudier le signe de $$f'$$ .
D'après la question $$4$$, nous savons que pour tout $$x$$ réel, on a : $$f'\left(x\right)=\frac{x+1}{\sqrt{x^{2} +2x+6} }$$
D'après la question $$1$$, nous avons vu que le signe du dénominateur était strictement positif. Il en résulte donc que le signe de $$f'$$ dépend alors du numérateur $$x+1$$ .
$$x+1\ge 0\Leftrightarrow x\ge -1$$
Cela signifie que l'on va mettre le signe $$+$$ dans la ligne de $$x+1$$ lorsque $$x$$ sera supérieur ou égale à $$-1$$.