Etude de fonctions avec les exponentielles - Exercice 1
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Question 1
Soit h la fonction définie sur [0;+∞[ par h(x)=(x−1)ex+1
Etudier les variations de h.
Correction
Soit h(x)=(x−1)ex+1 h est dérivable sur [0;+∞[ Ici on reconnaît la forme (uv)′=u′v+uv′ avec u(x)=x−1 et v(x)=ex. On note w(x)=1 Ainsi : u′(x)=1 et v′(x)=ex, enfin w′(x)=0 Il vient alors que : h′(x)=ex+(x−1)ex⇔h′(x)=ex(1+x−1) . Pensez à factoriser par ex . Ainsi :
h′(x)=xex
Pour tout réel x≥0, on a ex>0 et x≥0. De plus : h(0)=(0−1)e0+1=0 On en déduit le tableau de variation suivant :
Question 2
En déduire le signe de h sur l'intervalle [0;+∞[ .
Correction
D'après le tableau de variation obtenue à la question 1 :
On vérifie aisément que le minimum de h vaut 0 lorsque x=0. Cela signifie donc que , pour tout réel x∈[0;+∞[, on a : h(x)≥0 .
Question 3
Soit g la fonction définie sur ]0;+∞[ par g(x)=xex−1
Déterminer les limites de g aux bornes de son ensemble de définition.
Dresser le tableau de variation complet de la fonction g.
Correction
Soit g(x)=xex−1 g est dérivable sur ]0;+∞[ Ici on reconnaît la forme (vu)′=v2u′v−uv′ avec u(x)=ex−1 et v(x)=x. Ainsi u′(x)=ex et v′(x)=1. Il vient alors que g′(x)=x2ex×x−(ex−1)×1 g′(x)=x2xex−ex+1 g′(x)=x2ex(x−1)+1 g′(x)=x2h(x) Pour tout réel x∈]0;+∞[ , on vérifie aisément que x2>0 et d'après la question 2 nous savons que h(x)≥0. On en déduit le tableau de variation de g, ci dessous :
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