Deux exercices bien sympa sur les calculs de limites quand $$x$$ tend vers un réel : $${\color{blue}{\lim\limits_{ \begin{array}{l} {x\to a} \\ {x<a}\end{array}}f\left(x\right)}}$$ et $${\color{red}{\lim\limits_{ \begin{array}{l} {x\to a} \\ {x>a} \end{array} }f\left(x\right)}}$$ - Exercice 2

$$f$$ est une fonction rationnelle.
$$f$$ est définie pour tout réel $$x$$ tel que le dénominateur $$\red{\text{ne s'annule pas .}}$$
Le dénominateur ici est $$\left(x-4\right)^{2}$$.
$$f$$ est définie pour tout réel $$x$$ tel $$\left(x-4\right)^{2}\ne0$$ d'où :
$$x-4\ne 0 \Rightarrow x\ne 4$$
L'ensemble de définition de la fonction $$f$$ est $$D=\left]-\infty ;4\right[\cup \left]4;+\infty \right[$$ .

$$\left. \begin{array}{ccc} {{\mathop{\lim }\limits_{\begin{array}{l} {x\to 4} \\ {x<4} \end{array}}} 2x^{2} -2x-24} & {=} & {0 } \\ {{\mathop{\lim }\limits_{\begin{array}{l} {x\to 4} \\ {x<4} \end{array}}} \left(x-4\right)^{2}} & {=} & {0 } \end{array}\right\}$$ on obtient une forme indéterminée $$\frac{0 }{0}$$
Dans ce genre de situation, il faut penser à factoriser soit le numérateur soit le dénominateur .

Le dénominateur est déjà un polynôme factorisé du second degré.

Le numérateur est un polynôme du second degré, nous allons le factoriser en utilisant le discriminant.

Résolvons $$2x^{2} -2x+5=0$$ . Nous obtiendrons $$\Delta=196$$ ; $$x_{1}=4$$ et $$x_{2}=-3$$ .
Il en résulte donc que la forme factorisée de $$2x^{2} -2x-24$$ s'écrit alors $$2\left(x-4\right)\left(x+3 \right)$$
Ainsi :
$${\mathop{\lim }\limits_{\begin{array}{l} {x\to 4} \\ {x<4} \end{array}}} \frac{2x^{2} -2x-24}{\left(x-4\right)^{2} } ={\mathop{\lim }\limits_{\begin{array}{l} {x\to 4} \\ {x<4} \end{array}}} \frac{2\left(x-4\right)\left(x+3\right)}{\left(x-4\right)^{2} }$$ . Nous allons maintenant pouvoir simplifier le numérateur et le dénominateur par $$\left(x-4\right)$$
$${\mathop{\lim }\limits_{\begin{array}{l} {x\to 4} \\ {x<4} \end{array}}} \frac{2x^{2} -2x-24}{\left(x-4\right)^{2} } ={\mathop{\lim }\limits_{\begin{array}{l} {x\to 4} \\ {x<4} \end{array}}} \frac{2\left(x+3\right)}{x-4}$$
Il vient alors que :
$$\left. \begin{array}{ccc} {{\mathop{\lim }\limits_{\begin{array}{l} {x\to 4} \\ {x<4} \end{array}}} 2\left(x+3\right)} & {=} & {14} \\ {{\mathop{\lim }\limits_{\begin{array}{l} {x\to 4} \\ {x<4} \end{array}}} x-4} & {=} & {0^{-} } \end{array}\right\}$$ par quotient $${\mathop{\lim }\limits_{\begin{array}{l} {x\to 4} \\ {x<4} \end{array}}} \frac{2\left(x+3\right)}{x-4} =-\infty$$
Finalement :