Deux exercices bien sympa sur les calculs de limites quand $$x$$ tend vers un réel : $${\color{blue}{\lim\limits_{ \begin{array}{l} {x\to a} \\ {x<a}\end{array}}f\left(x\right)}}$$ et $${\color{red}{\lim\limits_{ \begin{array}{l} {x\to a} \\ {x>a} \end{array} }f\left(x\right)}}$$ - Exercice 1

$$f$$ est une fonction rationnelle.
$$f$$ est définie pour tout réel $$x$$ tel que le dénominateur $$\red{\text{ne s'annule pas .}}$$
Le dénominateur ici est $$x-1$$.
$$f$$ est définie pour tout réel $$x$$ tel $$x-1\ne0$$ d'où : $$x\ne 1$$
L'ensemble de définition de la fonction $$f$$ est $$D=\left]-\infty ;1\right[\cup \left]1;+\infty \right[$$ .

$$\left. \begin{array}{ccc} {{\mathop{\lim }\limits_{\begin{array}{l} {x\to 1} \\ {x>1} \end{array}}} x^{2}-6x+5} & {=} & {0 } \\ {{\mathop{\lim }\limits_{\begin{array}{l} {x\to 1} \\ {x>1} \end{array}}} x-1} & {=} & {0 } \end{array}\right\}$$ on obtient une forme indéterminée $$\frac{0 }{0}$$
Dans ce genre de situation, il faut penser à factoriser soit le numérateur soit le dénominateur .

Le dénominateur étant un polynôme du premier degré, nous ne pouvons donc pas le factoriser.

Le numérateur est un polynôme du second degré, nous allons le factoriser en utilisant le discriminant.

Résolvons $$x^{2} -6x+5=0$$ . Nous obtiendrons $$\Delta=16$$ ; $$x_{1}=1$$ et $$x_{2}=5$$ .
Il en résulte donc que la forme factorisée de $$x^{2} -6x+5$$ s'écrit alors $$\left(x-1 \right)\left(x-5 \right)$$
Il en résulte donc que :
$${\mathop{\lim }\limits_{\begin{array}{l} {x\to 1} \\ {x>1} \end{array}}} \frac{x^{2} -6x+5}{x-1}={\mathop{\lim }\limits_{\begin{array}{l} {x\to 1} \\ {x>1} \end{array}}} \frac{\left(x-1 \right)\left(x-5 \right)}{x-1}$$ . Nous allons maintenant pouvoir simplifier le numérateur et le dénominateur par $$\left(x-1\right)$$
$${\mathop{\lim }\limits_{\begin{array}{l} {x\to 1} \\ {x>1} \end{array}}} \frac{x^{2} -6x+5}{x-1}={\mathop{\lim }\limits_{\begin{array}{l} {x\to 1} \\ {x>1} \end{array}}} x-5$$
Ainsi :