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Deux exercices bien sympa sur les calculs de limites quand xx tend vers un réel : limxax<af(x){\color{blue}{\lim\limits_{ \begin{array}{l} {x\to a} \\ {x<a}\end{array}}f\left(x\right)}} et limxax>af(x){\color{red}{\lim\limits_{ \begin{array}{l} {x\to a} \\ {x>a} \end{array} }f\left(x\right)}} - Exercice 1

10 min
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On considère la fonction f(x)=x26x+5x1f\left(x\right)=\frac{x^{2} -6x+5}{x-1}
Question 1

Déterminer le domaine de définition de ff .

Correction
ff est une fonction rationnelle.
ff est définie pour tout réel xx tel que le dénominateur ne s’annule pas .\red{\text{ne s'annule pas .}}
Le dénominateur ici est x1x-1.
ff est définie pour tout réel xx tel x10x-1\ne0 d'où : x1x\ne 1
L'ensemble de définition de la fonction ff est D=];1[]1;+[D=\left]-\infty ;1\right[\cup \left]1;+\infty \right[ .
Question 2

Calculer limx1x>1f(x){\mathop{\lim }\limits_{\begin{array}{l} {x\to 1} \\ {x>1} \end{array}}} f\left(x\right)

Correction
limx1x>1x26x+5=0limx1x>1x1=0}\left. \begin{array}{ccc} {{\mathop{\lim }\limits_{\begin{array}{l} {x\to 1} \\ {x>1} \end{array}}} x^{2}-6x+5} & {=} & {0 } \\ {{\mathop{\lim }\limits_{\begin{array}{l} {x\to 1} \\ {x>1} \end{array}}} x-1} & {=} & {0 } \end{array}\right\} on obtient une forme indéterminée 00\frac{0 }{0}
Dans ce genre de situation, il faut penser à factoriser soit le numérateur soit le dénominateur .
  • Le dénominateur étant un polynôme du premier degré, nous ne pouvons donc pas le factoriser.
  • Le numérateur est un polynôme du second degré, nous allons le factoriser en utilisant le discriminant.
  • Forme factorisée d'un trinôme du second degré.
    • Si Δ>0\Delta >0 et que nous connaissons les racines x1x{}_{1} et x2x{}_{2} , alors la factorisation est de la forme a(xx1)(xx2)a\left(x-x_{1} \right)\left(x-x_{2} \right).
    • Si Δ=0\Delta =0 et que nous connaissons la racine x0x{}_{0} , alors la factorisation est de la forme a(xx0)2a\left(x-x_{0} \right)^{2} .
    • Si Δ<0\Delta <0, on ne peut pas factoriser la fonction ff dans R\mathbb{R}.
    Résolvons x26x+5=0x^{2} -6x+5=0 . Nous obtiendrons Δ=16\Delta=16 ; x1=1x_{1}=1 et x2=5x_{2}=5 .
    Il en résulte donc que la forme factorisée de x26x+5x^{2} -6x+5 s'écrit alors (x1)(x5)\left(x-1 \right)\left(x-5 \right)
    Il en résulte donc que :
    limx1x>1x26x+5x1=limx1x>1(x1)(x5)x1{\mathop{\lim }\limits_{\begin{array}{l} {x\to 1} \\ {x>1} \end{array}}} \frac{x^{2} -6x+5}{x-1}={\mathop{\lim }\limits_{\begin{array}{l} {x\to 1} \\ {x>1} \end{array}}} \frac{\left(x-1 \right)\left(x-5 \right)}{x-1} . Nous allons maintenant pouvoir simplifier le numérateur et le dénominateur par (x1)\left(x-1\right)
    limx1x>1x26x+5x1=limx1x>1x5{\mathop{\lim }\limits_{\begin{array}{l} {x\to 1} \\ {x>1} \end{array}}} \frac{x^{2} -6x+5}{x-1}={\mathop{\lim }\limits_{\begin{array}{l} {x\to 1} \\ {x>1} \end{array}}} x-5
    Ainsi :
    limx1x>1x26x+5x1=4{\mathop{\lim }\limits_{\begin{array}{l} {x\to 1} \\ {x>1} \end{array}}} \frac{x^{2} -6x+5}{x-1}=-4