Vers la Prépas (7) - Exercice 1

$$\forall n \in \mathbb{N}$$, on pose :
$$I_n = \int_0^{\frac{\pi}{2}} x^2 \sin(nx) \, dx$$
En intégrant par parties, on trouve que :
$$I_n = \left[x^2 \times \dfrac{-1}{n} \cos(nx) \right]_0^{\frac{\pi}{2}} + \dfrac{2}{n}\int_0^{\frac{\pi}{2}} x \cos(nx) \, dx$$
Soit :
$$I_n = -\dfrac{1}{n} \left( \frac{\pi}{2} \right)^2 \times \cos\left(n\frac{\pi}{2}\right) + \dfrac{2}{n}\int_0^{\frac{\pi}{2}} x \cos(nx) \, dx$$
D'où :
$$I_n = - \frac{\pi^2}{4n} \cos\left(\frac{n\pi}{2}\right) + \dfrac{2}{n}\int_0^{\frac{\pi}{2}} x \cos(nx) \, dx$$
De plus, en intégrant de nouveau par parties, on trouve que :
$$\int_0^{\frac{\pi}{2}} x \cos(nx) \, dx = \left[x \times \dfrac{1}{n} \sin(nx) \right]_0^{\frac{\pi}{2}} - \dfrac{1}{n}\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin(nx) \, dx$$
Soit :
$$\int_0^{\frac{\pi}{2}} x \cos(nx) \, dx = \frac{\pi}{2} \times \dfrac{1}{n} \sin\left(n\frac{\pi}{2}\right) - \dfrac{1}{n} \left[-\dfrac{1}{n} \cos(nx) \right]_0^{\frac{\pi}{2}}$$
D'où :
$$\int_0^{\frac{\pi}{2}} x \cos(nx) \, dx = \frac{\pi}{2n} \sin\left(n\frac{\pi}{2}\right) + \dfrac{1}{n^2} \left( \cos\left(\frac{n\pi}{2}\right) -1 \right)$$
Ce qui implique que :
$$I_n = - \frac{\pi^2}{4n} \cos\left(\frac{n\pi}{2}\right) + \dfrac{2}{n} \left( \frac{\pi}{2n} \sin\left(n\frac{\pi}{2}\right) + \dfrac{1}{n^2} \left( \cos\left(\frac{n\pi}{2}\right) -1 \right) \right)$$
Ce qui nous donne finalement :
$$I_n = - \frac{\pi^2}{4n} \cos\left(\frac{n\pi}{2}\right) + \frac{\pi}{n^2} \sin\left(\frac{n\pi}{2}\right) + \dfrac{2}{n^3} \left( \cos\left(\frac{n\pi}{2}\right) -1 \right)$$

Dans l'expression précédente, tous les termes trigonométriques sont oscillants. C'est pourquoi nous allons majorer chacun des trois termes pour pouvoir majorer $$I_n$$ par une majoration de $$| I_n |$$, et ainsi en déterminer la limite. On a alors :
$$| I_n | \leq \frac{\pi^2}{4n} + \frac{\pi}{n^2} + \dfrac{2}{n^3}$$
Ainsi, on en déduit que :
$$\lim_{x \longrightarrow + \infty} | I_n | \leq \lim_{x \longrightarrow + \infty} \frac{\pi^2}{4n} + \frac{\pi}{n^2} + \dfrac{2}{n^3}$$
Ce qui nous donne :
$$\lim_{x \longrightarrow + \infty} | I_n | \leq \frac{\pi^2}{4} \lim_{x \longrightarrow + \infty} \frac{1}{n} + \lim_{x \longrightarrow + \pi \infty}\frac{1}{n^2} + 2 \lim_{x \longrightarrow + \infty} \dfrac{1}{n^3} \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \lim_{x \longrightarrow + \infty} | I_n | \leq 0$$
Ce qui implique automatiquement que :
$$\lim_{x \longrightarrow + \infty} I_n = 0$$