Intégration : en route vers le supérieur

Vers la Prépas (7) - Exercice 1

1 h
90
Un exercice, esprit Prépa, qui nécessite des prises d'initiatives et de la dextérité technique.
Question 1
nN\forall n \in \mathbb{N}, on pose :
In=0π2x2sin(nx)dxI_n = \int_0^{\frac{\pi}{2}} x^2 \sin(nx) \, dx

Calculer InI_n en fonction de nn.

Correction
nN\forall n \in \mathbb{N}, on pose :
In=0π2x2sin(nx)dxI_n = \int_0^{\frac{\pi}{2}} x^2 \sin(nx) \, dx
En intégrant par parties, on trouve que :
In=[x2×1ncos(nx)]0π2+2n0π2xcos(nx)dxI_n = \left[x^2 \times \dfrac{-1}{n} \cos(nx) \right]_0^{\frac{\pi}{2}} + \dfrac{2}{n}\int_0^{\frac{\pi}{2}} x \cos(nx) \, dx
Soit :
In=1n(π2)2×cos(nπ2)+2n0π2xcos(nx)dxI_n = -\dfrac{1}{n} \left( \frac{\pi}{2} \right)^2 \times \cos\left(n\frac{\pi}{2}\right) + \dfrac{2}{n}\int_0^{\frac{\pi}{2}} x \cos(nx) \, dx
D'où :
In=π24ncos(nπ2)+2n0π2xcos(nx)dxI_n = - \frac{\pi^2}{4n} \cos\left(\frac{n\pi}{2}\right) + \dfrac{2}{n}\int_0^{\frac{\pi}{2}} x \cos(nx) \, dx
De plus, en intégrant de nouveau par parties, on trouve que :
0π2xcos(nx)dx=[x×1nsin(nx)]0π21n0π2sin(nx)dx\int_0^{\frac{\pi}{2}} x \cos(nx) \, dx = \left[x \times \dfrac{1}{n} \sin(nx) \right]_0^{\frac{\pi}{2}} - \dfrac{1}{n}\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin(nx) \, dx
Soit :
0π2xcos(nx)dx=π2×1nsin(nπ2)1n[1ncos(nx)]0π2\int_0^{\frac{\pi}{2}} x \cos(nx) \, dx = \frac{\pi}{2} \times \dfrac{1}{n} \sin\left(n\frac{\pi}{2}\right) - \dfrac{1}{n} \left[-\dfrac{1}{n} \cos(nx) \right]_0^{\frac{\pi}{2}}
D'où :
0π2xcos(nx)dx=π2nsin(nπ2)+1n2(cos(nπ2)1)\int_0^{\frac{\pi}{2}} x \cos(nx) \, dx = \frac{\pi}{2n} \sin\left(n\frac{\pi}{2}\right) + \dfrac{1}{n^2} \left( \cos\left(\frac{n\pi}{2}\right) -1 \right)
Ce qui implique que :
In=π24ncos(nπ2)+2n(π2nsin(nπ2)+1n2(cos(nπ2)1))I_n = - \frac{\pi^2}{4n} \cos\left(\frac{n\pi}{2}\right) + \dfrac{2}{n} \left( \frac{\pi}{2n} \sin\left(n\frac{\pi}{2}\right) + \dfrac{1}{n^2} \left( \cos\left(\frac{n\pi}{2}\right) -1 \right) \right)
Ce qui nous donne finalement :
In=π24ncos(nπ2)+πn2sin(nπ2)+2n3(cos(nπ2)1)I_n = - \frac{\pi^2}{4n} \cos\left(\frac{n\pi}{2}\right) + \frac{\pi}{n^2} \sin\left(\frac{n\pi}{2}\right) + \dfrac{2}{n^3} \left( \cos\left(\frac{n\pi}{2}\right) -1 \right)
Question 2

Déterminer la limite de (In)nN(I_n)_{n \in \mathbb{N}} lorsque nn tend vers ++\infty.

Correction
Dans l'expression précédente, tous les termes trigonométriques sont oscillants. C'est pourquoi nous allons majorer chacun des trois termes pour pouvoir majorer InI_n par une majoration de In| I_n |, et ainsi en déterminer la limite. On a alors :
Inπ24n+πn2+2n3| I_n | \leq \frac{\pi^2}{4n} + \frac{\pi}{n^2} + \dfrac{2}{n^3}
Ainsi, on en déduit que :
limx+Inlimx+π24n+πn2+2n3\lim_{x \longrightarrow + \infty} | I_n | \leq \lim_{x \longrightarrow + \infty} \frac{\pi^2}{4n} + \frac{\pi}{n^2} + \dfrac{2}{n^3}
Ce qui nous donne :
limx+Inπ24limx+1n+limx+π1n2+2limx+1n3limx+In0\lim_{x \longrightarrow + \infty} | I_n | \leq \frac{\pi^2}{4} \lim_{x \longrightarrow + \infty} \frac{1}{n} + \lim_{x \longrightarrow + \pi \infty}\frac{1}{n^2} + 2 \lim_{x \longrightarrow + \infty} \dfrac{1}{n^3} \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \lim_{x \longrightarrow + \infty} | I_n | \leq 0
Ce qui implique automatiquement que :
limx+In=0\lim_{x \longrightarrow + \infty} I_n = 0