Vers la Prépa (9) - Exercice 1

On pose, $$\forall n \in \mathbb{N}^*$$ : $$I_n = \int_{1}^{e} (\ln t)^n \, dt$$
L'intégrale $$I_1$$ vaut :
$$I_1 = \int_{1}^{e} (\ln t)^1 \, dt = \int_{1}^{e} \ln t \, dt = [t \ln t - t]_{1}^{e} = (e \ln e - e) - (1 \ln 1 - 1) = (0)- (-1)$$
Soit :
$$I_1 = 1$$

On a $$I_{n+1}$$ qui est :
$$I_{n+1} = \int_{1}^{e} (\ln t)^{n+1} \, dt = I_{n+1} = \int_{1}^{e} 1 \times (\ln t)^{n+1} \, dt$$
Donc, en intégrant par parties, on obtient :
$$I_{n+1} = \int_{1}^{e} \begin{array}{c c c} t & & \\ \uparrow & & \\ 1 & \times & (\ln t)^{n+1} \\ & & \downarrow \\ & & (n+1) \dfrac{1}{t} (\ln t)^{n} \\ \end{array}\, dx$$
Ce qui nous donne :
$$I_{n+1} = \left[ t (\ln t)^{n+1} \right]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} t \times (n+1) \dfrac{1}{t} (\ln t)^{n} \, dt = e - (n+1) \int_{1}^{e} (\ln t)^{n} \, dt$$
Finalement, on trouve que :
$$I_{n+1} = e - (n+1) I_n$$

D'après la question précédente, on en déduit que :
$$I_2 = e - 2I_1 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, I_2 = e - 2 \times 1$$
Finalement, on obtient :
$$I_2 = e - 2$$
Puis, on a :
$$I_3 = e - 3I_2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, I_3 = e - 3 (e-2) \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, I_3 = e - 3e + 6$$
Finalement, on obtient :
$$I_3 = 6 - 2 e \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, I_3 = 2 (3 - e)$$

Afin de démontrer la relation proposée, utilisons un raisonnement par récurrence. On a alors $$\forall n \in \mathbb{N}^*$$ la propriété $$P$$ suivante :
$$P(n) \, : \, I_n = e \left( \sum_{k=0}^{k=n-1} (-1)^k \dfrac{n \, !}{(n-k) \, !}\right) +(-1)^n n\, ! \, (e-1)$$
On a alors :
$$\,\, \bullet \,\,$$ L'initialisation
Si $$n = 1$$, on sait que $$I_1 = 1$$. Et on a également :
$$e \left( \sum_{k=0}^{k=1-1} (-1)^k \dfrac{1 \, !}{(1-k) \, !}\right) +(-1)^1 1\, ! \, (e-1) = e \left( \sum_{k=0}^{k=0} (-1)^k \dfrac{1}{(1-k) \, !}\right) - \, (e-1)$$
Donc, la variable $$k$$ de somme ne prend qu'une seule valeur possible, à savoir $$k=0$$. Ainsi, on a :
$$e \left( (-1)^0 \dfrac{1}{(1-0) \, !}\right) - \, (e-1) = e \left( 1 \right) - \, (e-1) = e -e + 1$$
Dès lors, on trouve que :
$$e \left( \sum_{k=0}^{k=1-1} (-1)^k \dfrac{1 \, !}{(1-k) \, !}\right) +(-1)^1 1\, ! \, (e-1) = 1$$
Finalement, on a bien :
$$I_1 = e \left( \sum_{k=0}^{k=1-1} (-1)^k \dfrac{1 \, !}{(1-k) \, !}\right) +(-1)^1 1\, ! \, (e-1)$$
Ainsi, $$P(1)$$ est vrai.
$$\,\, \bullet \,\,$$ La transmission
On a :
$$I_{n+1} = e - (n+1) I_n$$
Supposons que $$P(n)$$ soit vrai, dans ce cas, on peut écrire que :
$$I_{n+1} = e - (n+1) \left[ e \left( \sum_{k=0}^{k=n-1} (-1)^k \dfrac{n \, !}{(n-k) \, !}\right) +(-1)^n n\, ! \, (e-1) \right]$$
Ce qui nous donne encore :
$$I_{n+1} = e - e \left( \sum_{k=0}^{k=n-1} (-1)^k \dfrac{(n+1) n \, !}{(n-k) \, !}\right) - (-1)^n (n+1) n\, ! \, (e-1)$$
D'où :
$$I_{n+1} = e \left( 1 - \left( \sum_{k=0}^{k=n-1} (-1)^k \dfrac{(n+1) \, !}{(n-k) \, !}\right) \right) -(-1)^n (n+1) \, ! \, (e-1)$$
Afin de l'addition dans le symbole de sommation, on va alors écrire que :
$$I_{n+1} = e \left( 1 + \left( \sum_{k=0}^{k=n-1} (-1) (-1)^k \dfrac{(n+1) \, !}{(n-k) \, !}\right) \right) + (-1)(-1)^n (n+1) \, ! \, (e-1)$$
D'où :
$$I_{n+1} = e \left( 1 + \sum_{k=0}^{k=n-1} (-1)^{k+1} \dfrac{(n+1) \, !}{(n-k) \, !} \right) + (-1)^{n+1} (n+1) \, ! \, (e-1)$$
Pour transformer le terme $$(-1)^{k+1}$$ en $$(-1)^{K}$$, on va poser $$K=k+1$$ ce qui implique que $$k=K-1$$. Et de ce fait, si $$k$$ va de $$0$$ jusqu'à $$n-1$$ alors $$K$$ va de $$1$$ jusqu'à $$n$$. Ainsi, on obtient :
$$I_{n+1} = e \left( 1 + \sum_{K=1}^{K=n} (-1)^{K} \dfrac{(n+1) \, !}{(n-K+1) \, !} \right) +(-1)^{n+1} (n+1) \, ! \, (e-1)$$
Or, on a :
$$1 = (-1)^{0} \dfrac{(n+1) \, !}{(n-0+1) \, !}$$
D'où l'écriture suivante :
$$I_{n+1} = e \left( (-1)^{0} \dfrac{(n+1) \, !}{(n-0+1) \, !} + \sum_{K=1}^{K=n} (-1)^{K} \dfrac{(n+1) \, !}{(n-K+1) \, !} \right) +(-1)^{n+1} (n+1) \, ! \, (e-1)$$
Soit encore :
$$I_{n+1} = e \left( \sum_{K=0}^{K=n} (-1)^{K} \dfrac{(n+1) \, !}{(n-K+1) \, !} \right) +(-1)^{n+1} (n+1) \, ! \, (e-1)$$
Qui par petits réarrangements d'écritures va s'écrire :
$$I_{n+1} = e \left( \sum_{K=0}^{K=[n+1]-1} (-1)^{K} \dfrac{[n+1] \, !}{([n+1]-K) \, !} \right) +(-1)^{[n+1]} [n+1] \, ! \, (e-1)$$
Donc, en supposant ue la propriété $$P(n)$$ est vrai, on démontre que la propriété $$P(n+1)$$ s'en déduit automatiquement, et est donc également vrai.
$$\,\, \bullet \,\,$$ La conclusion
En vertu des axiomes de la récurrences, on peu conclure que la propriété $$P(n)$$ est vrai, quelque soit l'entier naturel $$n$$ supérieur ou égal à $$1$$. Finalement, on a bien la relation :
$$I_n = e \left( \sum_{k=0}^{k=n-1} (-1)^k \dfrac{n \, !}{(n-k) \, !}\right) +(-1)^n n\, ! \, (e-1)$$