Intégration : en route vers le supérieur

Vers la Prépa (9) - Exercice 1

2 h
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Un exercice technique et qui demande de la technicité calculatoire, de la prise d'initiative et de la réflexion. Une belle initiation aux exigences liées à l'enseignement supérieur.
Question 1
On pose, ∀n∈N∗\forall n \in \mathbb{N}^* :
In=∫1e(ln⁡t)n dtI_n = \int_{1}^{e} (\ln t)^n \, dt

Calculer l'intégrale I1I_1.

Correction
On pose, ∀n∈N∗\forall n \in \mathbb{N}^* : In=∫1e(ln⁡t)n dtI_n = \int_{1}^{e} (\ln t)^n \, dt
L'intégrale I1I_1 vaut :
I1=∫1e(ln⁡t)1 dt=∫1eln⁡t dt=[tln⁡t−t]1e=(eln⁡e−e)−(1ln⁡1−1)=(0)−(−1)I_1 = \int_{1}^{e} (\ln t)^1 \, dt = \int_{1}^{e} \ln t \, dt = [t \ln t - t]_{1}^{e} = (e \ln e - e) - (1 \ln 1 - 1) = (0)- (-1)
Soit :
I1=1I_1 = 1
Question 2

Établir une relation de récurrence entre InI_n et In+1I_{n+1}.

Correction
On a In+1I_{n+1} qui est :
In+1=∫1e(ln⁡t)n+1 dt=In+1=∫1e1×(ln⁡t)n+1 dtI_{n+1} = \int_{1}^{e} (\ln t)^{n+1} \, dt = I_{n+1} = \int_{1}^{e} 1 \times (\ln t)^{n+1} \, dt
Donc, en intégrant par parties, on obtient :
In+1=∫1et↑1×(ln⁡t)n+1↓(n+1)1t(ln⁡t)n dxI_{n+1} = \int_{1}^{e} \begin{array}{c c c} t & & \\ \uparrow & & \\ 1 & \times & (\ln t)^{n+1} \\ & & \downarrow \\ & & (n+1) \dfrac{1}{t} (\ln t)^{n} \\ \end{array}\, dx
Ce qui nous donne :
In+1=[t(ln⁡t)n+1]1e−∫1et×(n+1)1t(ln⁡t)n dt=e−(n+1)∫1e(ln⁡t)n dtI_{n+1} = \left[ t (\ln t)^{n+1} \right]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} t \times (n+1) \dfrac{1}{t} (\ln t)^{n} \, dt = e - (n+1) \int_{1}^{e} (\ln t)^{n} \, dt
Finalement, on trouve que :
In+1=e−(n+1)InI_{n+1} = e - (n+1) I_n
Question 3

En déduire I2I_2 et I3I_3.

Correction
D'après la question précédente, on en déduit que :
I2=e−2I1    ⟺    I2=e−2×1I_2 = e - 2I_1 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, I_2 = e - 2 \times 1
Finalement, on obtient :
I2=e−2I_2 = e - 2
Puis, on a :
I3=e−3I2    ⟺    I3=e−3(e−2)    ⟺    I3=e−3e+6I_3 = e - 3I_2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, I_3 = e - 3 (e-2) \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, I_3 = e - 3e + 6
Finalement, on obtient :
I3=6−2e    ⟺    I3=2(3−e)I_3 = 6 - 2 e \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, I_3 = 2 (3 - e)
Question 4

Démontrer que, ∀n∈N∗\forall n \in \mathbb{N}^*, l'on a : In=e(∑k=0k=n−1(−1)kn !(n−k) !)+(−1)nn ! (e−1)I_n = e \left( \sum_{k=0}^{k=n-1} (-1)^k \dfrac{n \, !}{(n-k) \, !}\right) +(-1)^n n\, ! \, (e-1)

Correction
Afin de démontrer la relation proposée, utilisons un raisonnement par récurrence. On a alors ∀n∈N∗\forall n \in \mathbb{N}^* la propriété PP suivante :
P(n) : In=e(∑k=0k=n−1(−1)kn !(n−k) !)+(−1)nn ! (e−1)P(n) \, : \, I_n = e \left( \sum_{k=0}^{k=n-1} (-1)^k \dfrac{n \, !}{(n-k) \, !}\right) +(-1)^n n\, ! \, (e-1)
On a alors :
  ∙  \,\, \bullet \,\, L'initialisation
Si n=1n = 1, on sait que I1=1I_1 = 1 . Et on a également :
e(∑k=0k=1−1(−1)k1 !(1−k) !)+(−1)11 ! (e−1)=e(∑k=0k=0(−1)k1(1−k) !)− (e−1)e \left( \sum_{k=0}^{k=1-1} (-1)^k \dfrac{1 \, !}{(1-k) \, !}\right) +(-1)^1 1\, ! \, (e-1) = e \left( \sum_{k=0}^{k=0} (-1)^k \dfrac{1}{(1-k) \, !}\right) - \, (e-1)
Donc, la variable kk de somme ne prend qu'une seule valeur possible, à savoir k=0k=0. Ainsi, on a :
e((−1)01(1−0) !)− (e−1)=e(1)− (e−1)=e−e+1e \left( (-1)^0 \dfrac{1}{(1-0) \, !}\right) - \, (e-1) = e \left( 1 \right) - \, (e-1) = e -e + 1
Dès lors, on trouve que :
e(∑k=0k=1−1(−1)k1 !(1−k) !)+(−1)11 ! (e−1)=1e \left( \sum_{k=0}^{k=1-1} (-1)^k \dfrac{1 \, !}{(1-k) \, !}\right) +(-1)^1 1\, ! \, (e-1) = 1
Finalement, on a bien :
I1=e(∑k=0k=1−1(−1)k1 !(1−k) !)+(−1)11 ! (e−1)I_1 = e \left( \sum_{k=0}^{k=1-1} (-1)^k \dfrac{1 \, !}{(1-k) \, !}\right) +(-1)^1 1\, ! \, (e-1)
Ainsi, P(1)P(1) est vrai.
  ∙  \,\, \bullet \,\, La transmission
On a :
In+1=e−(n+1)InI_{n+1} = e - (n+1) I_n
Supposons que P(n)P(n) soit vrai, dans ce cas, on peut écrire que :
In+1=e−(n+1)[e(∑k=0k=n−1(−1)kn !(n−k) !)+(−1)nn ! (e−1)]I_{n+1} = e - (n+1) \left[ e \left( \sum_{k=0}^{k=n-1} (-1)^k \dfrac{n \, !}{(n-k) \, !}\right) +(-1)^n n\, ! \, (e-1) \right]
Ce qui nous donne encore :
In+1=e−e(∑k=0k=n−1(−1)k(n+1)n !(n−k) !)−(−1)n(n+1)n ! (e−1)I_{n+1} = e - e \left( \sum_{k=0}^{k=n-1} (-1)^k \dfrac{(n+1) n \, !}{(n-k) \, !}\right) - (-1)^n (n+1) n\, ! \, (e-1)
D'où :
In+1=e(1−(∑k=0k=n−1(−1)k(n+1) !(n−k) !))−(−1)n(n+1) ! (e−1)I_{n+1} = e \left( 1 - \left( \sum_{k=0}^{k=n-1} (-1)^k \dfrac{(n+1) \, !}{(n-k) \, !}\right) \right) -(-1)^n (n+1) \, ! \, (e-1)
Afin de l'addition dans le symbole de sommation, on va alors écrire que :
In+1=e(1+(∑k=0k=n−1(−1)(−1)k(n+1) !(n−k) !))+(−1)(−1)n(n+1) ! (e−1)I_{n+1} = e \left( 1 + \left( \sum_{k=0}^{k=n-1} (-1) (-1)^k \dfrac{(n+1) \, !}{(n-k) \, !}\right) \right) + (-1)(-1)^n (n+1) \, ! \, (e-1)
D'où :
In+1=e(1+∑k=0k=n−1(−1)k+1(n+1) !(n−k) !)+(−1)n+1(n+1) ! (e−1)I_{n+1} = e \left( 1 + \sum_{k=0}^{k=n-1} (-1)^{k+1} \dfrac{(n+1) \, !}{(n-k) \, !} \right) + (-1)^{n+1} (n+1) \, ! \, (e-1)
Pour transformer le terme (−1)k+1(-1)^{k+1} en (−1)K(-1)^{K}, on va poser K=k+1K=k+1 ce qui implique que k=K−1k=K-1. Et de ce fait, si kk va de 00 jusqu'à n−1n-1 alors KK va de 11 jusqu'à nn. Ainsi, on obtient :
In+1=e(1+∑K=1K=n(−1)K(n+1) !(n−K+1) !)+(−1)n+1(n+1) ! (e−1)I_{n+1} = e \left( 1 + \sum_{K=1}^{K=n} (-1)^{K} \dfrac{(n+1) \, !}{(n-K+1) \, !} \right) +(-1)^{n+1} (n+1) \, ! \, (e-1)
Or, on a :
1=(−1)0(n+1) !(n−0+1) !1 = (-1)^{0} \dfrac{(n+1) \, !}{(n-0+1) \, !}
D'où l'écriture suivante :
In+1=e((−1)0(n+1) !(n−0+1) !+∑K=1K=n(−1)K(n+1) !(n−K+1) !)+(−1)n+1(n+1) ! (e−1)I_{n+1} = e \left( (-1)^{0} \dfrac{(n+1) \, !}{(n-0+1) \, !} + \sum_{K=1}^{K=n} (-1)^{K} \dfrac{(n+1) \, !}{(n-K+1) \, !} \right) +(-1)^{n+1} (n+1) \, ! \, (e-1)
Soit encore :
In+1=e(∑K=0K=n(−1)K(n+1) !(n−K+1) !)+(−1)n+1(n+1) ! (e−1)I_{n+1} = e \left( \sum_{K=0}^{K=n} (-1)^{K} \dfrac{(n+1) \, !}{(n-K+1) \, !} \right) +(-1)^{n+1} (n+1) \, ! \, (e-1)
Qui par petits réarrangements d'écritures va s'écrire :
In+1=e(∑K=0K=[n+1]−1(−1)K[n+1] !([n+1]−K) !)+(−1)[n+1][n+1] ! (e−1)I_{n+1} = e \left( \sum_{K=0}^{K=[n+1]-1} (-1)^{K} \dfrac{[n+1] \, !}{([n+1]-K) \, !} \right) +(-1)^{[n+1]} [n+1] \, ! \, (e-1)
Donc, en supposant ue la propriété P(n)P(n) est vrai, on démontre que la propriété P(n+1)P(n+1) s'en déduit automatiquement, et est donc également vrai.
  ∙  \,\, \bullet \,\, La conclusion
En vertu des axiomes de la récurrences, on peu conclure que la propriété P(n)P(n) est vrai, quelque soit l'entier naturel nn supérieur ou égal à 11. Finalement, on a bien la relation :
In=e(∑k=0k=n−1(−1)kn !(n−k) !)+(−1)nn ! (e−1)I_n = e \left( \sum_{k=0}^{k=n-1} (-1)^k \dfrac{n \, !}{(n-k) \, !}\right) +(-1)^n n\, ! \, (e-1)