Vers la Prépa (5) - Exercice 1

On a :
$$\left( \begin{array}{c} n \\ k+1 \end{array} \right) = \dfrac{n \, ! }{[k+1] \, ! \, (n-[k+1]) \, !} = \dfrac{n \, ! }{(k+1)k\, ! \, (n-[k+1]) \, !}$$
Soit encore :
$$\left( \begin{array}{c} n \\ k+1 \end{array} \right) = \dfrac{1}{k+1} \times \dfrac{n \, ! }{k\, ! \, (n-k-1) \, !} = \dfrac{1}{k+1} \times\dfrac{(n-k) \, n \, ! }{k\, ! \, (n-k)(n-k-1) \, !}$$
Qui peut encore être écrit comme :
$$\left( \begin{array}{c} n \\ k+1 \end{array} \right) = \dfrac{n-k}{k+1} \times \dfrac{ n \, ! }{k\, ! \, (n-k)(n-k-1) \, !}$$
D'où :
$$\left( \begin{array}{c} n \\ k+1 \end{array} \right) = \dfrac{n-k}{k+1} \times \dfrac{ n \, ! }{k\, ! \, (n-k) \, !}$$
Finalement, on obtient :
$$\left( \begin{array}{c} n \\ k+1 \end{array} \right) = \dfrac{n-k}{k+1}\left( \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right)$$

On a $$I_{k+1,n}$$ qui va s'écrire comme :
$$I_{k+1,n} = \int_{0}^{1} \left( \begin{array}{c} n \\ k+1 \end{array} \right) x^{k+1} (1-x)^{n-[k+1]} \, dx$$
Soit encore :
$$I_{k+1,n} = \int_{0}^{1} \dfrac{n-k}{k+1}\left( \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right) x^{k+1} (1-x)^{n-k-1} \, dx$$
Ce qui nous donne :
$$I_{k+1,n} = \dfrac{n-k}{k+1}\left( \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right) \int_{0}^{1} x^{k+1} (1-x)^{n-k-1} \, dx$$
Effectuons une intégration par parties. On obtient alors :
$$I_{k+1,n} = \dfrac{n-k}{k+1}\left( \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right) \int_{0}^{1} \begin{array}{c c c} & & -\dfrac{(1-x)^{n-k}}{n-k} \\ & & \uparrow \\ x^{k+1} & \times & (1-x)^{n-k-1} \\ \downarrow & & \\ (k+1) x^k & & \\ \end{array} \, dx$$
D'où :
$$I_{k+1,n} = \dfrac{n-k}{k+1}\left( \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right) \left( \left[- x^{k+1} \dfrac{(1-x)^{n-k}}{n-k} \right]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} -\dfrac{(1-x)^{n-k}}{n-k} (k+1) x^k \, dx \right)$$
Ce qui nous donne en simplifiant par $$n-k$$ la relation suivante :
$$I_{k+1,n} = \dfrac{1}{k+1}\left( \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right) \left( \left[- x^{k+1} (1-x)^{n-k} \right]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} (1-x)^{n-k} (k+1) x^k \, dx \right)$$
Or, on constate que :
$$\left[- x^{k+1} (1-x)^{n-k} \right]_{0}^{1} = \left( - 1^{k+1} (1-1)^{n-k} \right) - \left( - 0^{k+1} (1-0)^{n-k} \right) = 0-0=0$$
Ce qui nous donne :
$$I_{k+1,n} = \dfrac{1}{k+1}\left( \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right) \int_{0}^{1} (1-x)^{n-k} (k+1) x^k \, dx$$
Soit encore :
$$I_{k+1,n} = \dfrac{k+1}{k+1}\left( \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right) \int_{0}^{1} (1-x)^{n-k} x^k \, dx = \left( \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right) \int_{0}^{1} x^k (1-x)^{n-k} \, dx$$
Mais comme le coefficient $$\left( \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right)$$ est indépendant de $$x$$, on peut donc écrire que :
$$I_{k+1,n} = \int_{0}^{1} \left( \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right) x^k (1-x)^{n-k} \, dx$$
Donc, on constate finalement que l'on a :
$$I_{k+1,n} = I_{k,n}$$

$$\forall k \leq n$$ on a $$I_{k+1,n} = I_{k,n}$$. Donc, on en déduit que :
$$I_{k,n} = I_{0,n} = \int_{0}^{1} \left( \begin{array}{c} n \\ 0 \end{array} \right) x^0 (1-x)^{n-0} \, dx = \int_{0}^{1} \left( \begin{array}{c} n \\ 0<br />\end{array} \right) (1-x)^{n} \, dx$$
Mais, on a :
$$\left( \begin{array}{c} n \\ 0 \end{array} \right) = \dfrac{n \, ! }{0 \, ! \, (n-0) \, !} = \dfrac{n \, ! }{1 \times n \, !} = \dfrac{n \, ! }{n \, !} = 1$$
Ce qui nous donne alors :
$$I_{k,n} = \int_{0}^{1} (1-x)^{n} \, dx = \left[ -\dfrac{(1-x)^{n+1}}{n+1} \right]_{0}^{1} = \left[ \dfrac{(1-x)^{n+1}}{n+1} \right]_{1}^{0}$$
on obtient alors :
$$I_{k,n} = \left( \dfrac{(1-0)^{n+1}}{n+1} \right) - \left( \dfrac{(1-1)^{n+1}}{n+1} \right) = \dfrac{1^{n+1}}{n+1} - 0 = \dfrac{1}{n+1}$$
Finalement, on en déduit l'expression de $$I_{k,n}$$ en fonction de $$n$$ recherchée :
$$I_{k,n} = \dfrac{1}{n+1}$$