Intégration : en route vers le supérieur

Vers la Prépa (3) - Exercice 1

30 min
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Cet exercice aborde la dérivation d'une fonction intégrale.
Question 1
Cet exercice nécessite des prises d'initiatives personnelles, et de bien maîtriser le lien entre une fonction et ses primitives, à la condition qu'elles existent bien entendu.

Calculer l'expression de la fonction dérivée f′f' de la fonction numérique f : R⟶Rf \, : \, \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} suivante : f(x)=∫xx2+1e−t2 dtf(x) = \int_{x}^{x^2+1} e^{-t^2} \, dt

Correction
La fonction e−t2e^{-t^2} est continue sur R\mathbb{R}, donc elle y admet des primitives. Soit FF d'une d'elles. Cette primitive satisfait donc à :
F′(x)=f(x)F'(x) = f(x)
On a alors :
f(x)=F(x2+1)−F(x)f(x) = F(x^2+1) - F(x)
Ce qui implique que :
f′(x)=(F(x2+1)−F(x))′=(F(x2+1))′−F′(x)=(F(x2+1))′−f(x)f'(x) = \left( F(x^2+1) - F(x)\right)' = \left( F(x^2+1) \right)' - F'(x) = \left( F(x^2+1) \right)' - f(x)
Soit :
f′(x)=(F(x2+1))′−e−x2f'(x) = \left( F(x^2+1) \right)' - e^{-x^2}
Or, par dérivée des fonctions composées, on a :
(F(x2+1))′=F′(x2+1)(x2+1)′=f(x2+1)×2x=e−(x2+1)2×2x\left( F(x^2+1) \right)' = F'(x^2+1) (x^2+1)' = f(x^2+1) \times 2x = e^{-(x^2+1)^2} \times 2x
Finalement, l'expression de la fonction dérivée f′f' est donnée par :
f(x)=2x e−(x2+1)2−e−x2\boxed{f(x) = 2x \, e^{-(x^2+1)^2} - e^{-x^2}}