Vers la Prépa (2) - Exercice 1

L'intégrale $$\mathcal{I}$$ peut s'écrire comme :
$$\mathcal{I} = \int_{1}^{e} \dfrac{1}{e^x + 1 }\, dx \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \mathcal{I} = \int_{1}^{e} \dfrac{e^{-x}}{e^x e^{-x} + e^{-x} }\, dx \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \mathcal{I} = \int_{1}^{e} \dfrac{e^{-x}}{1 + e^{-x} }\, dx$$
Ce qui va pouvoir s'écrire :
$$\mathcal{I} = - \int_{1}^{e} \dfrac{- e^{-x}}{1 + e^{-x} }\, dx \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\,\mathcal{I} = - \left[ \ln \left( 1 + e^{-x} \right) \right]_{1}^{e}\,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \mathcal{I} = \left[ \ln \left( 1 + e^{-x} \right) \right]_{e}^{1}$$
Soit :
$$\mathcal{I} = \ln \left( 1 + e^{-1} \right) - \ln \left( 1 + e^{-e} \right)$$
Finalement, on a :
$$\boxed{\mathcal{I} = \ln \left( \dfrac{1 + e^{-1}}{1 + e^{-e}} \right) \, u.a.}$$

On a :
$$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \cos^4(x) \, dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\cos^2(x))^2 \, dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \left( \dfrac{1+ \cos(2x)}{2} \right)^2 \, dx$$
Ce qui nous donne :
$$I = \dfrac{1}{4} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \left( 1+ \cos(2x) \right)^2 \, dx = \dfrac{1}{4} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} 1+ 2\cos(2x) + \cos^2(2x) \, dx$$
Soit encore :
$$I = \dfrac{1}{4} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} 1+ 2\cos(2x) + \dfrac{1+ \cos(4x)}{2} \, dx$$
D'où :
$$I = \dfrac{1}{4} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} 1+ 2\cos(2x) + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} \cos(4x) \, dx$$
Ce qui s'écrit encore :
$$I = \dfrac{1}{4} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \dfrac{3}{2} + 2\cos(2x) + \dfrac{1}{2} \cos(4x) \, dx$$
Donc, on va avoir :
$$I =\dfrac{3}{8} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} 1 \, dx + \dfrac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \cos(2x) \, dx + \dfrac{1}{8} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \cos(4x) \, dx$$
En intégrant, on obtient :
$$I = \dfrac{3}{8} \left[ x \right]_{0}^{\frac{\pi}{4}} + \dfrac{1}{2} \left[ \dfrac{\sin(2x)}{2} \right]_{0}^{\frac{\pi}{4}} + \dfrac{1}{8} \left[ \dfrac{\sin(4x)}{4} \right]_{0}^{\frac{\pi}{4}}$$
D'où :
$$I =\dfrac{3}{8} \times \frac{\pi}{4} + \dfrac{1}{4} \left[ \sin(2x) \right]_{0}^{\frac{\pi}{4}} + \dfrac{1}{32} \left[ \sin(4x) \right]_{0}^{\frac{\pi}{4}}$$
Soit encore :
$$I = \dfrac{3\pi}{32} + \dfrac{1}{4} \left( \sin\left(2\dfrac{\pi}{4}\right) - \sin 0 \right) + \dfrac{1}{32} \left( \sin\left(4\dfrac{\pi}{4}\right) - \sin 0 \right)$$
Ce qui nous donne :
$$I = \dfrac{3\pi}{32} + \dfrac{1}{4} \left( \sin\dfrac{\pi}{2} - 0 \right) + \dfrac{1}{32} \left( \sin \pi - 0 \right)$$
D'où :
$$I = \dfrac{3\pi}{32} + \dfrac{1}{4} \left( 1 - 0 \right) + \dfrac{1}{32} \left( 0 - 0 \right)$$
Donc, on obtient :
$$I = \dfrac{3\pi}{32} + \dfrac{1}{4} \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, I = \dfrac{3\pi}{32} + \dfrac{8}{32}$$
Finalement, on obtient le résultat suivant :
$$\boxed{I = \dfrac{3\pi + 8}{32} \,\, u.a.}$$

On constate que :
$$\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$$
Donc l'intégrale $$J$$ devient :
$$\mathcal{J} = \int_{-\frac{1}{\sqrt{2}}}^{\frac{1}{\sqrt{2}}} x^3 \sin^2(x) \sqrt{\ln\left( 1+x^2\right) }\, dx$$
Étudions la parité de l'expression $$g(x)= x^3 \sin^2(x) \sqrt{\ln\left( 1+x^2\right) }$$. On a :
$$\forall x \in \mathbb{R}, (- x \in \mathbb{R}), \, g(-x) = (-x)^3 \sin^2((-x)) \sqrt{\ln\left( 1+(-x)^2\right) }$$
Ce qui nous donne :
$$\forall x \in \mathbb{R}, (- x \in \mathbb{R}), \, g(-x) = - x^3 (-\sin(x))^2 \sqrt{\ln\left( 1+x^2\right) }$$
Soit encore :
$$\forall x \in \mathbb{R}, (- x \in \mathbb{R}), \, g(-x) = - x^3 (\sin(x))^2 \sqrt{\ln\left( 1+x^2\right) }$$
D'où :
$$\forall x \in \mathbb{R}, (- x \in \mathbb{R}), \, g(-x) = - g(x)$$
Donc l'expression $$g(x)= x^3 \sin^2(x) \sqrt{\ln\left( 1+x^2\right) }$$ est impaire. Finalement, l'intégrale d'une fonction impaire sur un intervalle symétrique est automatiquement nulle de part son interprétation géométrique. Ainsi, on a :
$$\boxed{\mathcal{J} = 0 \,\, u.a.}$$