Vers la Prépa (11) - Exercice 1

On a $$\forall x \neq -1$$, les développements suivants :
$$\sum_{i=0}^{i=n-1} (-1)^{i} x^{i} = \sum_{i=0}^{i=n-1} (-x)^{i} = 1 \times \dfrac{1-(-x)^{n-1+1}}{1-(-x)}$$
Car en fait il s'agit de la somme des termes d'une suite géométrique de raison $$-x$$ et de premier terme $$(-x)^0=1$$. Et cette somme comporte $$n$$ termes. Ainsi, on peut écrire que :
$$\sum_{i=0}^{i=n-1} (-1)^{i} x^{i} = \dfrac{1-(-x)^{n}}{1+x}$$
Ainsi, en scindant le numérateur en deux termes, on obtient :
$$\sum_{i=0}^{i=n-1} (-1)^{i} x^{i} = \dfrac{1}{1+x} - \dfrac{(-x)^n}{1+x}$$

Intégrons l'égalité précédente entre $$0$$ et $$1$$. On a alors :
$$\int_0^1 \sum_{i=0}^{i=n-1} (-1)^{i} x^{i} \, dx = \int_0^1 \dfrac{1}{1+x} \, dx - \int_0^1 \dfrac{(-x)^n}{1+x} \, dx$$
Ce qui peut encore s'écrire comme :
$$\sum_{i=0}^{i=n-1} (-1)^{i} \int_0^1 x^{i} \, dx = [\ln(1+x)]_0^1 - \int_0^1 \dfrac{(-x)^n}{1+x} \, dx$$
Or, $$\ln(1+x)]_0^1 = \ln (1+1) - \ln 1 = \ln 2 - \ln 1 = \ln 2 -0 = \ln 2$$. De plus, on a :
$$\int_0^1 x^{i} \, dx = \left[ \dfrac{x^{i+1}}{i+1}\right]_0^1 = \dfrac{1}{i+1}$$
Ce qui nous donne donc :
$$\sum_{i=0}^{i=n-1} \dfrac{(-1)^{i}}{i+1} = \ln 2 - \int_0^1 \dfrac{(-x)^n}{1+x} \, dx$$
Enfin, posons $$i=k-1$$. Dans ce cas, on obtient :
$$\sum_{i=0}^{i=n-1} \dfrac{(-1)^{i}}{i+1} = \sum_{k=1}^{k=n} \dfrac{(-1)^{k-1}}{k}$$
Ce qui nous donne :
$$\sum_{k=1}^{k=n} \dfrac{(-1)^{k-1}}{k} = \ln 2 - \int_0^1 \dfrac{(-x)^n}{1+x} \, dx$$
Soit en réorganisant les termes :
$$\int_0^1 \dfrac{(-x)^n}{1+x} \, dx = \ln2 - \sum_{k=1}^{k=n} \dfrac{(-1)^{k-1}}{k}$$

Discriminons sur la parité de $$n$$. Deux cas sont lors possible : soit $$n$$ est pair, soit $$n$$ est impair.
$$\,\, \bullet \,\,$$ Si $$n$$ est pair :
Dans ce cas, on a $$(-x)^n = (-1)^n x^n = x^n$$. De plus, dans ce cas, $$x^n \geq 0$$ ce qui implique que $$-x^n\leq 0$$. De plus, on sait que $$x \in [0\,;\,1]$$, ce qui implique que $$1+x>1$$. Ainsi, on a nécessairement :
$$0 \leq \dfrac{x^n}{1+x} \leq x^n$$
Finalement, on trouve alors que :
$$-x^n \leq \dfrac{x^n}{1+x} \leq x^n \,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\, - x^n \leq \dfrac{(-x)^n}{1+x} \leq x^n$$
$$\,\, \bullet \,\,$$ Si $$n$$ est impair :
Dans ce cas, on a $$(-x)^n = (-1)^n x^n = -x^n$$. De plus, comme $$x \in [0\,;\,1]$$, cela implique que :
$$1 \leq 1+ x \,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\, 1 \geq \dfrac{1}{1+x}$$
Or, comme $$x \in [0\,;\,1]$$ cela implique que $$x^n \geq 0$$, d'où :
$$x^n \geq \dfrac{x^n}{1+x} \,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\, -x^n \leq \dfrac{-x^n}{1+x}$$
Ainsi, on obtient :
$$-x^n \leq \dfrac{-x^n}{1+x} \leq 0 \,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\, -x^n \leq \dfrac{-x^n}{1+x} \leq x^n \,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\, - x^n \leq \dfrac{(-x)^n}{1+x} \leq x^n$$
Dans tous les cas, nous avons bien démontrer que $$\forall x \in [0 \,;\,1]$$ et $$\forall n \in \mathbb{N}^*$$, on a effectivement la double inégalité suivante :
$$- x^n \leq \dfrac{(-x)^n}{1+x} \leq x^n$$

Intégrons, entre $$0$$ et $$1$$, la double inégalité précédente. On obtient alors :
$$\int_0^1 - x^n \, dx \leq \int_0^1 \dfrac{(-x)^n}{1+x} \, dx \leq \int_0^1 x^n \, dx$$
Soit encore :
$$- \int_0^1 x^n \, dx \leq \int_0^1 \dfrac{(-x)^n}{1+x} \, dx \leq \int_0^1 x^n \, dx$$
Or, on a :
$$\int_0^1 x^n \, dx = \left[ \dfrac{x^{n+1}}{n+1}\right]_0^1 = \dfrac{1^{n+1}}{n+1} - \dfrac{0^{n+1}}{n+1} = \dfrac{1}{n+1}$$
Finalement, on trouve bien la relation demandée, à savoir :
$$-\dfrac{1}{1+n} \leq \int_0^1 \dfrac{(-x)^n}{1+x} \, dx \leq \dfrac{1}{1+n}$$

La relation précédente peut encore s'écrire comme :
$$-\dfrac{1}{1+n} \leq \ln2 - \sum_{k=1}^{k=n} \dfrac{(-1)^{k-1}}{k} \leq \dfrac{1}{1+n}$$
Soit encore :
$$-\dfrac{1}{1+n} - \ln 2 \leq - \sum_{k=1}^{k=n} \dfrac{(-1)^{k-1}}{k} \leq \dfrac{1}{1+n} - \ln 2$$
En multipliant par $$-1$$ cette double inégalité, on trouve que :
$$\dfrac{1}{1+n} + \ln 2 \geq \sum_{k=1}^{k=n} \dfrac{(-1)^{k-1}}{k} \geq -\dfrac{1}{1+n} + \ln 2$$
En passant, à la limite lorsque $$n\longrightarrow0$$, on obtient alors :
$$\ln 2 + \lim_{n \rightarrow + \infty} \dfrac{1}{1+n} \geq \lim_{n \rightarrow + \infty} \sum_{k=1}^{k=n} \dfrac{(-1)^{k-1}}{k} \geq \ln 2 - \lim_{n \rightarrow + \infty} \dfrac{1}{1+n}$$
Comme :
$$\lim_{n \rightarrow + \infty} \dfrac{1}{1+n} = \lim_{n \rightarrow + \infty} \dfrac{1}{n} = 0^+$$
Ce qui nous donne alors :
$$\ln 2 + 0^+ \geq \lim_{n \rightarrow + \infty} \sum_{k=1}^{k=n} \dfrac{(-1)^{k-1}}{k} \geq \ln 2 - 0^+$$
Soit encore :
$$\ln 2 \geq \lim_{n \rightarrow + \infty} \sum_{k=1}^{k=n} \dfrac{(-1)^{k-1}}{k} \geq \ln 2$$
En vertu du théorème de l'encadrement (encore appelé théorème des gendarmes ou théorème du sandwich), on en déduit que :
$$\lim_{n \rightarrow + \infty} \sum_{k=1}^{k=n} \dfrac{(-1)^{k-1}}{k} = \ln 2$$
Donc :
$$1 - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{5} - \dfrac{1}{6} + \cdots = \ln(2)$$
Remarquons que cette série s'écrit aussi :
$$\sum_{k=0}^{+\infty} \dfrac{(-1)^k}{k+1} = \ln 2$$