Intégration : en route vers le supérieur

Pour vérifier ses acquis essentiels - Exercice 1

3 min
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Calculer les intégrales suivantes :
Question 1

I1=∫1911+x dx\mathcal{I}_1 = \int_{1}^{9} \dfrac{1}{1+\sqrt{x}} \, dx

Correction
On a :
I1=∫1911+x dx=∫19xx(1+x) dx=∫19x+1−1x(1+x) dx\mathcal{I}_1 = \int_{1}^{9} \dfrac{1}{1+\sqrt{x}} \, dx = \int_{1}^{9} \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} ( 1+\sqrt{x} )} \, dx = \int_{1}^{9} \dfrac{\sqrt{x} +1 - 1}{\sqrt{x} ( 1+\sqrt{x} )} \, dx
Ce qui nous permet d'écrire :
I1=∫19x+1x(1+x)−1x(1+x) dx=∫191x−1x1+x dx\mathcal{I}_1 = \int_{1}^{9} \dfrac{\sqrt{x} +1 }{\sqrt{x} ( 1+\sqrt{x} )} - \dfrac{1}{\sqrt{x} ( 1+\sqrt{x} )} \, dx = \int_{1}^{9} \dfrac{1 }{\sqrt{x}} - \dfrac{\dfrac{1}{\sqrt{x}}}{ 1+\sqrt{x}} \, dx
Soit encore :
I1=∫1922x dx−∫1922x1+x dx=2∫1912x dx−2∫1912x1+x dx\mathcal{I}_1 = \int_{1}^{9} \dfrac{2 }{2\sqrt{x}} \, dx - \int_{1}^{9} \dfrac{\dfrac{2}{2\sqrt{x}}}{ 1+\sqrt{x}} \, dx = 2 \int_{1}^{9} \dfrac{1}{2\sqrt{x}} \, dx - 2\int_{1}^{9} \dfrac{\dfrac{1}{2\sqrt{x}}}{ 1+\sqrt{x}} \, dx
L'intégration devient alors directe :
I1=2[x]19−2[ln⁡(1+x)]19=2(9−1)−2ln⁡(1+91+1)=2(3−1)−2ln⁡(1+31+1)\mathcal{I}_1 = 2 [\sqrt{x}]_{1}^{9} - 2 [\ln(1+\sqrt{x})]_{1}^{9} = 2(\sqrt{9} -\sqrt{1}) -2 \ln\left(\dfrac{1+\sqrt{9}}{1+\sqrt{1}} \right) =2(3 -1) -2 \ln\left(\dfrac{1+3}{1+1} \right)
Ainsi, on obtient :
I1=2×2−2ln⁡(42)=4−2ln⁡2=4−ln⁡22\mathcal{I}_1 = 2\times 2 -2 \ln\left(\dfrac{4}{2} \right) = 4-2\ln2 = 4- \ln 2^2
Finalement, on trouve que :
I1=4−ln⁡4  u.a.\mathcal{I}_1 = 4-\ln 4 \,\, u.a.
Question 2

I2=∫−π−111+11+x dx\mathcal{I}_2 = \int_{-\pi}^{-1} \dfrac{1}{1+\sqrt{\dfrac{1}{1+\sqrt{x}}}} \, dx

Correction
L'intégrale I2=∫−π−111+11+x dx\mathcal{I}_2 = \int_{-\pi}^{-1} \dfrac{1}{1+\sqrt{\dfrac{1}{1+\sqrt{x}}}} \, dx n'existe pas car l'expression de la fonction numérique à intégrer 11+11+x \dfrac{1}{1+\sqrt{\dfrac{1}{1+\sqrt{x}}}} n'est pas définit sur l'intervalle d'intégration [−π ; −1][-\pi\,;\,-1]. En effet le terme x\sqrt{x} exige des valeurs de xx qui soient positives ou nulle, donc non négatives.
Question 3

I3=∫02e2xex+1 dx\mathcal{I}_3 = \int_{0}^{2} \dfrac{e^{2x}}{e^x+1} \, dx

Correction
On a :
I3=∫02e2xex+1 dx=∫02exexex+1 dx=∫02exex+ex−exex+1 dx\mathcal{I}_3 = \int_{0}^{2} \dfrac{e^{2x}}{e^x+1} \, dx = \int_{0}^{2} \dfrac{e^{x}e^{x}}{e^x+1} \, dx = \int_{0}^{2} \dfrac{e^{x}e^{x}+e^{x}-e^{x}}{e^x+1} \, dx
Soit encore :
I3=∫02ex(ex+1)−exex+1 dx=∫02(ex(ex+1)ex+1−exex+1) dx=∫02(ex−exex+1) dx\mathcal{I}_3 = \int_{0}^{2} \dfrac{e^{x}(e^{x}+1)-e^{x}}{e^x+1} \, dx = \int_{0}^{2} \left( \dfrac{e^{x}(e^{x}+1)}{e^x+1} - \dfrac{e^{x}}{e^x+1} \right) \, dx = \int_{0}^{2} \left( e^{x} - \dfrac{e^{x}}{e^x+1} \right) \, dx
Ce qui nous donne :
I3=∫02ex dx−∫02−exex+1 dx=[ex]02−[ln⁡(1+ex)]02\mathcal{I}_3 = \int_{0}^{2} e^x \, dx - \int_{0}^{2} - \dfrac{e^{x}}{e^x+1} \, dx = [e^x]_{0}^{2} - [\ln(1+e^x)]_{0}^{2}
Soit encore :
I3=e2−e0−ln⁡(1+e21+e0)=e2−1−ln⁡(1+e21+1)\mathcal{I}_3 = e^2 - e^0 - \ln\left(\dfrac{1+e^2}{1+e^0}\right) = e^2 - 1 - \ln\left(\dfrac{1+e^2}{1+1}\right)
Finalement, on trouve que :
I3=e2−e0−ln⁡(1+e21+e0))=e2−1−ln⁡(1+e22)  u.a.\mathcal{I}_3 = e^2 - e^0 - \ln\left(\dfrac{1+e^2}{1+e^0}\right)) = e^2 - 1 - \ln\left(\dfrac{1+e^2}{2}\right) \,\, u.a.