Pour vérifier ses acquis essentiels - Exercice 1

On a :
$$\mathcal{I}_1 = \int_{1}^{9} \dfrac{1}{1+\sqrt{x}} \, dx = \int_{1}^{9} \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} ( 1+\sqrt{x} )} \, dx = \int_{1}^{9} \dfrac{\sqrt{x} +1 - 1}{\sqrt{x} ( 1+\sqrt{x} )} \, dx$$
Ce qui nous permet d'écrire :
$$\mathcal{I}_1 = \int_{1}^{9} \dfrac{\sqrt{x} +1 }{\sqrt{x} ( 1+\sqrt{x} )} - \dfrac{1}{\sqrt{x} ( 1+\sqrt{x} )} \, dx = \int_{1}^{9} \dfrac{1 }{\sqrt{x}} - \dfrac{\dfrac{1}{\sqrt{x}}}{ 1+\sqrt{x}} \, dx$$
Soit encore :
$$\mathcal{I}_1 = \int_{1}^{9} \dfrac{2 }{2\sqrt{x}} \, dx - \int_{1}^{9} \dfrac{\dfrac{2}{2\sqrt{x}}}{ 1+\sqrt{x}} \, dx = 2 \int_{1}^{9} \dfrac{1}{2\sqrt{x}} \, dx - 2\int_{1}^{9} \dfrac{\dfrac{1}{2\sqrt{x}}}{ 1+\sqrt{x}} \, dx$$
L'intégration devient alors directe :
$$\mathcal{I}_1 = 2 [\sqrt{x}]_{1}^{9} - 2 [\ln(1+\sqrt{x})]_{1}^{9} = 2(\sqrt{9} -\sqrt{1}) -2 \ln\left(\dfrac{1+\sqrt{9}}{1+\sqrt{1}} \right) =2(3 -1) -2 \ln\left(\dfrac{1+3}{1+1} \right)$$
Ainsi, on obtient :
$$\mathcal{I}_1 = 2\times 2 -2 \ln\left(\dfrac{4}{2} \right) = 4-2\ln2 = 4- \ln 2^2$$
Finalement, on trouve que :
$$\mathcal{I}_1 = 4-\ln 4 \,\, u.a.$$

L'intégrale $$\mathcal{I}_2 = \int_{-\pi}^{-1} \dfrac{1}{1+\sqrt{\dfrac{1}{1+\sqrt{x}}}} \, dx$$ n'existe pas car l'expression de la fonction numérique à intégrer $$\dfrac{1}{1+\sqrt{\dfrac{1}{1+\sqrt{x}}}}$$ n'est pas définit sur l'intervalle d'intégration $$[-\pi\,;\,-1]$$. En effet le terme $$\sqrt{x}$$ exige des valeurs de $$x$$ qui soient positives ou nulle, donc non négatives.

On a :
$$\mathcal{I}_3 = \int_{0}^{2} \dfrac{e^{2x}}{e^x+1} \, dx = \int_{0}^{2} \dfrac{e^{x}e^{x}}{e^x+1} \, dx = \int_{0}^{2} \dfrac{e^{x}e^{x}+e^{x}-e^{x}}{e^x+1} \, dx$$
Soit encore :
$$\mathcal{I}_3 = \int_{0}^{2} \dfrac{e^{x}(e^{x}+1)-e^{x}}{e^x+1} \, dx = \int_{0}^{2} \left( \dfrac{e^{x}(e^{x}+1)}{e^x+1} - \dfrac{e^{x}}{e^x+1} \right) \, dx = \int_{0}^{2} \left( e^{x} - \dfrac{e^{x}}{e^x+1} \right) \, dx$$
Ce qui nous donne :
$$\mathcal{I}_3 = \int_{0}^{2} e^x \, dx - \int_{0}^{2} - \dfrac{e^{x}}{e^x+1} \, dx = [e^x]_{0}^{2} - [\ln(1+e^x)]_{0}^{2}$$
Soit encore :
$$\mathcal{I}_3 = e^2 - e^0 - \ln\left(\dfrac{1+e^2}{1+e^0}\right) = e^2 - 1 - \ln\left(\dfrac{1+e^2}{1+1}\right)$$
Finalement, on trouve que :
$$\mathcal{I}_3 = e^2 - e^0 - \ln\left(\dfrac{1+e^2}{1+e^0}\right)) = e^2 - 1 - \ln\left(\dfrac{1+e^2}{2}\right) \,\, u.a.$$