Intégration : en route vers le supérieur

Pour débuter - Exercice 1

30 min
45
Calculer les intégrales suivantes :
Question 1

I1=02(e(5x+3))2dx\mathcal{I}_1 = \int_{0}^{2} \left( e^{(5x+3)} \right)^2 \, dx

Correction
On a :
02(e(5x+3))2dx=15025(e(5x+3))2dx=15025e(5x+3)e(5x+3)dx\int_{0}^{2} \left(e^{(5x+3)}\right)^2 \,dx = \dfrac{1}{5} \int_{0}^{2} 5 \, \left(e^{(5x+3)}\right)^2 \,dx = \dfrac{1}{5} \int_{0}^{2} 5 \, e^{(5x+3)} \, e^{(5x+3)} \,dx
Or, on sait que :
(e(5x+3))=5e(5x+3)\left( e^{(5x+3)} \right)' = 5 \, e^{(5x+3)}
Donc, en posant f(x)=e(5x+3)f(x)=5e(5x+3)f(x) = e^{(5x+3)} \,\,\, \Longrightarrow \,\,\, f'(x) = 5 \, e^{(5x+3)}, on en déduit que :
02(e(5x+3))2dx=1502f(x)f(x)dx\int_{0}^{2} \left(e^{(5x+3)}\right)^2 \,dx = \dfrac{1}{5} \int_{0}^{2} f'(x) \, f(x) \,dx
De plus, on sait que (f2)=2ff\left(f^2\right)' = 2 f'f. Ainsi, on obtient :
02(e(5x+3))2dx=110022f(x)f(x)dx=110[(e(5x+3))2]02=110[e(10x+6)]02\int_{0}^{2} \left(e^{(5x+3)}\right)^2 \,dx = \dfrac{1}{10} \int_{0}^{2} 2 \, f'(x) \, f(x) \,dx = \dfrac{1}{10} \left[ (e^{(5x+3)})^2 \right]_{0}^{2} = \dfrac{1}{10} \left[ e^{(10x+6)} \right]_{0}^{2}
Soit :
02(e(5x+3))2dx=110(e(10×2+6)e(10×0+6))=e26e610u.a.\int_{0}^{2} (e^{(5x+3)})^2 \,dx = \dfrac{1}{10} \left( e^{(10\times 2+6)} - e^{(10\times 0+6)} \right) = \dfrac{e^{26} - e^6}{10} \,\, u.a.
Le terme "u.a.u.a." signifiant "uunité d'aaire", et fait donc référence à l'interprétation géométrique de l'intégrale.
Question 2

I2=1e1(x+1)(ln(x+1))2dx\mathcal{I}_2 = \int_{1}^{e} \dfrac{1}{(x+1)\left( \ln(x + 1) \right)^2 } \, dx

Correction
On a :
1e1(x+1)(ln(x+1))2dx=1e1x+1(ln(x+1))2dx=1e1x+1(ln(x+1))2dx\int_{1}^{e} \dfrac{1}{(x+1)\left( \ln(x + 1) \right)^2 } \,dx = \int_{1}^{e} \dfrac{\dfrac{1}{x+1}}{\left( \ln(x + 1) \right)^2 } \,dx = - \int_{1}^{e} \dfrac{-\dfrac{1}{x+1}}{\left( \ln(x + 1) \right)^2 } \,dx
Or, on sait que
(ln(x+1))=1x+1\left( \ln(x + 1) \right)' = \dfrac{1}{x+1}
On reconnait donc la relation (1f)=ff2\left( \dfrac{1}{f}\right)' = \dfrac{-f'}{f^2} ou f(x)=ln(x+1)f(x)=1x+1f(x) = \ln(x + 1) \,\,\, \Longrightarrow \,\,\, f'(x) = \dfrac{1}{x+1}. Ainsi, on a :
1e1(x+1)(ln(x+1))2dx=[1ln(x+1)]1e=[1ln(x+1)]e1\int_{1}^{e} \dfrac{1}{(x+1)\left( \ln(x + 1) \right)^2 } \,dx = - \left[ \dfrac{1}{\ln(x + 1)}\right]_{1}^{e} = \left[ \dfrac{1}{\ln(x + 1)}\right]_{e}^{1}
On obtient donc :
1e1(x+1)(ln(x+1))2dx=1ln(1+1)1ln(e+1)=1ln(2)1ln(e+1)\int_{1}^{e} \dfrac{1}{(x+1)\left( \ln(x + 1) \right)^2 } \,dx = \dfrac{1}{\ln(1 + 1)} - \dfrac{1}{\ln(e + 1)} = \dfrac{1}{\ln(2)} - \dfrac{1}{\ln(e + 1)}
Finalement :
1e1(x+1)(ln(x+1))2dx=1ln(2)1ln(e+1)u.a.\int_{1}^{e} \dfrac{1}{(x+1)\left( \ln(x + 1) \right)^2 } \,dx = \dfrac{1}{\ln(2)} - \dfrac{1}{\ln(e + 1)} \,\, u.a.
Le terme "u.a.u.a." signifiant "uunité d'aaire", et fait donc référence à l'interprétation géométrique de l'intégrale.
Question 3

I3=1eln(x+e)x+edx\mathcal{I}_3 = \int_{1}^{e} \dfrac{\ln(x + e)}{x+e} \, dx

Correction
On a :
1eln(x+e)x+edx=1e1x+eln(x+e)dx=121e21x+eln(x+e)dx\int_{1}^{e} \dfrac{\ln(x + e)}{x+e} \,dx = \int_{1}^{e} \dfrac{1}{x+e} \ln(x + e) \,dx = \dfrac{1}{2} \int_{1}^{e} 2 \dfrac{1}{x+e} \ln(x + e) \,dx
Or, on sait que (ln(x+e))=1x+e\left(\ln(x + e)\right)' = \dfrac{1}{x+e}. On reconnait alors une forme du type (f2)=2ff\left(f^2\right)' = 2 f'f, avec f(x)=ln(x+e)f(x) = \ln(x + e). Ainsi, on obtient :
1eln(x+e)x+edx=12[(ln(x+e))2]1e=(ln(2e))2(ln(1+e))22\int_{1}^{e} \dfrac{\ln(x + e)}{x+e} \,dx = \dfrac{1}{2} \left[ \left( \ln(x + e) \right)^2 \right]_{1}^{e} = \dfrac{\left( \ln(2e) \right)^2 - \left( \ln(1 + e) \right)^2}{2}
Finalement :
1eln(x+e)x+edx=12((ln(2e))2(ln(1+e))2)u.a.\int_{1}^{e} \dfrac{\ln(x + e)}{x+e} \,dx = \dfrac{1}{2} \left( \left( \ln(2e) \right)^2 - \left( \ln(1 + e) \right)^2 \right) \,\, u.a.
Le terme "u.a.u.a." signifiant "uunité d'aaire", et fait donc référence à l'interprétation géométrique de l'intégrale.
Question 4

I4=e2e3x+1x1dx\mathcal{I}_4 = \int_{e}^{2e} \dfrac{3x+1}{x-1} \, dx

Correction
On a :
3x+1x1=3x3+3+1x1=3x3+4x1=3(x1)+4x1=3(x1)x1+4x1\dfrac{3x+1}{x-1} = \dfrac{3x-3+3+1}{x-1} = \dfrac{3x-3+4}{x-1} = \dfrac{3(x-1)+4}{x-1} = \dfrac{3(x-1)}{x-1} + \dfrac{4}{x-1}
D'où :
3x+1x1=3+4x1\dfrac{3x+1}{x-1} = 3 + \dfrac{4}{x-1}
Ainsi, on en déduit que :
e2e3x+1x1dx=e2e3+4x1dx=3e2e1dx+4e2e1x1dx\int_{e}^{2e} \dfrac{3x+1}{x-1} \,dx = \int_{e}^{2e} 3 + \dfrac{4}{x-1} \,dx = 3\int_{e}^{2e} 1 \,dx + 4 \int_{e}^{2e} \dfrac{1}{x-1} \,dx
Ce qui nous donne :
e2e3x+1x1dx=3[x]e2e+4[ln(x1)]e2e=3(2ee)+4(ln(2e1)ln(e1))\int_{e}^{2e} \dfrac{3x+1}{x-1} \,dx = 3\left[ x \right]_{e}^{2e} + 4 \left[ \ln(x-1)\right]_{e}^{2e} = 3 (2e-e) + 4 \left( \ln(2e-1) - \ln(e-1)\right)
Finalement, avec les propriétés des logarithmes, on trouve que :
e2e3x+1x1dx=3e+4ln2e1e1u.a.\int_{e}^{2e} \dfrac{3x+1}{x-1} \, dx = 3e + 4 \ln \dfrac{2e-1}{e-1} \,\, u.a.
Le terme "u.a.u.a." signifiant "uunité d'aaire", et fait donc référence à l'interprétation géométrique de l'intégrale.