Approche géométrique - Exercice 1

Posons :
$$y = \sqrt{a^2 - x^2} \,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\, y^2 = a^2 - x^2 \,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\,x^2 + y^2 = a^2$$
Il s'agit de l'équation cartésienne d'un cercle de centre $$(0\, ,\,0)$$ de rayon $$a$$. De plus, on constate que $$y = \sqrt{a^2 - x^2} >0$$. Ainsi, l'intégrale recherchée, représente l'aire intérieure du demi-cercle supérieur de centre $$(0\, ,\,0)$$ de rayon $$a$$
Donc, l'interprétation géométrique nous permet d'écrire que l'intégrale $$I(a)$$ recherchée vaut donc :
$$I(a) = \int_{-a}^{a} \sqrt{a^2 - x^2} \, dx = \dfrac{\pi}{2} a^2$$
Ainsi, on en déduit donc que :
$$I(a) = \pi \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \dfrac{\pi}{2} a^2 = \pi \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \dfrac{1}{2} a^2 = 1 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, a^2 = 2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} a & = & \sqrt{2} \\ a & = & -\sqrt{2} \\ \end{array} \right.$$
Or, le sujet nous dit que $$a \in \mathbb{R}^{+*}$$, donc $$a>0$$. finalement, on trouve que :
$$a = \sqrt{2}$$