Equations différentielles : en route vers le supérieur

Un modèle physique - Exercice 1

40 min
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Nous proposons, au travers de cet exercice, de résoudre une équation différentielle linéaire qui intervient lors de certaines modélisations physique, et tout particulièrement en mécanique.
Question 1
Soit mm, kk, ω\omega et VV quatre nombres réels strictement positifs.
On considère l'équation différentielle linéaire (E)(E) suivante :
(E):mv(t)+kv(t)=Vcos(ωt)(E) : \,\, m v'(t) + kv(t) = V \cos(\omega t)
On notera par (E1)(E_1) l'équation l'équation différentielle sans second membre :
(E1):mv(t)+kv(t)=0(E_1) : \,\, m v'(t) + kv(t) = 0
La condition initiale est v(t=0)=V0Rv(t = 0) = V_0 \in \mathbb{R}.

Résoudre l'équation différentielle sans second membre (E1)(E_1).

Correction
L'équation différentielle sans second membre (E1)(E_1) est :
(E1):mv(t)+kv(t)=0(E_1) : \,\, m v'(t) + kv(t) = 0
En notant par vssmv_{ssm} la solution, on obtient :
mvssm(t)+kvssm(t)=0m v'_{ssm}(t) + kv_{ssm}(t) = 0
Soit :
vssm(t)vssm(t)=km\dfrac{v'_{ssm}(t)}{v_{ssm}(t)} = - \dfrac{k}{m}
En primitivant, on trouve que :
ln(vssm(t))=kmt+K(KR)\ln\left(v_{ssm}(t)\right) = - \dfrac{k}{m} t + K \,\, (K \in \mathbb{R})
Soit encore :
vssm(t)=ekmt+Kvssm(t)=ekmt×ekv_{ssm}(t) = e^{- \frac{k}{m} t + K} \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, v_{ssm}(t) = e^{- \frac{k}{m} t} \times e^k
En posant C=ekRC = e^k \in \mathbb{R}, on trouve que :
vssm(t)=Cekmtv_{ssm}(t) = C \, e^{- \frac{k}{m} t}
Question 2

Déterminer une solution particulière vpv_p, de l'équation (E1)(E_1), sous la forme : vp(t)=Acos(ωt)+Bsin(ωt)v_p(t) = A \cos (\omega t) + B \sin (\omega t)AA et BB sont deux nombres réels à déterminer.

Correction
Si la solution particulière vpv_p, de l'équation (E1)(E_1), est de la forme vp(t)=Acos(ωt)+Bsin(ωt)v_p(t) = A \cos (\omega t) + B \sin (\omega t) alors on en déduit que vp(t)=Aωsin(ωt)+Bωcos(ωt)v'_p(t) = - A \omega \sin (\omega t) + B \omega \cos (\omega t). Ainsi, l'équation (E)(E) devient :
mvp(t)+kvp(t)=Vcos(ωt)m v_p'(t) + kv_p(t) = V \cos(\omega t)
Donc :
m(Aωsin(ωt)+Bωcos(ωt))+k(Acos(ωt)+Bsin(ωt))=Vcos(ωt)m \left( - A \omega \sin (\omega t) + B \omega \cos (\omega t) \right) + k\left( A \cos (\omega t) + B \sin (\omega t) \right) = V \cos(\omega t)
Soit :
mω(Asin(ωt)+Bcos(ωt))+kAcos(ωt)+kBsin(ωt)=Vcos(ωt)m \omega \left( - A \sin (\omega t) + B \cos (\omega t) \right) + kA \cos (\omega t) + kB \sin (\omega t) = V \cos(\omega t)
Soit encore :
(Bmω+kA)cos(ωt)+(Amω+kB)sin(ωt)=Vcos(ωt)+0sin(ωt)\left( Bm \omega + kA \right) \cos (\omega t) + \left( -A m \omega + kB \right) \sin (\omega t) = V \cos(\omega t) + 0 \sin (\omega t)
En identifiant les termes devant les sinus et cosinus, de part et d'autre du signe ==, on trouve que :
{Bmω+kA=VAmω+kB=0\left\lbrace \begin{array}{rcl} Bm \omega + kA & = & V \\ & & \\ -A m \omega + kB & = & 0 \\ \end{array} \right.
Donc A=kBmωA = \dfrac{kB}{m \omega}, et de fait :
Bmω+kkBmω=VB(m2ω2+k2mω)=VB=mωVm2ω2+k2Bm \omega + k\dfrac{kB}{m \omega} = V \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, B \left( \dfrac{m^2 \omega^2 + k^2}{m \omega} \right) = V \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, B = \dfrac{m \omega V}{m^2 \omega^2 + k^2}
Ainsi, on en déduit que :
A=kBmω=kmω×mωVm2ω2+k2A = \dfrac{kB}{m \omega} = \dfrac{k}{m \omega} \times \dfrac{m \omega V}{m^2 \omega^2 + k^2}
D'où :
A=kVm2ω2+k2A = \dfrac{k V}{m^2 \omega^2 + k^2}
De ceci, on peut donc écrire la solution particulière vpv_p est de la forme :
vp(t)=kVm2ω2+k2cos(ωt)+mωVm2ω2+k2sin(ωt)v_p(t) = \dfrac{k V}{m^2 \omega^2 + k^2} \cos (\omega t) + \dfrac{m \omega V}{m^2 \omega^2 + k^2} \sin (\omega t)
Finalement, on obtient :
vp(t)=Vm2ω2+k2(kcos(ωt)+mωsin(ωt))v_p(t) = \dfrac{V}{m^2 \omega^2 + k^2} \left( k \cos (\omega t) + m \omega \sin (\omega t) \right)
Question 3

Résoudre l'équation différentielle (E)(E).

Correction
L'équation (E)(E) étant linéaire, la solution globale vv s'exprime donc comme la somme de vssmv_{ssm} et de vpv_p. On a alors :
v(t)=vssm(t)+vp(t)v(t) = v_{ssm}(t) + v_p(t)
Soit :
v(t)=Cekmt+Vm2ω2+k2(kcos(ωt)+mωsin(ωt))(CR)v(t) = C \, e^{- \frac{k}{m} t} + \dfrac{V}{m^2 \omega^2 + k^2} \left( k \cos (\omega t) + m \omega \sin (\omega t) \right) \,\,\,\,\, (C \in \mathbb{R})
Question 4

Déterminer la solution qui satisfait à la condition initiale indiquée initialement.

Correction
La condition initiale est v(t=0)=V0Rv(t = 0) = V_0 \in \mathbb{R}. Donc :
v(t=0)=Cekm×0+Vm2ω2+k2(kcos(ω×0)+mωsin(ω×0))(CR)v(t=0) = C \, e^{- \frac{k}{m} \times 0} + \dfrac{V}{m^2 \omega^2 + k^2} \left( k \cos (\omega \times 0) + m \omega \sin (\omega \times 0) \right) \,\,\,\,\, (C \in \mathbb{R})
Soit :
V0=Ce0+Vm2ω2+k2(kcos(0)+mωsin0))(CR)V_0 = C \, e^{0} + \dfrac{V}{m^2 \omega^2 + k^2} \left( k \cos (0) + m \omega \sin 0) \right) \,\,\,\,\, (C \in \mathbb{R})
Ainsi :
V0=C+Vm2ω2+k2(k+0)(CR)V_0 = C + \dfrac{V}{m^2 \omega^2 + k^2} \left( k + 0 \right) \,\,\,\,\, (C \in \mathbb{R})
Dès lors :
C=V0Vm2ω2+k2C = V_0 - \dfrac{V}{m^2 \omega^2 + k^2}
On en déduit alors que :
v(t)=(V0Vm2ω2+k2)ekmt+Vm2ω2+k2(kcos(ωt)+mωsin(ωt))v(t) = \left( V_0 - \dfrac{V}{m^2 \omega^2 + k^2} \right) e^{- \frac{k}{m} t} + \dfrac{V}{m^2 \omega^2 + k^2} \left( k \cos (\omega t) + m \omega \sin (\omega t) \right)
Finalement :
v(t)=V0ekmt+Vm2ω2+k2(kcos(ωt)+mωsin(ωt)ekmt){\color{red}{\boxed{v(t) = V_0 e^{- \frac{k}{m} t} + \dfrac{V}{m^2 \omega^2 + k^2} \left( k \cos (\omega t) + m \omega \sin (\omega t) - e^{- \frac{k}{m} t} \right) }}}