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Un autre modèle physique - Exercice 1

45 min

Dans cet exercice, on aborde la résolution de l'équation différentielle non-linéaire issue de la modélisation d'une chute verticale dans un champ de pesanteur uniforme, avec des frottements aérodynamiques, c'est-à-dire proportionnel au carré de la norme du vecteur vitesse.

Question 1

Soit

m

k

g

trois constantes réelles strictement positives.
On considère l'équation différentielle non linéaire

(E)

(E) : \,\, mv'(t) + kv^2(t) = mg

la fonction

v

représente la vitesse.

Démontrer l'existence physique d'une vitesse limite $v_\ell$ . Préciser son expression.

Correction

Si la vitesse atteint une vitesse limite

v_\ell

alors elle ne change plus de valeur et dans ce cas elle est constante. Ainsi sa dérivée

v'_\ell

est nulle. Ainsi l'équation

(E)

devient :

m v_\ell'(t) + kv_\ell^2 = mg

Soit :

m \times 0 + k v_\ell^2 = mg

Donc :

v_\ell^2 = \dfrac{mg}{k} \,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\, v_\ell = \pm \sqrt{\dfrac{mg}{k}}

v_\ell > 0

, finalement on en déduit :

\red{\boxed{v_\ell = \sqrt{\dfrac{mg}{k}}}}

Question 2

Montrer que l'équation différentielle $(E)$ prend la forme suivante : $v'(t) = G \left( 1 - \left( \dfrac{v(t)}{v_\ell} \right)^2 \right)$ où $G$ est une constante donc vous préciserez l'expression.

Correction

On a :

mv'(t) + kv^2(t) = mg

Mais

v_\ell = \sqrt{\dfrac{mg}{k}}

ce qui implique que

mg = k v{_\ell}^2

. Ce qui nous donne :

mv'(t) + kv^2(t) = k v{_\ell}^2

Comme

m \neq 0

on peut donc écrire :

v'(t) + \dfrac{k}{m} v^2(t) = \dfrac{k}{m} v{_\ell}^2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, v'(t) = \dfrac{k}{m} v{_\ell}^2 - \dfrac{k}{m} v^2(t) \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, v'(t) = \dfrac{k}{m} \left( v{_\ell}^2 - v^2(t) \right) \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, v'(t) = \dfrac{k}{m}v{_\ell}^2 \left( 1 - \dfrac{v^2(t)}{v{_\ell}^2} \right) \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, v'(t) = \dfrac{k}{m}v{_\ell}^2 \left( 1 - \left(\dfrac{v(t)}{v{_\ell}}\right)^2 \right)

On pose

G = \dfrac{k}{m}v{_\ell}^2

. Dans ce cas, on obtient bien :

\red{\boxed{v'(t) = G \left( 1 - \left( \dfrac{v(t)}{v_\ell} \right)^2 \right)}}

Question 3

Montrer que l'on a : $V'(t) = K \left( 1 - V^2(t) \right)$ . Dans cette équation $V(t) = \dfrac{v(t)}{v_\ell}$ et $K$ est une autre constante réelle dont vous préciserez l'expression.

Correction

On a :

v'(t) = G \left( 1 - \left( \dfrac{v(t)}{v_\ell} \right)^2 \right) \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \dfrac{v'(t)}{v_\ell} = \dfrac{G}{v_\ell} \left( 1 - \left( \dfrac{v(t)}{v_\ell} \right)^2 \right)

Comme

v\ell

est une constante réelle, on a alors :

\dfrac{v'(t)}{v_\ell} = \left(\dfrac{v(t)}{v_\ell}\right)'

On en déduit donc que :

\left(\dfrac{v(t)}{v_\ell}\right)' = \dfrac{G}{v_\ell} \left( 1 - \left( \dfrac{v(t)}{v_\ell} \right)^2 \right)

Si on pose

V(t) = \dfrac{v(t)}{v_\ell}

on obtient :

V'(t) = \dfrac{G}{v_\ell} \left( 1 - V^2(t) \right)

Puis, on posant

K = \dfrac{G}{v_\ell} = \dfrac{k}{m}v{_\ell}

, on trouve que :

\red{\boxed{V'(t) = K\left( 1 - V^2(t) \right)}}

Question 4

Déterminer la valeur des deux nombres réels $A$ et $B$ qui vérifient : $\dfrac{1}{1 - V^2(t)} = \dfrac{A}{1+V(t)} + \dfrac{B}{1-V(t)}$ .

Correction

On a :

\dfrac{1}{1 - V^2(t)} = \dfrac{A}{1+V(t)} + \dfrac{B}{1-V(t)} \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \dfrac{1}{1 - V^2(t)} = \dfrac{A \left(1-V(t)\right) + B\left(1+V(t) \right)}{\left(1+V(t) \right) \left(1-V(t)\right)} \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \dfrac{1}{1 - V^2(t)} = \dfrac{A-AV(t)+B+BV(t)}{1 - V^2(t)}

Ce qui nous donne par identification des numlérateurs :

\dfrac{1}{1 - V^2(t)} = \dfrac{A+B+(B-A)V(t)}{1 - V^2(t)} \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \dfrac{1 + 0 V(t)}{1 - V^2(t)} = \dfrac{A+B+(B-A)V(t)}{1 - V^2(t)}

Ce qui implique que

(B-A) = 0

et aussi que

A+B=1

. Ce qui nous donne

B = A

et donc

2A = 1

. Ainsi

A = B = \dfrac{1}{2}

. D'où :

\dfrac{1}{1 - V^2(t)} = \dfrac{\dfrac{1}{2}}{1+V(t)} + \dfrac{\dfrac{1}{2}}{1-V(t)}

Finalement :

\red{\boxed{\dfrac{1}{1 - V^2(t)} = \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{1}{1+V(t)} + \dfrac{1}{1-V(t)} \right)}}

Question 5

Démontrer que l'on a : $\dfrac{1 - V(t)}{1 + V(t)} = Q \, e^{-2Kt}$ ou $Q$ est une nouvelle constante réelle donc vous préciserez l'expression.

Correction

On sait que :

V'(t) = K\left( 1 - V^2(t) \right)

Soit encore :

\dfrac{V'(t)}{1 - V^2(t)} = K

Soit encore :

V'(t) \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{1}{1+V(t)} + \dfrac{1}{1-V(t)} \right) = K \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \left( \dfrac{V'(t)}{1+V(t)} + \dfrac{V'(t)}{1-V(t)} \right) = 2K \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \dfrac{V'(t)}{1+V(t)} - \dfrac{-V'(t)}{1-V(t)} = 2K

En primitivant, on obtient :

\ln \left( 1 + V(t) \right) - \ln \left( 1 - V(t) \right) = 2Kt + q \,\,\, (q \in \mathbb{R})

En utilisant les propriétés élémentaires associées aux logarithmes, on obtient :

\ln \left( \dfrac{ 1 + V(t)}{ 1 - V(t)} \right) = 2Kt + q \,\,\, (q \in \mathbb{R}) \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, -\ln \left( \dfrac{ 1 + V(t)}{ 1 - V(t)} \right) = -2Kt - q \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \ln \left( \dfrac{ 1 - V(t)}{ 1 + V(t)} \right) = -2Kt - q

En prenant l'exponentielle de chacun des deux membres, on a :

e^{\ln \left( \frac{ 1 - V(t)}{ 1 + V(t)} \right)} = e^{-2Kt - q} \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \frac{ 1 - V(t)}{ 1 + V(t)} = e^{-2Kt} \times e^{-q}

En posant

Q = e^{-q} \in \mathbb{R}

, on obtient finalement :

\red{\boxed{\dfrac{1 - V(t)}{1 + V(t)} = Q \, e^{-2Kt}}}

Question 6

On note par $v_0 = v(t=0)$ . Montrer que : $v(t) = v_\ell \, \left( \dfrac{1 - \dfrac{v_\ell - v_0}{v_\ell + v_0} e^{-2\frac{k}{m} v_\ell t}}{1 + \dfrac{v_\ell - v_0}{v_\ell + v_0} e^{-2\frac{k}{m} v_\ell t}} \right)$

Correction

On a :

\dfrac{1 - V(t)}{1 + V(t)} = Q \, e^{-2Kt}

Soit :

1 - V(t) = \left( 1 + V(t) \right) Q \, e^{-2Kt} \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, 1 - V(t) = Q \, e^{-2Kt} + V(t) Q \, e^{-2Kt} \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, 1 - Q \, e^{-2Kt} = V(t) + V(t) Q \, e^{-2Kt} \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, 1 - Q \, e^{-2Kt} = V(t) \left( 1 + Q \, e^{-2Kt} \right)

Ce qui nous donne :

V(t) = \dfrac{1 - Q \, e^{-2Kt}}{ 1 + Q \, e^{-2Kt}} \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \dfrac{v(t)}{v_\ell} = \dfrac{1 - Q \, e^{-2Kt}}{ 1 + Q \, e^{-2Kt}}

Utilisons maintenant la condition initiale

v_0 = v(t=0)

. On a alors :

\dfrac{v(t=0)}{v_\ell} = \dfrac{1 - Q \, e^{-2K\times 0}}{ 1 + Q \, e^{-2K\times 0}} \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \dfrac{v_0}{v_\ell} = \dfrac{1 - Q \, e^{0}}{ 1 + Q \, e^{0}} \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, v_0 = \dfrac{1 - Q}{ 1 + Q} \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, v_0 (1+Q) = 1 - Q \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \dfrac{v_0}{v_\ell} + \dfrac{v_0}{v_\ell} Q = 1 - Q \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, Q + \dfrac{v_0}{v_\ell} Q = 1 - \dfrac{v_0}{v_\ell}

Soit encore :

Q \left( 1 + \dfrac{v_0}{v_\ell} \right) = 1 - \dfrac{v_0}{v_\ell} \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, Q \left( \dfrac{v_\ell + v_0}{v_\ell} \right) = \dfrac{v_\ell - v_0}{v_\ell}

Comme

v_\ell \neq 0

, on peut donc simplifier et obtenir :

Q (v_\ell + v_0) = v_\ell - v_0

Donc

Q = \dfrac{v_\ell - v_0}{v_\ell + v_0}

. On a alors :

\dfrac{v(t)}{v_\ell} = \dfrac{1 - \dfrac{v_\ell - v_0}{v_\ell + v_0} \, e^{-2Kt}}{ 1 + \dfrac{v_\ell - v_0}{v_\ell + v_0} \, e^{-2Kt}} \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, v(t) = v_\ell \left( \dfrac{1 - \dfrac{v_\ell - v_0}{v_\ell + v_0} \, e^{-2Kt}}{ 1 + \dfrac{v_\ell - v_0}{v_\ell + v_0} \, e^{-2Kt}} \right)

Or, on sait que

K = \dfrac{k}{m}v{_\ell}

. Ce qui nous donne donc :

\red{\boxed{v(t) = v_\ell \, \left( \dfrac{1 - \dfrac{v_\ell - v_0}{v_\ell + v_0} e^{-2\frac{k}{m} v_\ell t}}{1 + \dfrac{v_\ell - v_0}{v_\ell + v_0} e^{-2\frac{k}{m} v_\ell t}} \right)}}

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Un autre modèle physique - Exercice 1

Démontrer l'existence physique d'une vitesse limite vℓv_\ellvℓ​. Préciser son expression.

Montrer que l'équation différentielle (E)(E)(E) prend la forme suivante : v′(t)=G(1−(v(t)vℓ)2)v'(t) = G \left( 1 - \left( \dfrac{v(t)}{v_\ell} \right)^2 \right)v′(t)=G(1−(vℓ​v(t)​)2) où GGG est une constante donc vous préciserez l'expression.

Montrer que l'on a : V′(t)=K(1−V2(t))V'(t) = K \left( 1 - V^2(t) \right)V′(t)=K(1−V2(t)). Dans cette équation V(t)=v(t)vℓV(t) = \dfrac{v(t)}{v_\ell}V(t)=vℓ​v(t)​ et KKK est une autre constante réelle dont vous préciserez l'expression.

Déterminer la valeur des deux nombres réels AAA et BBB qui vérifient : 11−V2(t)=A1+V(t)+B1−V(t)\dfrac{1}{1 - V^2(t)} = \dfrac{A}{1+V(t)} + \dfrac{B}{1-V(t)}1−V2(t)1​=1+V(t)A​+1−V(t)B​.

Démontrer que l'on a : 1−V(t)1+V(t)=Q e−2Kt\dfrac{1 - V(t)}{1 + V(t)} = Q \, e^{-2Kt}1+V(t)1−V(t)​=Qe−2Kt ou QQQ est une nouvelle constante réelle donc vous préciserez l'expression.

Démontrer l'existence physique d'une vitesse limite $v_\ell$ . Préciser son expression.

Montrer que l'équation différentielle $(E)$ prend la forme suivante : $v'(t) = G \left( 1 - \left( \dfrac{v(t)}{v_\ell} \right)^2 \right)$ où $G$ est une constante donc vous préciserez l'expression.

Montrer que l'on a : $V'(t) = K \left( 1 - V^2(t) \right)$ . Dans cette équation $V(t) = \dfrac{v(t)}{v_\ell}$ et $K$ est une autre constante réelle dont vous préciserez l'expression.

Déterminer la valeur des deux nombres réels $A$ et $B$ qui vérifient : $\dfrac{1}{1 - V^2(t)} = \dfrac{A}{1+V(t)} + \dfrac{B}{1-V(t)}$ .

Démontrer que l'on a : $\dfrac{1 - V(t)}{1 + V(t)} = Q \, e^{-2Kt}$ ou $Q$ est une nouvelle constante réelle donc vous préciserez l'expression.