Problème de Physique Thermique - Exercice 1

Le sujet nous apprend que "$$\theta '(t)$$ est proportionnel à la différence entre la température $$\theta(t)$$ et celle de la pièce ... On notera par $$a$$ ce coefficient de proportionnalité". Ainsi, on en déduit que :
$$\theta '(t) = a (\theta(t)-20) \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \theta '(t) = a \theta(t) - 20a$$
D'où l'équation différentielle suivante :
$$\theta '(t) - a\theta(t) = - 20 a$$

Il s'agit d'une équation différentielle du premier ordre, à coefficient constant et linéaire. Donc, la solution générale recherchée est donc la somme de deux solutions : la solution particulière $$\theta_p$$ et la solution homogène (on dit aussi sans second membre) $$\theta_{ssm}$$. Ainsi, on a :
$$\,\, \bullet \,\,$$ Solution particulière :
Comme le second membre de cette équation différentielle est une constante réelle égale à $$-20 a$$, la solution particulière $$\theta_p$$ est elle même une constante réelle. Dans ce cas sa dérivée par rapport au temps $$\theta'_p$$ est nulle. Donc :
$$- a\theta_p(t) = - 20 a \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \theta_p(t) = 20$$
$$\,\, \bullet \,\,$$ Solution sans second membre :
$$\theta_{ssm} '(t) - a\theta_{ssm}(t) = 0 \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \dfrac{\theta_{ssm} '(t)}{\theta_{ssm} (t)} = a$$
Ce qui nous donne par intégration élémentaire :
$$\theta_{ssm} (t) = C e^{at} \,\,\,\, (C \in \mathbb{R})$$
Donc la solution générale recherchée de cette équation différentielle est alors :
$$\theta (t) = C e^{at} + 20 \,\,\,\, (C \in \mathbb{R})$$

Le sujet nous apprend que "La température $$\theta (0)$$ d'un liquide égale à $$70\,^{o}C$$". Ainsi, on a alors :
$$\theta (t=0) = 70 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, C e^{a \times 0} + 20 = 70 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, C \times 1 = 50 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, C = 50$$
Donc, la solution de notre problème devient alors :
$$\theta(t) = 50 e^{at} + 20$$
Puis, le sujet nous apprend que "Cinq minutes plus tard, elle n'est plus que de $$60\,^{o}C$$.". Donc, on en déduit que :
$$\theta (t=5) = 60 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, 50 e^{a\times 5} + 20 = 60 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, e^{5a} = \dfrac{60-20}{50} \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, 5a = \ln \dfrac{4}{5}$$
D'où :
$$a = \dfrac{1}{5}\ln \dfrac{4}{5}$$
Donc, la solution physique de notre problème devient alors :
$$\theta(t) = 50 e^{\frac{t}{5}\ln \frac{4}{5}} + 20$$
Finalement, la température du liquide $$30$$ minutes après l'instant initial est donnée par $$\theta (t=30)$$, à savoir :
$$\theta (t=30) = 50 e^{\frac{30}{5}\ln \frac{4}{5}} + 20 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \theta (t=30) = 50 e^{6\ln \frac{4}{5}} + 20$$
Soit :
$$\theta (t=30) \simeq 33,11 \, ^o C$$