Equations différentielles : en route vers le supérieur

Problème de Physique Thermique - Exercice 1

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La Physique fait très souvent appelle aux équations différentielles. En voici un exemple simple.
Question 1
Dans une pièce de température constante de 20oC20 \,^{o}C à l'instant initial, noté 00. La température θ(0)\theta (0) d'un liquide égale à 70oC70\,^{o}C. Cinq minutes plus tard, elle n'est plus que de 60oC60\,^{o}C.
On admet que la température θ\theta du liquide est une fonction dérivable du temps tt, exprimé en minutes. En outre, on admet que θ(t)\theta '(t) est proportionnel à la différence entre la température θ(t)\theta(t) et celle de la pièce. On notera par aa ce coefficient de proportionnalité, avec aRa \in \mathbb{R}.

Déterminer l'équation différentielle qui gouverne l'évolution de la température θ(t)\theta(t).

Correction
Le sujet nous apprend que "θ(t)\theta '(t) est proportionnel à la différence entre la température θ(t)\theta(t) et celle de la pièce ... On notera par aa ce coefficient de proportionnalité". Ainsi, on en déduit que :
θ(t)=a(θ(t)20)θ(t)=aθ(t)20a\theta '(t) = a (\theta(t)-20) \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \theta '(t) = a \theta(t) - 20a
D'où l'équation différentielle suivante :
θ(t)aθ(t)=20a\theta '(t) - a\theta(t) = - 20 a
Question 2

Déterminer la solution générale de cette équation différentielle.

Correction
Il s'agit d'une équation différentielle du premier ordre, à coefficient constant et linéaire. Donc, la solution générale recherchée est donc la somme de deux solutions : la solution particulière θp\theta_p et la solution homogène (on dit aussi sans second membre) θssm\theta_{ssm}. Ainsi, on a :
\,\, \bullet \,\, Solution particulière :
Comme le second membre de cette équation différentielle est une constante réelle égale à 20a-20 a, la solution particulière θp\theta_p est elle même une constante réelle. Dans ce cas sa dérivée par rapport au temps θp\theta'_p est nulle. Donc :
aθp(t)=20aθp(t)=20- a\theta_p(t) = - 20 a \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \theta_p(t) = 20
\,\, \bullet \,\, Solution sans second membre :
θssm(t)aθssm(t)=0θssm(t)θssm(t)=a\theta_{ssm} '(t) - a\theta_{ssm}(t) = 0 \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \dfrac{\theta_{ssm} '(t)}{\theta_{ssm} (t)} = a
Ce qui nous donne par intégration élémentaire :
θssm(t)=Ceat(CR)\theta_{ssm} (t) = C e^{at} \,\,\,\, (C \in \mathbb{R})
Donc la solution générale recherchée de cette équation différentielle est alors :
θ(t)=Ceat+20(CR)\theta (t) = C e^{at} + 20 \,\,\,\, (C \in \mathbb{R})
Question 3

Déterminer, au centième près, la température du liquide 3030 minutes après l'instant initial.

Correction
Le sujet nous apprend que "La température θ(0)\theta (0) d'un liquide égale à 70oC70\,^{o}C". Ainsi, on a alors :
θ(t=0)=70Cea×0+20=70C×1=50C=50\theta (t=0) = 70 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, C e^{a \times 0} + 20 = 70 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, C \times 1 = 50 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, C = 50
Donc, la solution de notre problème devient alors :
θ(t)=50eat+20\theta(t) = 50 e^{at} + 20
Puis, le sujet nous apprend que "Cinq minutes plus tard, elle n'est plus que de 60oC60\,^{o}C.". Donc, on en déduit que :
θ(t=5)=6050ea×5+20=60e5a=6020505a=ln45\theta (t=5) = 60 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, 50 e^{a\times 5} + 20 = 60 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, e^{5a} = \dfrac{60-20}{50} \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, 5a = \ln \dfrac{4}{5}
D'où :
a=15ln45a = \dfrac{1}{5}\ln \dfrac{4}{5}
Donc, la solution physique de notre problème devient alors :
θ(t)=50et5ln45+20\theta(t) = 50 e^{\frac{t}{5}\ln \frac{4}{5}} + 20
Finalement, la température du liquide 3030 minutes après l'instant initial est donnée par θ(t=30)\theta (t=30), à savoir :
θ(t=30)=50e305ln45+20θ(t=30)=50e6ln45+20\theta (t=30) = 50 e^{\frac{30}{5}\ln \frac{4}{5}} + 20 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \theta (t=30) = 50 e^{6\ln \frac{4}{5}} + 20
Soit :
θ(t=30)33,11oC\theta (t=30) \simeq 33,11 \, ^o C