Pour débuter - Exercice 1

Si la solution $$y$$ (de variable $$x$$) de l'équation $$(E)$$ est constante réelle $$C$$ alors on a $$y'=0$$. Dans ce cas, on a une solution particulière $$y_p$$ qui va s'écrire comme :
$$2y_p' + y_p = 3$$
Mais comme $$y_p = C$$ alors la dérivée est $$y'_p = C' = 0$$. Dans ce cas, on en déduit que :
$$y_p(x) = 3$$

Puis, si on considère l'équation sans second membre (dont la solution sera notée $$y_{ssm}$$) à savoir $$2y'_{ssm} + y_{ssm} =0$$, on peut alors écrire que :
$$2y'_{ssm} = - y_{ssm} \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, y'_{ssm} = -\dfrac{1}{2} y_{ssm} \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \dfrac{y'_{ssm}}{y_{ssm}} = -\dfrac{1}{2}$$
En intégrant, on trouve que :
$$\ln y_{ssm}(x) + k_1 = -\dfrac{1}{2}x + k_2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, y_{ssm}(x) = e^{-\frac{1}{2}x + k_2 - k_1}$$
Dans ces équations, $$k_1$$ et $$k_2$$ sont deux constantes d'intégration réelles. En utilisant les propriétés de la fonction exponentielle, on va pouvoir écrire que :
$$y_{ssm}(x) = e^{-\frac{1}{2}x} e^{k_2 - k_1}$$
Or, le terme $$e^{k_2 - k_1}$$ est une constante réelle, que nous noterons $$k$$. Ainsi, on trouve que :
$$y_{ssm}(x) =k e^{-\frac{1}{2}x} \,\,\, k \in \mathbb{R}$$.

L'équation différentielle $$(E)$$ est linéaire, on en déduit que la solution globale $$y$$ est la somme de $$y_p$$ et de $$y{ssm}$$. On a alors :
$$y = y_{ssm} + y_p$$
Finalement :
$$y(x) = k e^{-\frac{1}{2}x} + 3$$

La solution $$y$$ qui admet une tangente à l'origine de coefficient directeur égal à $$3$$ est caractérisée par la condition $$y'(x=0)=3$$. Ce qui nous donne donc :
$$y'(x) = -\dfrac{1}{2}k e^{-\frac{1}{2}x} \,\,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\,\, y'(x=0) = -\dfrac{1}{2}k e^{-\frac{1}{2}\times 0} \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\ y'(x=0) = -\dfrac{1}{2}k$$
Ainsi, on peut écrire que :
$$3 = -\dfrac{1}{2}k \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\ k = -6$$
Finalement, on obtient :
$$y(x) = -6 e^{-\frac{1}{2}x} + 3$$
En factorisant :
$$y(x) = 3 \left( 1 - 2 e^{-\frac{1}{2}x} \right)$$