La méthode de séparation des variables - Exercice 1

On a l'équation :
$$(E) : \,\,\,\, y' + y^2 = 0$$
Donc :
$$y'= - y^2$$
Soit encore (c'est cette ligne suivante qui justifie le nom de "méthode de séparation des variables") :
$$\dfrac{dy}{dx} = - y^2$$
Ceci nous donne donc :
$$-\dfrac{dy}{y^2} = dx \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, - \dfrac{1}{y^2} \, dy = 1 \, dx$$
En primitivant cette dernière égalité, on obtient :
$$\int - \dfrac{1}{y^2} \, dy = \int 1 \, dx$$
On obtient alors :
$$\dfrac{1}{y} = x + A \,\,\, (A \in \mathbb{R})$$
Par simple inversion, on a donc bien démontrer que :
$$y(x) = \dfrac{1}{x + A}$$ avec $$A \in \mathbb{R}$$

On a :
$$y(0) = 3$$
Donc :
$$\dfrac{1}{0 + A} = 3$$
Ainsi :
$$\dfrac{1}{A} = 3$$
Et de fait :
$$A = \dfrac{1}{3}$$
Finalement, on obtient :
$${\color{red}{\boxed{y(x) = \dfrac{1}{x + \dfrac{1}{3}}}}}$$