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Primitives

Une intégrale trigonométrique plus délicate. - Exercice 1

50 min
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Un exemple plus délicat, qui nécessite quelques prises d'initiatives et quelques tâtonnements de réflexions.
Question 1
Soit nn un nombre entier naturel.

Calculer l'intégrale In=∫0π2sin⁡(nx)sin⁡(x) dxI_n = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \dfrac{\sin(nx)}{\sin(x)} \, dx.
On rappelle que :
∀(p ; q)∈R2,  sin⁡(p)−sin⁡(q)=2cos⁡(p+q2)sin⁡(p−q2)\forall (p \,;\,q) \in \mathbb{R}^2, \,\, \sin(p) - \sin(q) = 2 \cos \left( \dfrac{p+q}{2} \right) \sin \left( \dfrac{p-q}{2} \right)

Correction
On remarque que :
sin⁡((n+2)x)−sin⁡(nx)=2cos⁡((n+2)x+nx2)sin⁡((n+2)x−nx2)\sin\big((n+2)x\big) - \sin(nx) = 2\cos \left( \dfrac{(n+2)x+nx}{2} \right) \sin \left( \dfrac{(n+2)x-nx}{2} \right)
Soit :
sin⁡((n+2)x)−sin⁡(nx)=2cos⁡(nx+2x+nx2)sin⁡(nx+2x−nx2)\sin\big((n+2)x\big) - \sin(nx) = 2\cos \left( \dfrac{nx + 2x + nx}{2} \right) \sin \left( \dfrac{nx + 2x - nx}{2} \right)
Soit encore :
sin⁡((n+2)x)−sin⁡(nx)=2cos⁡(2nx+2x2)sin⁡(2x2)\sin\big((n+2)x\big) - \sin(nx) = 2\cos \left( \dfrac{2nx + 2x}{2} \right) \sin \left( \dfrac{2x}{2} \right)
En simplifiant :
sin⁡((n+2)x)−sin⁡(nx)=2cos⁡(nx+x)sin⁡(x)\sin\big((n+2)x\big) - \sin(nx) = 2\cos \left( nx + x \right) \sin \left( x \right)
D'où :
sin⁡((n+2)x)−sin⁡(nx)=2cos⁡((n+1)x)sin⁡(x)\sin\big((n+2)x\big) - \sin(nx) = 2\cos \left( (n+1)x \right) \sin \left( x \right)
Ainsi :
sin⁡((n+2)x)−sin⁡(nx)sin⁡(x)=2cos⁡((n+1)x)\dfrac{\sin\big((n+2)x\big) - \sin(nx)}{\sin \left( x \right)} = 2\cos \left( (n+1)x \right)
De façon identique :
sin⁡((n+2)x)sin⁡(x)−sin⁡(nx)sin⁡(x)=2cos⁡((n+1)x)\dfrac{\sin\big((n+2)x\big)}{\sin \left( x \right)} - \dfrac{\sin(nx)}{\sin \left( x \right)} = 2\cos \left( (n+1)x \right)
Ce qui implique que :
∫0π2(sin⁡((n+2)x)sin⁡(x)−sin⁡(nx)sin⁡(x)) dx=∫0π22cos⁡((n+1)x) dx\int_0^{\frac{\pi}{2}}\left( \dfrac{\sin\big((n+2)x\big)}{\sin \left( x \right)} - \dfrac{\sin(nx)}{\sin \left( x \right)} \right) \, dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} 2\cos \left( (n+1)x \right) \, dx
Par linéarité de l'intégrale, on peut écrire que :
∫0π2sin⁡((n+2)x)sin⁡(x) dx−∫0π2sin⁡(nx)sin⁡(x) dx=∫0π22cos⁡((n+1)x) dx\int_0^{\frac{\pi}{2}} \dfrac{\sin\big((n+2)x\big)}{\sin \left( x \right)} \, dx - \int_0^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{\sin(nx)}{\sin \left( x \right)} \, dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} 2\cos \left( (n+1)x \right) \, dx
Ce qui nous donne :
In+2−In=2∫0π2cos⁡((n+1)x) dxI_{n+2} - I_n = 2\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos \left( (n+1)x \right) \, dx
Donc :
In+2−In=2[1n+1sin⁡((n+1)x)]0π2=2n+1[sin⁡((n+1)x)]0π2=2n+1sin⁡((n+1)π2)I_{n+2} - I_n = 2\left[ \dfrac{1}{n+1}\sin \left( (n+1)x \right) \right]_0^{\frac{\pi}{2}} = \dfrac{2}{n+1} \left[ \sin \left( (n+1)x \right) \right]_0^{\frac{\pi}{2}} = \dfrac{2}{n+1} \sin \left( (n+1)\dfrac{\pi}{2} \right)
Nous allons donc devoir distinguer la parité de l'entier naturel nn.
♣  Si  n  est  pair:{\color{blue}{\bf{\clubsuit \,\, Si \,\,}} n \,\, } {\color{blue}{\bf{est \,\, pair :}}}
Dans ce cas on a n=2Nn = 2N, avec N∈NN \in \mathbb{N}. Donc :
I2N+2−I2N=22N+1sin⁡((2N+1)π2)=22N+1sin⁡(π2+Nπ)=22N+1(−1)NI_{2N+2} - I_{2N} = \dfrac{2}{2N+1} \sin \left( (2N+1)\dfrac{\pi}{2} \right) = \dfrac{2}{2N+1} \sin \left( \dfrac{\pi}{2} + N\pi\right) = \dfrac{2}{2N+1}(-1)^N
Ou encore :
I2N−I2N−2=22(N−1)+1(−1)N−1=22N−2+1(−1)N−1=22N−1(−1)N−1I_{2N} - I_{2N-2} = \dfrac{2}{2(N-1)+1}(-1)^{N-1} = \dfrac{2}{2N-2+1}(-1)^{N-1} = \dfrac{2}{2N-1}(-1)^{N-1}
Ainsi :
I2N=I2N−I2N−2+I2N−2−I2N−4+I2N−4−I2N−6+⋯+I4−I2+I2I_{2N} = I_{2N} - I_{2N-2} + I_{2N-2} - I_{2N-4} + I_{2N-4} - I_{2N-6} + \cdots + I_{4} - I_{2} + I_{2}
Le premier nn pair correspond à n=0n=0, donc à I0I_0 :
I0=∫0π2sin⁡(0x)sin⁡(x) dx=∫0π2sin⁡(0)sin⁡(x) dx=∫0π20sin⁡(x) dx=∫0π20 dx=0I_0 = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \dfrac{\sin(0x)}{\sin(x)} \, dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \dfrac{\sin(0)}{\sin(x)} \, dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \dfrac{0}{\sin(x)} \, dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} 0 \, dx = 0
On en déduit alors que :
I2N=I2N−I2N−2+I2N−2−I2N−4+I2N−4−I2N−6+⋯+I4−I2+I2−I0I_{2N} = I_{2N} - I_{2N-2} + I_{2N-2} - I_{2N-4} + I_{2N-4} - I_{2N-6} + \cdots + I_{4} - I_{2} + I_{2} - I_{0}
Ce qui s'écrit encore :
I2N=(I2N−I2N−2)+(I2N−2−I2N−4)+(I2N−4−I2N−6)+⋯+(I4−I2)+(I2−I0)I_{2N} = \big( I_{2N} - I_{2N-2} \big) + \big( I_{2N-2} - I_{2N-4} \big) + \big( I_{2N-4} - I_{2N-6} \big) + \cdots + \big( I_{4} - I_{2} \big) + \big( I_{2} - I_{0} \big)
Ce qui nous permet d'écrire que :
∙  I2N−I2N−2=22N−1(−1)N−1=+22N−1(−1)N−1\bullet \,\, I_{2N} - I_{2N-2} = \dfrac{2}{2N-1}(-1)^{N-1} = + \dfrac{2}{2N-1}(-1)^{N-1}
∙∙  I2N−2−I2N−4=22(N−1)−1(−1)(N−1)−1=22N−3(−1)N−2=−22N−3(−1)N−1\bullet \bullet \,\, I_{2N-2} - I_{2N-4} = \dfrac{2}{2(N-1)-1}(-1)^{(N-1)-1} = \dfrac{2}{2N-3}(-1)^{N-2} = - \dfrac{2}{2N-3}(-1)^{N-1}
∙∙∙  I2N−4−I2N−6=22(N−2)−1(−1)(N−2)−1=22N−5(−1)N−3=+22N−5(−1)N−1\bullet \bullet \bullet\,\, I_{2N-4} - I_{2N-6} = \dfrac{2}{2(N-2)-1}(-1)^{(N-2)-1} = \dfrac{2}{2N-5}(-1)^{N-3} = +\dfrac{2}{2N-5}(-1)^{N-1}
∙∙∙∙  I4−I2=22×2−1(−1)2−1=24−1(−1)1=−23\bullet \bullet \bullet \bullet \,\, I_{4} - I_{2} = \dfrac{2}{2\times 2-1}(-1)^{2-1} = \dfrac{2}{4-1}(-1)^{1} = - \dfrac{2}{3}
∙∙∙∙∙  I2−I0=22×1−1(−1)1−1=2\bullet \bullet \bullet \bullet \bullet \,\, I_{2} - I_{0} = \dfrac{2}{2\times 1-1}(-1)^{1-1} = 2
Donc :
I2N=2−23+25−27+⋯+22N−1(−1)N−1I_{2N} = 2 - \dfrac{2}{3} + \dfrac{2}{5} - \dfrac{2}{7} + \cdots + \dfrac{2}{2N-1}(-1)^{N-1}
Soit :
∀N∈N⋆,  I2N=2(1−13+15−17+⋯+(−1)N−12N−1)\forall N \in \mathbb{N}^\star, \,\, I_{2N} = 2 \left( 1 - \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{5} - \dfrac{1}{7} + \cdots + \dfrac{(-1)^{N-1}}{2N-1} \right)
Et I0=0I_0 = 0.
♣♣  Si  n  est  impair:{\color{blue}{\bf{\clubsuit \clubsuit \,\, Si \,\,}} n \,\, } {\color{blue}{\bf{est \,\, impair :}}}
Dans ce cas on a n=2N+1n = 2N+1, avec N∈NN \in \mathbb{N}. Donc :
I(2N+1)+2−I2N+1=2(2N+1)+1sin⁡(((2N+1)+1)π2)=22N+2sin⁡(π+Nπ)=1N+10=0I_{(2N+1)+2} - I_{2N+1} = \dfrac{2}{(2N+1)+1} \sin \left( ((2N+1)+1)\dfrac{\pi}{2} \right) = \dfrac{2}{2N+2} \sin \left( \pi + N\pi\right) = \dfrac{1}{N+1}0 = 0
Donc :
I2N+3−I2N+1=0I_{2N+3} - I_{2N+1} = 0
Ce qui signifie que :
I2N+3=I2N+1I_{2N+3} = I_{2N+1}
Toutes les intégrales InI_n d'indice impair sont égales. Déterminons donc la valeur du premier cas correspondant, à savoir la valeur de I1I_1. On a alors :
I1=∫0π2sin⁡(1x)sin⁡(x) dx=∫0π2sin⁡(x)sin⁡(x) dx=∫0π21 dx=[x]0π2=π2−0=π2I_1 = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \dfrac{\sin(1x)}{\sin(x)} \, dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \dfrac{\sin(x)}{\sin(x)} \, dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} 1 \, dx = \left[ x \right]_0^{\frac{\pi}{2}} = \dfrac{\pi}{2} - 0 = \dfrac{\pi}{2}
Donc :
∀N∈N,  I2N+1=π2\forall N \in \mathbb{N}, \,\, I_{2N+1} = \dfrac{\pi}{2}