Un exemple plus délicat. - Exercice 1

On cherche :
$$F(x) = \int \dfrac{\sqrt[4]{1+x^3}}{x} \, dx$$
Posons $$u = \sqrt[4]{1+x^3}$$, de sorte que $$u^4 = 1+x^3$$, ainsi $$x^3 = u^4 - 1$$, ce qui implique que $$x = \big( u^4 - 1 \big)^{\frac{1}{3}}$$. Donc, par dérivation, on obtient :
$$\dfrac{dx}{du} = \dfrac{d}{du} \left( \big( u^4 - 1 \big)^{\frac{1}{3}} \right) = \dfrac{1}{3} \big( u^4 - 1 \big)^{\frac{1}{3}-1} \dfrac{d}{du} \big( u^4 - 1 \big) = \dfrac{1}{3} \big( u^4 - 1 \big)^{-\frac{2}{3}} 4u^3 = \dfrac{4}{3} \dfrac{u^3}{\big( u^4 - 1 \big)^{\frac{2}{3}}}$$
D'où :
$$dx = \dfrac{4}{3} \dfrac{u^3}{\big( u^4 - 1 \big)^{\frac{2}{3}}} \, du$$
Ainsi, on en déduit que :
$$F(x) = \int \dfrac{\sqrt[4]{1+x^3}}{x} \, dx = \int \dfrac{u}{\big( u^4 - 1 \big)^{\frac{1}{3}}} \, \dfrac{4}{3} \dfrac{u^3}{\big( u^4 - 1 \big)^{\frac{2}{3}}} \, du = \dfrac{4}{3} \int \dfrac{u^4}{u^4 - 1} \, du$$
Soit :
$$F(x) = \dfrac{4}{3} \int \dfrac{1 + u^4 - 1}{u^4 - 1} \, du = \dfrac{4}{3} \int \dfrac{1 + u^4 - 1}{u^4 - 1} \, du = \dfrac{4}{3} \int \left( \dfrac{1}{u^4 - 1} + \dfrac{u^4 - 1}{u^4 - 1} \right) \, du = \dfrac{4}{3} \int \left( \dfrac{1}{u^4 - 1} + 1 \right) \, du$$
Par linéarité, on a :
$$F(x) = \dfrac{4}{3} \left( \int \dfrac{1}{u^4 - 1} \, du + \int 1 \, du \right) = \dfrac{4}{3} \left( \int \dfrac{1}{(u^2 - 1) (u^2 + 1)} \, du + u + K \right) \,\,_, (K \in \mathbb{R})$$
Soit encore :
$$F(x) = \dfrac{4}{3} \int \dfrac{1}{(u - 1)(u + 1) (u^2 + 1)} \, du + \dfrac{4}{3}u + Q \,\,_, \left(Q = \dfrac{4}{3} K \in \mathbb{R} \right)$$
Avec $$A$$, $$B$$, $$C$$ et $$D$$ quantre nombres réels, on a la décomposition en éléments simples suivante :
$$\dfrac{1}{(u - 1)(u + 1) (u^2 + 1)} = \dfrac{A}{u - 1} + \dfrac{B}{u + 1} + \dfrac{Cu+D}{u^2 + 1}$$
En multipliant par $$u - 1$$, on obtient :
$$\dfrac{u - 1}{(u - 1)(u + 1) (u^2 + 1)} = \dfrac{A(u - 1)}{u - 1} + \dfrac{B(u - 1)}{u + 1} + \dfrac{(Cu+D)(u - 1)}{u^2 + 1}$$
Ce qui nous donne :
$$\dfrac{1}{(u + 1) (u^2 + 1)} = A + \dfrac{B(u - 1)}{u + 1} + \dfrac{(Cu+D)(u - 1)}{u^2 + 1}$$
Dans cette dernière expression, posons $$u = 1$$, on a alors :
$$\dfrac{1}{(1 + 1) (1^2 + 1)} = A + \dfrac{B(1 - 1)}{1 + 1} + \dfrac{(C+D)(1 - 1)}{1^2 + 1} \,\,\, \Longleftrightarrow\,\,\, \dfrac{1}{4} = A + 0 + 0 \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \dfrac{1}{4} = A$$
Donc :
$$\dfrac{1}{(u - 1)(u + 1) (u^2 + 1)} = \dfrac{1}{4(u - 1)} + \dfrac{B}{u + 1} + \dfrac{Cu+D}{u^2 + 1}$$
En multipliant par $$u + 1$$, on obtient :
$$\dfrac{u + 1}{(u - 1)(u + 1) (u^2 + 1)} = \dfrac{u + 1}{4(u - 1)} + \dfrac{B(u + 1)}{u + 1} + \dfrac{(Cu+D)(u + 1)}{u^2 + 1}$$
Soit :
$$\dfrac{1}{(u - 1) (u^2 + 1)} = \dfrac{u + 1}{4(u - 1)} + B + \dfrac{(Cu+D)(u + 1)}{u^2 + 1}$$
Posons alors $$u=-1$$. On a donc :
$$\dfrac{1}{(-1 - 1) ((-1)^2 + 1)} = \dfrac{-1 + 1}{4(-1 - 1)} + B + \dfrac{(-C+D)(-1 + 1)}{(-1)^2 + 1} \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, -\dfrac{1}{4} = 0 + B + 0 \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, -\dfrac{1}{4} = B$$
Donc :
$$\dfrac{1}{(u - 1)(u + 1) (u^2 + 1)} = \dfrac{1}{4(u - 1)} - \dfrac{1}{4(u + 1)} + \dfrac{Cu+D}{u^2 + 1}$$
Posons maintenant $$u = 0$$, ce qui nous permet d'avoir :
$$\dfrac{1}{(0 - 1)(0 + 1) (0^2 + 1)} = \dfrac{1}{4(0 - 1)} - \dfrac{1}{4(0 + 1)} + \dfrac{C0+D}{0^2 + 1} \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, -1 = -\dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{4} + \dfrac{D}{1} \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, -1 = -\dfrac{1}{2} + D$$
Soit $$D = -\dfrac{1}{2}$$. Donc :
$$\dfrac{1}{(u - 1)(u + 1) (u^2 + 1)} = \dfrac{1}{4(u - 1)} - \dfrac{1}{4(u + 1)} + \dfrac{Cu-\dfrac{1}{2}}{u^2 + 1} = \dfrac{1}{4(u - 1)} - \dfrac{1}{4(u + 1)} + \dfrac{2Cu-1}{2(u^2 + 1)}$$
Posons maintenant $$u=2$$, on a alors :
$$\dfrac{1}{(2 - 1)(2 + 1) (2^2 + 1)} = \dfrac{1}{4(2 - 1)} - \dfrac{1}{4(2 + 1)} + \dfrac{2C2-1}{2(2^2 + 1)} \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \dfrac{1}{15} = \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{12} + \dfrac{4C-1}{10}$$
Soit :
$$-\dfrac{1}{10} = \dfrac{4C-1}{10} \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, -1 = 4C-1 \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, -1+1 = 4C \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, 0 = 4C \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, 0 = C$$
De fait :
$$\dfrac{1}{(u - 1)(u + 1) (u^2 + 1)} = \dfrac{1}{4(u - 1)} - \dfrac{1}{4(u + 1)} + \dfrac{-1}{2(u^2 + 1)} = \dfrac{1}{4(u - 1)} - \dfrac{1}{4(u + 1)} - \dfrac{1}{2(u^2 + 1)}$$
Ce qui implique que :
$$F(x) = \dfrac{4}{3} \int \left( \dfrac{1}{4(u - 1)} - \dfrac{1}{4(u + 1)} - \dfrac{1}{2(u^2 + 1)} \right) \, du + \dfrac{4}{3}u + Q$$
Soit :
$$F(x) = \dfrac{1}{3} \int \left( \dfrac{1}{u - 1} - \dfrac{1}{u + 1} - \dfrac{2}{u^2 + 1} \right) \, du + \dfrac{4}{3}u + Q$$
Par linéarité, on obtient :
$$F(x) = \dfrac{1}{3} \left( \int \dfrac{1}{u - 1} \, du - \int \dfrac{1}{u + 1} \, du - \int\dfrac{2}{u^2 + 1} \, du \right)+ \dfrac{4}{3}u + Q$$
Ou encore :
$$F(x) = \dfrac{1}{3} \left( \int \dfrac{1}{u - 1} \, du - \int \dfrac{1}{u + 1} \, du - 2\int\dfrac{1}{u^2 + 1} \, du \right)+ \dfrac{4}{3}u + Q$$
En primitivant, on obtient alors :
$$F(x) = \dfrac{1}{3} \left( \ln \left( |u - 1 | \right) - \ln \left( |u + 1 | \right) - 2\arctan\left( u \right) \right)+ \dfrac{4}{3}u + G \,\,\, (G \in \mathbb{R})$$
En faisant usage des propriétés algébriques du logarithme népérien, on trouve que :
$$F(x) = \dfrac{1}{3} \left( \ln \left( \dfrac{|u - 1 |}{|u + 1 |} \right) - 2\arctan\left( u \right) \right)+ \dfrac{4}{3}u + G \,\,\, (G \in \mathbb{R})$$
En faisant maintenant usage des propriétés algébriques de la valeur absolue, on trouve que :
$$F(x) = \dfrac{1}{3} \left( \ln \left( \left|\dfrac{u - 1}{u + 1} \right| \right) - 2\arctan\left( u \right) \right)+ \dfrac{4}{3}u + G \,\,\, (G \in \mathbb{R})$$
D'où :
$$F(x) = \dfrac{1}{3} \left( \ln \left( \left|\dfrac{u - 1}{u + 1} \right| \right) - 2\arctan\left( u \right) + 4u \right) + G \,\,\, (G \in \mathbb{R})$$
Mais, on avait posé $$u = \sqrt[4]{1+x^3}$$, ce qui implique finalement que :
$$F(x) = \dfrac{1}{3} \left( \ln \left( \left|\dfrac{\sqrt[4]{1+x^3} - 1}{\sqrt[4]{1+x^3} + 1} \right| \right) - 2\arctan\left( \sqrt[4]{1+x^3} \right) + 4\sqrt[4]{1+x^3} \right) + G \,\,\, (G \in \mathbb{R})$$