Un classique ! - Exercice 1

On cherche :
$$F(x) = \int \big( \ln(x) \big)^2 \, dx = \int \big( \ln(x) \times \ln(x) \big) \, dx$$
A l'aide d'une intégration par parties, et en se souvenant qu'une primitive de $$\ln(x)$$ est $$x \ln(x) - x$$, on obtient :
$$F(x) = \int \big( \ln(x) \big)^2 \, dx = \big( x \ln(x) - x \big) \ln(x) - \int \left( \big(x \ln(x) - x \big) \times \dfrac{1}{x} \right) \, dx$$
Soit :
$$F(x) = \int \big( \ln(x) \big)^2 \, dx = x \ln^2(x) - x \ln(x) - \int \big(\ln(x) - 1 \big) \, dx$$
Avec :
$$\int \big(\ln(x) - 1 \big) \, dx = \int \ln(x) \, dx - \int 1 \, dx = x \ln(x) - x - x + Q \,\,\, (Q \in \mathbb{R})$$
D'où :
$$F(x) = \int \big( \ln(x) \big)^2 \, dx = x \ln^2(x) - x \ln(x) - \big(x \ln(x) - x - x \big) + K \,\,\, (K \in \mathbb{R})$$
Ce qui nous donne :
$$F(x) = \int \big( \ln(x) \big)^2 \, dx = x \ln^2(x) - x \ln(x) - x \ln(x) + 2x + K \,\,\, (K \in \mathbb{R})$$
Soit encore :
$$F(x) = \int \big( \ln(x) \big)^2 \, dx = x \ln^2(x) - 2x \ln(x) + 2x + K \,\,\, (K \in \mathbb{R})$$
Finalement :
$$F(x) = \int \big( \ln(x) \big)^2 \, dx = x \left( \ln^2(x) - 2 \ln(x) + 2 \right) + K \,\,\, (K \in \mathbb{R})$$

On a :
$$\mathcal{F}(x=1) = 0$$
Soit :
$$1 \left( \ln^2(1) - 2 \ln(1) + 2 \right) + K = 0$$
Comme $$\ln(1) = 0$$ on a alors :
$$2 + K = 0$$
Donc $$K = -2$$. Finalement :
$$\mathcal{F}(x) = x \left( \ln^2(x) - 2 \ln(x) + 2 \right) - 2$$

On a :
$$a = \int_0^e f(x) \, dx = \mathcal{F}(x=e) - \mathcal{F}(x=1)$$
Mais $$\mathcal{F}(x=1) = 0$$. Donc :
$$a = \int_0^e f(x) \, dx = \mathcal{F}(x=e) - 0 = \mathcal{F}(x=e) = e \left( \ln^2(e) - 2 \ln(e) + 2 \right) - 2$$
Or $$\ln(e) = 1$$. D'où :
$$a = \int_0^e f(x) \, dx = e \left( 1^2 - 2\times1 + 2 \right) - 2 = e \left( 1 - 2 + 2 \right) - 2 = e(1) - 2$$
Finalement :
$$a = \int_0^e f(x) \, dx = (e - 2) \,\, u.a. \simeq 0,72 \,\, u.a.$$
A l'aide d'un logiciel de calcul formel, on obtient, par exemple :