Primitives

Un classique ! - Exercice 1

30 min
45
Un exemple classique, donc à bien maîtriser !
Question 1
Soit f:xR(ln(x))2f : x \in \mathbb{R}^\star \longmapsto \big( \ln(x) \big)^2.
On note par FF l'expression de ses primitives.

Déterminer l'expression de FF.

Correction
On cherche :
F(x)=(ln(x))2dx=(ln(x)×ln(x))dxF(x) = \int \big( \ln(x) \big)^2 \, dx = \int \big( \ln(x) \times \ln(x) \big) \, dx
A l'aide d'une intégration par parties, et en se souvenant qu'une primitive de ln(x)\ln(x) est xln(x)xx \ln(x) - x, on obtient :
F(x)=(ln(x))2dx=(xln(x)x)ln(x)((xln(x)x)×1x)dxF(x) = \int \big( \ln(x) \big)^2 \, dx = \big( x \ln(x) - x \big) \ln(x) - \int \left( \big(x \ln(x) - x \big) \times \dfrac{1}{x} \right) \, dx
Soit :
F(x)=(ln(x))2dx=xln2(x)xln(x)(ln(x)1)dxF(x) = \int \big( \ln(x) \big)^2 \, dx = x \ln^2(x) - x \ln(x) - \int \big(\ln(x) - 1 \big) \, dx
Avec :
(ln(x)1)dx=ln(x)dx1dx=xln(x)xx+Q(QR)\int \big(\ln(x) - 1 \big) \, dx = \int \ln(x) \, dx - \int 1 \, dx = x \ln(x) - x - x + Q \,\,\, (Q \in \mathbb{R})
D'où :
F(x)=(ln(x))2dx=xln2(x)xln(x)(xln(x)xx)+K(KR)F(x) = \int \big( \ln(x) \big)^2 \, dx = x \ln^2(x) - x \ln(x) - \big(x \ln(x) - x - x \big) + K \,\,\, (K \in \mathbb{R})
Ce qui nous donne :
F(x)=(ln(x))2dx=xln2(x)xln(x)xln(x)+2x+K(KR)F(x) = \int \big( \ln(x) \big)^2 \, dx = x \ln^2(x) - x \ln(x) - x \ln(x) + 2x + K \,\,\, (K \in \mathbb{R})
Soit encore :
F(x)=(ln(x))2dx=xln2(x)2xln(x)+2x+K(KR)F(x) = \int \big( \ln(x) \big)^2 \, dx = x \ln^2(x) - 2x \ln(x) + 2x + K \,\,\, (K \in \mathbb{R})
Finalement :
F(x)=(ln(x))2dx=x(ln2(x)2ln(x)+2)+K(KR)F(x) = \int \big( \ln(x) \big)^2 \, dx = x \left( \ln^2(x) - 2 \ln(x) + 2 \right) + K \,\,\, (K \in \mathbb{R})
Question 2

Déterminer la primitive de ff, notée F,\mathcal{F}, qui s'annule lorsque x=1x =1.

Correction
On a :
F(x=1)=0\mathcal{F}(x=1) = 0
Soit :
1(ln2(1)2ln(1)+2)+K=01 \left( \ln^2(1) - 2 \ln(1) + 2 \right) + K = 0
Comme ln(1)=0\ln(1) = 0 on a alors :
2+K=02 + K = 0
Donc K=2K = -2. Finalement :
F(x)=x(ln2(x)2ln(x)+2)2\mathcal{F}(x) = x \left( \ln^2(x) - 2 \ln(x) + 2 \right) - 2
Question 3

Déterminer la valeur de l'intégrale a=0ef(x)dxa = \int_0^e f(x) \, dx.

Correction
On a :
a=0ef(x)dx=F(x=e)F(x=1)a = \int_0^e f(x) \, dx = \mathcal{F}(x=e) - \mathcal{F}(x=1)
Mais F(x=1)=0\mathcal{F}(x=1) = 0. Donc :
a=0ef(x)dx=F(x=e)0=F(x=e)=e(ln2(e)2ln(e)+2)2a = \int_0^e f(x) \, dx = \mathcal{F}(x=e) - 0 = \mathcal{F}(x=e) = e \left( \ln^2(e) - 2 \ln(e) + 2 \right) - 2
Or ln(e)=1\ln(e) = 1. D'où :
a=0ef(x)dx=e(122×1+2)2=e(12+2)2=e(1)2a = \int_0^e f(x) \, dx = e \left( 1^2 - 2\times1 + 2 \right) - 2 = e \left( 1 - 2 + 2 \right) - 2 = e(1) - 2
Finalement :
a=0ef(x)dx=(e2)u.a.0,72u.a.a = \int_0^e f(x) \, dx = (e - 2) \,\, u.a. \simeq 0,72 \,\, u.a.
A l'aide d'un logiciel de calcul formel, on obtient, par exemple :