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Sujet 2 : avec de la Physique - Exercice 1

1 h 30 min

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Les lois de la Physique nécessitent l’usage des outils, concepts, propriétés et objets mathématiques pour s'exprimer. L'intégration intervient dans de très nombreux domaines physiques et de l'ingénierie. Citons, par exemple, l'Electromagnétisme, la Mécanique, la Thermodynamique, la Relativité, la théorie du Signal, la Mécanique des Fluides, l'Electronique … etc. Nous allons illustrer cela dans le cadre de la Spectroscopie. Cette dernière est l'étude, et la description, des émissions et absorptions de lumières d'un gaz d'atomes ou de molécules. Historiquement, la Spectroscopie est une des raisons de la naissance et création de la Mécanique Quantique.
Le physicien est souvent confronté à des calculs techniques et parfois longs. C'est pourquoi une bonne compréhension des lois Physiques nécessite une bonne maîtrise de l'arsenal Mathématiques.

Question 1

Ce problème a pour but de calculer l'intégrale suivante :

I = \int_0^\pi \dfrac{\sin^2(\theta)}{\left( 1+ e\cos(\theta)\right)^2} \, d \theta

Le terme

e

s'appelle l'excenticité, et vérifie :

0<e<1

A l'aide d'une intégration par parties, montrer que l'on peut mettre l'intégrale $I$ cherchée sous la forme suivante : $I = - \dfrac{1}{e} \int_0^\pi \dfrac{\cos(\theta)}{ 1 + e\cos(\theta)}\, d \theta$

Correction

On utilise une intégration par parties. En effet, on a :

I = \int_0^\pi \dfrac{\sin^2(\theta)}{\left( 1 + e\cos(\theta)\right)^2} \, d \theta = \int_0^\pi \sin(\theta) \times \dfrac{\sin(\theta)}{\left( 1 + e \cos(\theta)\right)^2} \, d \theta

On remarque alors que le terme

\dfrac{\sin(\theta)}{\left( 1 + e\cos(\theta)\right)^2}

est assez proche de la dérivée, par rapport à la variable

\theta

, de

\dfrac{1}{ 1 + e\cos(\theta)}

. En effet :

\dfrac{d}{d\theta} \left( \dfrac{1}{ 1 + e\cos(\theta)} \right) = \dfrac{-\dfrac{d}{d\theta} \left( 1 + e\cos(\theta) \right)}{\left( 1 + e\cos(\theta)\right)^2} = \dfrac{-e\dfrac{d}{d\theta} \left( \cos(\theta) \right)}{\left( 1 + e\cos(\theta)\right)^2} = \dfrac{-e \times -\sin(\theta)}{\left( 1 + e\cos(\theta)\right)^2} = \dfrac{e\sin(\theta)}{\left( 1 + e\cos(\theta)\right)^2}

Ainsi, on en déduit que :

\dfrac{\sin(\theta)}{\left( 1 + e\cos(\theta)\right)^2} = \dfrac{d}{d\theta} \left( \dfrac{1}{e} \left( \dfrac{1}{ 1 + e\cos(\theta)} \right) \right)

Donc, une intégration par parties nous conduit à :

I = \int_0^\pi \dfrac{\sin^2(\theta)}{\left( 1 + e\cos(\theta)\right)^2} \, d \theta = \int_0^\pi \sin(\theta) \times \dfrac{\sin(\theta)}{\left( 1 + e \cos(\theta)\right)^2} \, d \theta

Soit :

I = \int_0^\pi \dfrac{\sin^2(\theta)}{\left( 1 + e\cos(\theta)\right)^2} \, d \theta = \left[ \sin(\theta) \times \dfrac{1}{e} \left( \dfrac{1}{ 1 + e\cos(\theta)} \right) \right]_0^\pi - \int_0^\pi \cos(\theta) \times \dfrac{1}{e} \left( \dfrac{1}{ 1 + e\cos(\theta)} \right) \, d \theta

Comme

\sin(\pi) = \sin(0) = 0

, on en déduit que le terme entre crochet est nul. On a alors :

I = - \dfrac{1}{e} \int_0^\pi \dfrac{\cos(\theta)}{ 1 + e\cos(\theta)}\, d \theta

Question 2

Démontrer que l'on a la relation suivante : $\int_0^\pi \dfrac{1}{ 1 + e\cos(\theta)} \, d \theta = \pi + e^2 I$ .

Correction

On sait que :

\dfrac{\cos(\theta)}{ 1 + e\cos(\theta)} = \dfrac{1}{e} \times \dfrac{e\cos(\theta)}{ 1 + e\cos(\theta)} = \dfrac{1}{e} \times \dfrac{e\cos(\theta)}{ 1 + e\cos(\theta)} + \dfrac{1}{e} \times \dfrac{1}{ 1 + e\cos(\theta)} - \dfrac{1}{e} \times \dfrac{1}{ 1 + e\cos(\theta)}

Soit :

\dfrac{\cos(\theta)}{ 1 + e\cos(\theta)} = \dfrac{1}{e} \times \dfrac{e \cos(\theta)+1}{ 1 + e\cos(\theta)} - \dfrac{1}{e} \times \dfrac{1}{ 1 + e\cos(\theta)} = \dfrac{1}{e} \times 1 - \dfrac{1}{e} \times \dfrac{1}{ 1 + e\cos(\theta)}

Ainsi :

\dfrac{\cos(\theta)}{ 1 + e\cos(\theta)} = \dfrac{1}{e} - \dfrac{1}{e} \times \dfrac{1}{ 1 + e\cos(\theta)} = \dfrac{1}{e} \left( 1 - \dfrac{1}{ 1 + e\cos(\theta)} \right)

Donc, on en déduit que :

I = - \dfrac{1}{e} \int_0^\pi \dfrac{\cos(\theta)}{ 1 + e\cos(\theta)}\, d \theta = - \dfrac{1}{e} \int_0^\pi \dfrac{1}{e} \left( 1 - \dfrac{1}{ 1 + e\cos(\theta)} \right) \, d \theta = - \dfrac{1}{e^2} \int_0^\pi \left( 1 - \dfrac{1}{ 1 + e\cos(\theta)} \right) \, d \theta

Soit :

I = - \dfrac{1}{e} \int_0^\pi \dfrac{\cos(\theta)}{ 1 + e\cos(\theta)}\, d \theta = \dfrac{1}{e^2} \int_0^\pi \left( \dfrac{1}{ 1 + e\cos(\theta)} - 1\right) \, d \theta

Ce qui nous permet d'écrire que :

e^2 I = \int_0^\pi \left( \dfrac{1}{ 1 + e\cos(\theta)} - 1\right) \, d \theta = \int_0^\pi \dfrac{1}{ 1 + e\cos(\theta)} \, d \theta - \int_0^\pi 1 \, d \theta = \int_0^\pi \dfrac{1}{ 1 + e\cos(\theta)} \, d \theta - \left[\theta\right]_0^\pi

Soit encore :

e^2 I = \int_0^\pi \dfrac{1}{ 1 + e\cos(\theta)} \, d \theta - \left(\pi - 0\right) = \int_0^\pi \dfrac{1}{ 1 + e\cos(\theta)} \, d \theta - \pi

Ce qui nous conduit bien à la relation proposée, à savoir :

\int_0^\pi \dfrac{1}{ 1 + e\cos(\theta)} \, d \theta = \pi + e^2 I

Question 3

Afin de calculer l'intégrale $J = \int_0^\pi \dfrac{1}{ 1 + e\cos(\theta)} \, d \theta$ on pose le changement de variable $t = \tan \left( \dfrac{\theta}{2} \right)$ . Dans ce cas, montrer que $d\theta = \dfrac{2}{1+t^2} \, dt$ .

Correction

On a :

t = \tan \left( \dfrac{\theta}{2} \right) \,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\, \dfrac{d t}{d\theta} = \dfrac{d}{d\theta} \left( \tan \left( \dfrac{\theta}{2} \right) \right)

En utilisant la dérivée composée, on trouve que :

\dfrac{d t}{d\theta} = \dfrac{d}{d\theta} \left( \tan \left( \dfrac{\theta}{2} \right) \right) = \dfrac{d}{d\theta} \left( \dfrac{\theta}{2} \right) \times \left( 1 + \tan^2 \left( \dfrac{\theta}{2} \right)\right) = \dfrac{1}{2} \times \left( 1 + \tan^2 \left( \dfrac{\theta}{2} \right)\right) = \dfrac{1}{2} \times \left( 1 + \left( \tan \left( \dfrac{\theta}{2}\right) \right)^2\right)

Soit :

\dfrac{d t}{d\theta} = \dfrac{1}{2}\times \left( 1 + t^2 \right)

Ainsi, on en déduit que :

2 \dfrac{d t}{d\theta} = 1 + t^2

Et donc :

2 \, dt = (1+t^2) \, d \theta

Finalement, on trouve bien que :

d\theta = \dfrac{2}{1+t^2} \, dt

Question 4

En posant le changement de variable $t = \tan \left( \dfrac{\theta}{2} \right)$ , montrer que $\cos(\theta) = \dfrac{1-t^2}{1+t^2}$ .

Correction

On a :

\dfrac{1-t^2}{1+t^2} = \dfrac{1-\tan^2 \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}{1+\tan^2 \left( \dfrac{\theta}{2} \right)} = \dfrac{1}{1+\tan^2 \left( \dfrac{\theta}{2} \right)} \times \left( 1-\tan^2 \left( \dfrac{\theta}{2} \right) \right)

Mais, on sait que pour

X = \dfrac{\pi}{2} \, \mathrm{modulo} (\pi)

, on a

\dfrac{1}{\cos^2(X)} = 1 + \tan^2(X)

. Ainsi, on obtient :
On a :

\dfrac{1-t^2}{1+t^2} = \cos^2\left( \dfrac{\theta}{2} \right) \times \left( 1-\tan^2 \left( \dfrac{\theta}{2} \right) \right) = \cos^2\left( \dfrac{\theta}{2} \right) \times \left( \dfrac{\cos^2\left( \dfrac{\theta}{2} \right)}{\cos^2\left( \dfrac{\theta}{2} \right)} - \dfrac{\sin^2\left( \dfrac{\theta}{2} \right)}{\cos^2\left( \dfrac{\theta}{2} \right)} \right)

Soit :

\dfrac{1-t^2}{1+t^2} = \cos^2\left( \dfrac{\theta}{2} \right) \times \left( \dfrac{\cos^2\left( \dfrac{\theta}{2} \right) - \sin^2\left( \dfrac{\theta}{2} \right)}{\cos^2\left( \dfrac{\theta}{2} \right)} \right) = \cos^2\left( \dfrac{\theta}{2} \right) - \sin^2\left( \dfrac{\theta}{2} \right)

De plus, pour toute quantité réelle

X

, on a :

\cos^2(X) - \sin^2(X) = \cos(2X)

. Donc, on en déduit que :

\dfrac{1-t^2}{1+t^2} = \cos\left(2 \times \dfrac{\theta}{2} \right)

Fianelement, on trouve que :

\cos(\theta) = \dfrac{1-t^2}{1+t^2}

Question 5

Comme la fonction tangente n'est pas définie en $\dfrac{\pi}{2}$ , alors le terme $\tan \left( \dfrac{\theta}{2} \right)$ n'est pas défini en $\theta = \pi$ . C'est pourquoi on pose : $J = \lim_{\epsilon \longrightarrow 0} \int_0^{\pi - \epsilon} \dfrac{1}{ 1 + e\cos(\theta)} \, d \theta$ . Dans ce cas, montrer que l'on a : $J = \dfrac{2}{1-e} \lim_{\epsilon \longrightarrow 0} \int_0^{\tan \left( \frac{\pi - \epsilon}{2} \right)} \dfrac{1}{\dfrac{1+e}{1-e} + t^2} \, dt$ .

Correction

Comme

t = \tan \left( \dfrac{\theta}{2} \right)

, on en déduit que si

\theta = 0

alors

t = \tan \left( \dfrac{0}{2} \right) = \tan(0) = 0

. Puis, si

\theta = \pi - \epsilon

alors

t = \tan \left( \dfrac{\pi - \epsilon}{2} \right)

.
On a alors le changement d'écriture suivant :

J = \lim_{\epsilon \longrightarrow 0} \int_0^{\pi - \epsilon} \dfrac{1}{ 1 + e\cos(\theta)} \, d \theta = \lim_{\epsilon \longrightarrow 0} \int_0^{\tan \left( \frac{\pi - \epsilon}{2} \right)} \dfrac{1}{ 1 + e\dfrac{1-t^2}{1+t^2}} \, \dfrac{2}{1+t^2} \, dt

Soit :

J = 2\lim_{\epsilon \longrightarrow 0} \int_0^{\tan \left( \frac{\pi - \epsilon}{2} \right)} \dfrac{1}{ \dfrac{1+t^2}{1+t^2} + e\dfrac{1-t^2}{1+t^2}} \, \dfrac{1}{1+t^2} \, dt = 2\lim_{\epsilon \longrightarrow 0} \int_0^{\tan \left( \frac{\pi - \epsilon}{2} \right)} \dfrac{1}{1 + t^2 + e(1-t^2)} \, dt

Soit encore :

J = 2\lim_{\epsilon \longrightarrow 0} \int_0^{\tan \left( \frac{\pi - \epsilon}{2} \right)} \dfrac{1}{1 + t^2 + e - et^2} \, dt = 2\lim_{\epsilon \longrightarrow 0} \int_0^{\tan \left( \frac{\pi - \epsilon}{2} \right)} \dfrac{1}{1 + e + t^2(1-e)} \, dt

Ce qui nous donne :

J = 2\lim_{\epsilon \longrightarrow 0} \int_0^{\tan \left( \frac{\pi - \epsilon}{2} \right)} \dfrac{1}{\dfrac{1+e}{1-e} (1-e) + t^2(1-e)} \, dt = \dfrac{2}{1-e} \lim_{\epsilon \longrightarrow 0} \int_0^{\tan \left( \frac{\pi - \epsilon}{2} \right)} \dfrac{1}{\dfrac{1+e}{1-e} + t^2} \, dt

On a donc bien :

J = \dfrac{2}{1-e} \lim_{\epsilon \longrightarrow 0} \int_0^{\tan \left( \frac{\pi - \epsilon}{2} \right)} \dfrac{1}{\dfrac{1+e}{1-e} + t^2} \, dt

Question 6

Si une fonction $f$ est continue, strictement monotone et dérivable sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$ , et si sa dérivée $f'$ ne s'annule pas sur $I$ , alors sa fonction réciproque $\mathcal{R}_f$ est dérivable sur f(I). Et on a $f\left( \mathcal{R}_f(x) \right) = \mathcal{R}_f \left( f(x) \right) = x$ . Ceci s'écrit encore : $\left( f \circ \mathcal{R}_f\right) (x) = \left( \mathcal{R}_f \circ f \right) (x) = x$ .
Dans ce cas, par application de la formule de dérivation composée, on a :
$\left( f \circ \mathcal{R}_f\right)' (x) = x' \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, f'\left( \mathcal{R}_f(x) \right) \times \mathcal{R}_f'(x) = 1$
Ce qui implique que :
$\color{red}{\boxed{\mathcal{R}_f'(x) = \dfrac{1}{f'\left( \mathcal{R}_f(x) \right)}}}$
Posons $f = \tan$ , on sait que la fonction tangente est strictement croissante et dérivable sur l'intervalle $\left] - \dfrac{\pi}{2} \,;\, \dfrac{\pi}{2}\right[$ de $\mathbb{R}$ , et que sa fonction dérivée est telle que $(\tan)'(x) = 1+\tan^2(x)$ . Dans ce cas on note par $\mathcal{R}_{\tan} = \arctan$ .
Démontrer que, pour tout $x$ réel, on a :
$(\arctan)'(x) = \dfrac{1}{1+x^2}$
Le graphe représentatif de la fonction $\arctan$ est le suivant :

On constate alors que :
$\,\, \bullet \,\, {\color{red}{\arctan(0) = 0}}$
$\,\, \bullet \,\, \lim_{x \longrightarrow + \infty} \arctan(x) = {\color{green}{\dfrac{\pi}{2}}}$
$\,\, \bullet \,\, \lim_{x \longrightarrow - \infty} \arctan(x) = {\color{blue}{-\dfrac{\pi}{2}}}$

Correction

Soit

x

un réel. On a :

(\arctan)'(x) = \dfrac{1}{1+\tan^2\left(\arctan(x)\right)} = \dfrac{1}{1 + \left( \tan\left(\arctan(x) \right) \right)^2}

Or, comme les fonction

\tan

\arctan

sont réciproque l'une de l'autre, alors

\tan\left(\arctan(x)\right) = x

. Dans ce cas, on obtient :

(\arctan)'(x) = \dfrac{1}{1+x^2}

Question 7

Soit $x$ un réel, et soit $a$ un réel strictement positif. Déterminer la dérivée, par rapport à $x$ , de l'expression $\dfrac{1}{a} \arctan \left( \dfrac{x}{a} \right)$ .

Correction

On a :

\left(\dfrac{1}{a} \arctan \left( \dfrac{x}{a} \right)\right)' = \dfrac{1}{a} \left( \arctan \left( \dfrac{x}{a} \right) \right)' = \dfrac{1}{a} \times \left( \dfrac{x}{a} \right)' \times \dfrac{1}{1+\left( \dfrac{x}{a} \right)^2} = \dfrac{1}{a} \times \dfrac{1}{a} \times \dfrac{1}{1+\left( \dfrac{x}{a} \right)^2} = \dfrac{1}{a^2} \times \dfrac{1}{1+\left( \dfrac{x}{a} \right)^2}

Soit :

\left(\dfrac{1}{a} \arctan \left( \dfrac{x}{a} \right)\right)' = \dfrac{1}{a^2} \times \dfrac{1}{1+\dfrac{x^2}{a^2}}

Finalement :

\left(\dfrac{1}{a} \arctan \left( \dfrac{x}{a} \right)\right)' = \dfrac{1}{a^2 +x^2}

Question 8

Démontrer que l'intégrale : $J = \dfrac{\pi}{\sqrt{1-e^2}}$ .

Correction

On a :

J = \dfrac{2}{1-e} \lim_{\epsilon \longrightarrow 0} \int_0^{\tan \left( \frac{\pi - \epsilon}{2} \right)} \dfrac{1}{\dfrac{1+e}{1-e} + t^2} \, dt

On constate que

\dfrac{1+e}{1-e} >0

alors il est possible de poser

a^2 = \dfrac{1+e}{1-e}

. On en déduit alors que

a = \sqrt{\dfrac{1+e}{1-e}}

. Dans ce cas

\dfrac{1}{a} = \sqrt{\dfrac{1-e}{1+e}}

. On a alors :

J = \dfrac{2}{1-e} \lim_{\epsilon \longrightarrow 0} \int_0^{\tan \left( \frac{\pi - \epsilon}{2} \right)} \dfrac{1}{a^2+ t^2} \, dt

D'après la question précédente, on obtient :

J = \dfrac{2}{1-e} \lim_{\epsilon \longrightarrow 0} \int_0^{\tan \left( \frac{\pi - \epsilon}{2} \right)} \dfrac{1}{a^2+ t^2} \, dt = \dfrac{2}{1-e} \lim_{\epsilon \longrightarrow 0} \left[\dfrac{1}{a} \arctan \left( \dfrac{x}{a} \right) \right]_0^{\tan \left( \frac{\pi - \epsilon}{2} \right)} = \dfrac{2}{1-e} \dfrac{1}{a} \lim_{\epsilon \longrightarrow 0} \left[ \arctan \left( \dfrac{x}{a} \right) \right]_0^{\tan \left( \frac{\pi - \epsilon}{2} \right)}

Soit :

J = \dfrac{2}{1-e} \lim_{\epsilon \longrightarrow 0} \int_0^{\tan \left( \frac{\pi - \epsilon}{2} \right)} \dfrac{1}{a^2+ t^2} \, dt = \dfrac{2}{1-e} \sqrt{\dfrac{1-e}{1+e}} \lim_{\epsilon \longrightarrow 0} \left[ \arctan \left( x \sqrt{\dfrac{1-e}{1+e}} \right) \right]_0^{\tan \left( \frac{\pi - \epsilon}{2} \right)}

Ce qui nous donne encore :

J = \dfrac{2}{\sqrt{1-e}} \dfrac{1}{\sqrt{1+e}} \lim_{\epsilon \longrightarrow 0} \left[ \arctan \left( x \sqrt{\dfrac{1-e}{1+e}} \right) \right]_0^{\tan \left( \frac{\pi - \epsilon}{2} \right)} = \dfrac{2}{\sqrt{(1-e)(1+e)}}\lim_{\epsilon \longrightarrow 0} \left[ \arctan \left( x \sqrt{\dfrac{1-e}{1+e}} \right) \right]_0^{\tan \left( \frac{\pi - \epsilon}{2} \right)}

Soit encore :

J = \dfrac{2}{\sqrt{1-e^2}}\lim_{\epsilon \longrightarrow 0} \left[ \arctan \left( x \sqrt{\dfrac{1-e}{1+e}} \right) \right]_0^{\tan \left( \frac{\pi - \epsilon}{2} \right)}

Ainsi, on peut écrire que :

J = \dfrac{2}{\sqrt{1-e^2}} \left( \lim_{\epsilon \longrightarrow 0} \arctan \left( \tan \left( \frac{\pi - \epsilon}{2} \right) \sqrt{\dfrac{1-e}{1+e}} \right) - \arctan \left( 0 \sqrt{\dfrac{1-e}{1+e}} \right)\right)

Ce qui nous permet d'écrire que :

J = \dfrac{2}{\sqrt{1-e^2}} \left( \lim_{\epsilon \longrightarrow 0} \arctan \left( \tan \left( \frac{\pi - \epsilon}{2} \right) \sqrt{\dfrac{1-e}{1+e}} \right) - \arctan \left(0\right)\right)

D'après le graphe de la fonction

\arctan

, on sait que

\arctan(0) = 0

. Donc :

J = \dfrac{2}{\sqrt{1-e^2}} \left( \lim_{\epsilon \longrightarrow 0} \arctan \left( \tan \left( \frac{\pi - \epsilon}{2} \right) \sqrt{\dfrac{1-e}{1+e}} \right) \right)

Lorsque

\epsilon \longrightarrow 0

le terme

\tan \left( \frac{\pi - \epsilon}{2} \right) \longrightarrow +\infty

et dans ce cas le terme

\arctan \left( \tan \left( \frac{\pi - \epsilon}{2} \right) \sqrt{\dfrac{1-e}{1+e}} \right) \longrightarrow \arctan(+\infty)

, ceci car

\sqrt{\dfrac{1-e}{1+e}}> 0

. D'après le graphe de la fonction

\arctan

, on sait que

\lim_{x \longrightarrow +\infty}\arctan(x) = \dfrac{\pi}{2}

. Donc, on en déduit que :

\lim_{\epsilon \longrightarrow 0} \arctan \left( \tan \left( \frac{\pi - \epsilon}{2} \right) \sqrt{\dfrac{1-e}{1+e}} \right) = \dfrac{\pi}{2}

Dans ce cas, on trouve que :

J = \dfrac{2}{\sqrt{1-e^2}} \times \dfrac{\pi}{2}

Finalement, on a bien :

J = \dfrac{\pi}{\sqrt{1-e^2}}

Question 9

En déduire la valeur de l'intégrale $I$ recherchée initialement.

Correction

D'après la question 2, on sait que :

J = \pi + e^2 I

Ce qui nous donne

\dfrac{\pi}{\sqrt{1-e^2}} = \pi + e^2 I \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \dfrac{\pi}{\sqrt{1-e^2}} - \pi = e^2 I \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \pi \left( \dfrac{1}{\sqrt{1-e^2}} - 1 \right) = e^2 I

Soit :

\dfrac{\pi}{e^2} \left( \dfrac{1}{\sqrt{1-e^2}} - 1 \right) = I

Finalement, on obtient le résultat suivant :

\color{red}{\boxed{ \int_0^\pi \dfrac{\sin^2(\theta)}{\left( 1+ e\cos(\theta)\right)^2} \, d \theta = \dfrac{\pi}{e^2} \left( \dfrac{1}{\sqrt{1-e^2}} - 1 \right) \,\,\,\,\, \mathrm{avec} : 0<e<1}}

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Sujet 2 : avec de la Physique - Exercice 1

A l'aide d'une intégration par parties, montrer que l'on peut mettre l'intégrale III cherchée sous la forme suivante : I=−1e∫0πcos⁡(θ)1+ecos⁡(θ) dθI = - \dfrac{1}{e} \int_0^\pi \dfrac{\cos(\theta)}{ 1 + e\cos(\theta)}\, d \thetaI=−e1​∫0π​1+ecos(θ)cos(θ)​dθ

Démontrer que l'on a la relation suivante : ∫0π11+ecos⁡(θ) dθ=π+e2I\int_0^\pi \dfrac{1}{ 1 + e\cos(\theta)} \, d \theta = \pi + e^2 I∫0π​1+ecos(θ)1​dθ=π+e2I.

En posant le changement de variable t=tan⁡(θ2)t = \tan \left( \dfrac{\theta}{2} \right)t=tan(2θ​), montrer que cos⁡(θ)=1−t21+t2\cos(\theta) = \dfrac{1-t^2}{1+t^2}cos(θ)=1+t21−t2​.

Soit xxx un réel, et soit aaa un réel strictement positif. Déterminer la dérivée, par rapport à xxx, de l'expression 1aarctan⁡(xa)\dfrac{1}{a} \arctan \left( \dfrac{x}{a} \right)a1​arctan(ax​).

Démontrer que l'intégrale : J=π1−e2J = \dfrac{\pi}{\sqrt{1-e^2}}J=1−e2​π​.

En déduire la valeur de l'intégrale III recherchée initialement.

A l'aide d'une intégration par parties, montrer que l'on peut mettre l'intégrale $I$ cherchée sous la forme suivante : $I = - \dfrac{1}{e} \int_0^\pi \dfrac{\cos(\theta)}{ 1 + e\cos(\theta)}\, d \theta$

Démontrer que l'on a la relation suivante : $\int_0^\pi \dfrac{1}{ 1 + e\cos(\theta)} \, d \theta = \pi + e^2 I$ .

En posant le changement de variable $t = \tan \left( \dfrac{\theta}{2} \right)$ , montrer que $\cos(\theta) = \dfrac{1-t^2}{1+t^2}$ .

Soit $x$ un réel, et soit $a$ un réel strictement positif. Déterminer la dérivée, par rapport à $x$ , de l'expression $\dfrac{1}{a} \arctan \left( \dfrac{x}{a} \right)$ .

Démontrer que l'intégrale : $J = \dfrac{\pi}{\sqrt{1-e^2}}$ .

En déduire la valeur de l'intégrale $I$ recherchée initialement.