Primitive de fraction rationnelle - Exercice 1

On cherche :
$$F(x) = \int f(x) \, dx = \int \dfrac{3}{x^3-1} \, dx$$
Nous allons décomposer en éléments simples la fonction $$f$$.
Si $$a$$ et $$b$$ sont deux nombres réels alors on a :
$$a^3-b^3 = (a-b) \times (a^2 + ab + b^2)$$
Donc, avec $$a=x$$ et $$b=1$$, on obtient :
$$x^3 - 1^3 = (x-1) \times (x^2+1x+1^2)$$
Soit :
$$x^3 - 1 = (x-1) \times (x^2+x+1)$$
Donc, avec $$A$$, $$B$$ et $$C$$ qui sont trois nombres réels, on a :
$$f(x) = \dfrac{3}{x^3-1} = \dfrac{3}{(x-1) \times (x^2+x+1)} = \dfrac{A}{x-1} + \dfrac{Bx+C}{x^2+x+1}$$
Commençons par multiplier $$f$$ par $$x-1$$. On a alors :
$$\dfrac{3(x-1)}{(x-1) \times (x^2+x+1)} = \dfrac{A(x-1)}{x-1} + \dfrac{(Bx+C)(x-1)}{x^2+x+1}$$
Soit :
$$\dfrac{3}{x^2+x+1} = A + \dfrac{(Bx+C)(x-1)}{x^2+x+1}$$
Posons $$x=1$$, on obtient :
$$\dfrac{3}{1^2+1+1} = A + \dfrac{(B1+C)(1-1)}{1^2+1+1} \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \dfrac{3}{1^2+1+1} = A + 0 \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \dfrac{3}{3} = A \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, 1 = A$$
D'où :
$$f(x) = \dfrac{3}{x^3-1} = \dfrac{1}{x-1} + \dfrac{Bx+C}{x^2+x+1}$$
Posons $$x = 0$$, on a alors :
$$f(0) = \dfrac{3}{0^3-1} = \dfrac{1}{0-1} + \dfrac{B0+C}{0^2+0+1}$$
Soit :
$$f(0) = -3 = -1 + \dfrac{C}{1}$$
Ce qui nous donne :
$$C = 1 - 3 \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, C = -2$$
$$f(x) = \dfrac{3}{x^3-1} = \dfrac{1}{x-1} + \dfrac{Bx-2}{x^2+x+1}$$
Posons $$x = -1$$, on a alors :
$$f(-1) = \dfrac{3}{(-1)^3-1} = \dfrac{1}{(-1)-1} + \dfrac{B(-1)-2}{(-1)^2+(-1)+1}$$
Soit :
$$f(-1) = \dfrac{3}{-1-1} = \dfrac{1}{-1-1} + \dfrac{-B-2}{1-1+1}$$
Soit encore :
$$f(-1) = -\dfrac{3}{2} = -\dfrac{1}{2} - \dfrac{B+2}{1}$$
Ce qui nous donne :
$$\dfrac{3}{2} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{B+2}{1} \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \dfrac{3}{2} = \dfrac{1}{2} + B+2 \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \dfrac{3}{2} - \dfrac{1}{2} = B+2 \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, 1 = B+2 \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, 1 - 2 = B$$
Ainsi $$B = -1$$. Donc :
$$f(x) = \dfrac{3}{x^3-1} = \dfrac{1}{x-1} + \dfrac{-x-2}{x^2+x+1}$$
D'où :
$$f(x) = \dfrac{3}{x^3-1} = \dfrac{1}{x-1} - \dfrac{x+2}{x^2+x+1}$$
On en déduit donc que :
$$F(x) = \int f(x) \, dx = \int \dfrac{3}{x^3-1} \, dx = \int \left( \dfrac{1}{x-1} - \dfrac{x+2}{x^2+x+1} \right) \, dx$$
Par linéarité :
$$F(x) = \int f(x) \, dx = \int \dfrac{3}{x^3-1} \, dx = \int \dfrac{1}{x-1} \, dx - \int \dfrac{x+2}{x^2+x+1} \, dx$$
Avec $$C_1 \in \mathbb{R}$$, on a :
$$\int \dfrac{1}{x-1} \, dx = \ln \big( | x-1 | \big) + C_1$$
Et :
$$\int \dfrac{x+2}{x^2+x+1} \, dx = \int \dfrac{\dfrac{1}{2}2x+2}{x^2+x+1} \, dx = \int \dfrac{\dfrac{1}{2}2x+\dfrac{1}{2}1+2-\dfrac{1}{2}}{x^2+x+1} \, dx = \int \dfrac{\dfrac{1}{2}2x+\dfrac{1}{2}1+2-\dfrac{1}{2}}{x^2+x+1} \, dx$$
D'où :
$$\int \dfrac{x+2}{x^2+x+1} \, dx = \int \dfrac{\dfrac{1}{2}(2x+1)+\dfrac{3}{2}}{x^2+x+1} \, dx = \dfrac{1}{2} \int \dfrac{2x+1}{x^2+x+1} \, dx + \dfrac{3}{2} \int \dfrac{1}{x^2+x+1} \, dx$$
Soit :
$$\int \dfrac{x+2}{x^2+x+1} \, dx = \dfrac{1}{2} \ln \big( | x^2+x+1 | \big) + \dfrac{3}{2} \int \dfrac{1}{x^2+2x\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+1-\dfrac{1}{4}} \, dx$$
En factorisant selon une identité remarquable :
$$\int \dfrac{x+2}{x^2+x+1} \, dx = \dfrac{1}{2} \ln \big( | x^2+x+1 | \big) + \dfrac{3}{2} \int \dfrac{1}{\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2 + \dfrac{3}{4}} \, dx$$
Soit encore :
$$\int \dfrac{x+2}{x^2+x+1} \, dx = \dfrac{1}{2} \ln \big( | x^2+x+1 | \big) + \dfrac{3}{2} \int \dfrac{1}{\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} \, dx$$
D'où le jeu d'écriture suivant :
$$\int \dfrac{x+2}{x^2+x+1} \, dx = \dfrac{1}{2} \ln \big( | x^2+x+1 | \big) + \dfrac{3}{2} \int \dfrac{1}{\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 \left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^2\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} \, dx$$
En factorisant le dénominateur par $$\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2$$, on obtient :
$$\int \dfrac{x+2}{x^2+x+1} \, dx = \dfrac{1}{2} \ln \big( | x^2+x+1 | \big) + \dfrac{3}{2} \dfrac{1}{\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} \int \dfrac{1}{ \left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^2\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2 + 1} \, dx$$
Soit encore :
$$\int \dfrac{x+2}{x^2+x+1} \, dx = \dfrac{1}{2} \ln \big( | x^2+x+1 | \big) + \dfrac{3}{2} \dfrac{1}{\dfrac{3}{4}} \int \dfrac{1}{ \left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\left(x+\dfrac{1}{2}\right)\right)^2 + 1} \, dx$$
Ce qui nous donne :
$$\int \dfrac{x+2}{x^2+x+1} \, dx = \dfrac{1}{2} \ln \big( | x^2+x+1 | \big) + 2\int \dfrac{1}{ \left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\left(x+\dfrac{1}{2}\right)\right)^2 + 1} \, dx$$
Mais, on peut écrire que :
$$dx = d \left( \dfrac{\sqrt{3}}{2}\dfrac{2}{\sqrt{3}}x \right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2} d \left( \dfrac{2}{\sqrt{3}}x \right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2} d \left( \dfrac{2}{\sqrt{3}}x + \dfrac{1}{\sqrt{3}} \right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2} d \left( \dfrac{2}{\sqrt{3}}x + \dfrac{2}{2\sqrt{3}} \right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2} d \left( \dfrac{2}{\sqrt{3}}\left(x+\dfrac{1}{2}\right) \right)$$
Ce qui nous permet d'obtenir :
$$\int \dfrac{x+2}{x^2+x+1} \, dx = \dfrac{1}{2} \ln \big( | x^2+x+1 | \big) + 2\int \dfrac{1}{ \left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\left(x+\dfrac{1}{2}\right)\right)^2 + 1} \, \dfrac{\sqrt{3}}{2} d \left( \dfrac{2}{\sqrt{3}}\left(x+\dfrac{1}{2}\right) \right)$$
Donc :
$$\int \dfrac{x+2}{x^2+x+1} \, dx = \dfrac{1}{2} \ln \big( | x^2+x+1 | \big) + 2 \dfrac{\sqrt{3}}{2}\int \dfrac{1}{ \left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\left(x+\dfrac{1}{2}\right)\right)^2 + 1} \, d \left( \dfrac{2}{\sqrt{3}}\left(x+\dfrac{1}{2}\right) \right)$$
En simplifiant :
$$\int \dfrac{x+2}{x^2+x+1} \, dx = \dfrac{1}{2} \ln \big( | x^2+x+1 | \big) + \sqrt{3} \int \dfrac{1}{ \left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\left(x+\dfrac{1}{2}\right)\right)^2 + 1} \, d \left( \dfrac{2}{\sqrt{3}}\left(x+\dfrac{1}{2}\right) \right)$$
Posons alors $$X = \left( \dfrac{2}{\sqrt{3}}\left(x+\dfrac{1}{2}\right) \right)$$. Ainsi, cela nous permet d'obtenir :
$$\int \dfrac{x+2}{x^2+x+1} \, dx = \dfrac{1}{2} \ln \big( | x^2+x+1 | \big) + \sqrt{3} \int \dfrac{1}{ X^2 + 1} \, d X$$
Avec $$C_2 \in \mathbb{R}$$, on trouve que :
Soit :
$$\int \dfrac{x+2}{x^2+x+1} \, dx = \dfrac{1}{2} \ln \big( | x^2+x+1 | \big) + \sqrt{3} \arctan\left( X \right) + C_2$$
Comme $$X = \dfrac{2}{\sqrt{3}}\left(x+\dfrac{1}{2}\right)$$, cela nous donne donc :
$$\int \dfrac{x+2}{x^2+x+1} \, dx = \dfrac{1}{2} \ln \big( | x^2+x+1 | \big) + \sqrt{3} \arctan\left( \dfrac{2}{\sqrt{3}}\left(x+\dfrac{1}{2}\right) \right) + C_2$$
On trouve alors :
$$F(x) = \int f(x) \, dx = \ln \big( | x-1 | \big) + C_1 - \left( \dfrac{1}{2} \ln \big( | x^2+x+1 | \big) + \sqrt{3} \arctan\left( \dfrac{2}{\sqrt{3}}\left(x+\dfrac{1}{2}\right) \right) + C_2 \right)$$
D'où :
$$F(x) = \int f(x) \, dx = \ln \big( | x-1 | \big) + C_1 - \dfrac{1}{2} \ln \big( | x^2+x+1 | \big) - \sqrt{3} \arctan\left( \dfrac{2}{\sqrt{3}}\left(x+\dfrac{1}{2}\right) \right) - C_2$$
En posant $$C = C_1 - C_2$$, on trouve finalement que :
$$F(x) = \int f(x) \, dx = \ln \big( | x-1 | \big) - \dfrac{1}{2} \ln \big( | x^2+x+1 | \big) - \sqrt{3} \arctan\left( \dfrac{2}{\sqrt{3}}\left(x+\dfrac{1}{2}\right) \right) + C$$