Pour vérifier ses acquis - Exercice 1

On sait que :
$$\sin^3(x) = \dfrac{1}{4} \left( 3 \sin(x) - \sin(3x) \right)$$
Donc :
$$4\sin^3(x) = 3 \sin(x) - \sin(3x)$$
Et de fait :
$$\sin(3x) = 3 \sin(x) - 4\sin^3(x)$$
Donc :
$$f(x) = \left( \dfrac{\sin(3x)}{\cos(x)} \right)^2 = \left( \dfrac{3 \sin(x) - 4\sin^3(x)}{\cos(x)} \right)^2 = \dfrac{ \left(3 \sin(x) - 4\sin^3(x) \right)^2}{\cos^2(x)} = \dfrac{ \sin^2(x)\left(3 - 4\sin^2(x) \right)^2}{\cos^2(x)}$$
Soit :
$$f(x) = \dfrac{ \sin^2(x)\left(3 - 4\left( 1 - \cos^2(x) \right) \right)^2}{\cos^2(x)} = \dfrac{ \sin^2(x)\left(3 - 4 + 4 \cos^2(x) \right)^2}{\cos^2(x)} = \dfrac{ \sin^2(x)\left( 4 \cos^2(x) - 1\right)^2}{\cos^2(x)}$$
Donc, en développant l'identité remarquable :
$$f(x) = \dfrac{ \sin^2(x)\left( 16 \cos^4(x) - 8 \cos^2(x) + 1\right)}{\cos^2(x)} = \dfrac{ 16 \cos^4(x) \sin^2(x) - 8 \cos^2(x) \sin^2(x) + \sin^2(x)}{\cos^2(x)}$$
Ce qui nous donne :
$$f(x) = \dfrac{ 16 \cos^4(x) \sin^2(x)}{\cos^2(x)} - \dfrac{8 \cos^2(x) \sin^2(x) }{\cos^2(x)} + \dfrac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)}$$
Soit encore :
$$f(x) = 16 \cos^2(x) \sin^2(x) - 8\sin^2(x) + \left(\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)} \right)^2$$
Ce qui s'écrit également comme :
$$f(x) = 4 \left( 2\cos(x) \sin(x) \right)^2 - 4 \times 2\sin^2(x) + \left(\tan(x)\right)^2$$
Donc, on trouve que :
$$f(x) = 4 \left( \sin(2x) \right)^2 - 4 \times \left( 1 - \cos(2x) \right) + 1 + \tan^2(x) - 1$$
D'où :
$$f(x) = 2 \times 2\sin^2(2x) + 4\cos(2x) + \left(1 + \tan^2(x) \right) - 1 - 4$$
On aboutit alors à :
$$f(x) = 2 \times \left( 1 - \cos(4x) \right) + 4\cos(2x) + \left(1 + \tan^2(x) \right) - 5$$
Ainsi :
$$f(x) = 2 - 2\cos(4x) + 4\cos(2x) + \left(1 + \tan^2(x) \right) - 5$$
Ce qui nous permet d'avoir :
$$f(x) = - 2\cos(4x) + 4\cos(2x) + \left(1 + \tan^2(x) \right) - 3$$
On peut donc en déduire que :
$$F(x) = \int f(x) \, dx = \int \left( - 2\cos(4x) + 4\cos(2x) + \left(1 + \tan^2(x) \right) - 3\right) \, dx$$
Par linéarité, on a :
$$F(x) = \int f(x) \, dx = - 2\int \cos(4x) \, dx + 4\int \cos(2x) \, dx + \int\left(1 + \tan^2(x) \right) \, dx - \int3 \, dx$$
Avec $$C \in \mathbb{R}$$, on trouve alors :
$$F(x) = \int f(x) \, dx = - 2\dfrac{\sin(4x)}{4} + 4\dfrac{\sin(2x)}{2} + \tan(x) - 3x + C$$
Finalement :
$$F(x) = \int f(x) \, dx = \int \left( \dfrac{\sin(3x)}{\cos(x)} \right)^2 \, dx = - \dfrac{1}{2} \sin(4x) + 2\sin(2x) + \tan(x) - 3x + C$$

On a :
$$S = \int_0^{\frac{\pi}{4}} f(x) \, dx = F\left( \dfrac{\pi}{4} \right) - F(0)$$
Avec :
$$\bullet \,\, F\left( \dfrac{\pi}{4} \right) = - \dfrac{1}{2} \sin\left(4\dfrac{\pi}{4}\right) + 2\sin\left(2\dfrac{\pi}{4}\right) + \tan\left(\dfrac{\pi}{4}\right) - 3\dfrac{\pi}{4} + C = - \dfrac{1}{2} \sin\left(\pi\right) + 2\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right) + \tan\left(\dfrac{\pi}{4}\right) - \dfrac{3\pi}{4} + C$$
Soit :
$$\bullet \,\, F\left( \dfrac{\pi}{4} \right) = - \dfrac{1}{2} \times 0 + 2\times 1 + 1 - \dfrac{3\pi}{4} + C = 0 + 2 + 1 - \dfrac{3\pi}{4} + C = 3 - \dfrac{3\pi}{4} + C$$
Puis :
$$\bullet \bullet\,\, F\left( 0 \right) = - \dfrac{1}{2} \sin\left(4 \times 0\right) + 2\sin\left(2\times 0 \right) + \tan\left(0\right) - 3\times 0 + C = - \dfrac{1}{2} \sin\left(0\right) + 2\sin\left(0\right) + \tan\left(0\right) - 0 + C$$
Soit :
$$\bullet \bullet\,\, F\left( 0 \right) = - \dfrac{1}{2} \times 0 + 2 \times 0 + 0 - 0 + C = 0 + C = C$$
Ainsi, on en déduit que :
$$S = \int_0^{\frac{\pi}{4}} f(x) \, dx = 3 - \dfrac{3\pi}{4} + C - C = \dfrac{3 \times 4}{4} - \dfrac{3\pi}{4} = \dfrac{3 }{4} \left( 4 - \pi\right)$$
Finalement :
$$S = \int_0^{\frac{\pi}{4}} f(x) \, dx = \dfrac{3 }{4} \left( 4 - \pi\right) \,\, u.a. \simeq0,6438 \,\, u.a.$$
Graphiquement, cela nous donne :