Pour vérifier ses acquis - Exercice 1

40 min
65
Voici un exercice pour vérifier que vous savez déterminer une primitive, en l'occurence trigonométrique.
Question 1
Soit xx un nombre réel appartenant à l'intervalle I=[0 ; π4]I = \left[ 0 \,;\, \dfrac{\pi}{4} \right].
Soit ff la fonction numérique réelle qui s'explicite comme suit f:x⟼(sin⁡(3x)cos⁡(x))2f : x \longmapsto \left( \dfrac{\sin(3x)}{\cos(x)} \right)^2

Déterminer l'expression des primitives FF de la fonction ff.

Correction
On sait que :
sin⁡3(x)=14(3sin⁡(x)−sin⁡(3x))\sin^3(x) = \dfrac{1}{4} \left( 3 \sin(x) - \sin(3x) \right)
Donc :
4sin⁡3(x)=3sin⁡(x)−sin⁡(3x)4\sin^3(x) = 3 \sin(x) - \sin(3x)
Et de fait :
sin⁡(3x)=3sin⁡(x)−4sin⁡3(x)\sin(3x) = 3 \sin(x) - 4\sin^3(x)
Donc :
f(x)=(sin⁡(3x)cos⁡(x))2=(3sin⁡(x)−4sin⁡3(x)cos⁡(x))2=(3sin⁡(x)−4sin⁡3(x))2cos⁡2(x)=sin⁡2(x)(3−4sin⁡2(x))2cos⁡2(x)f(x) = \left( \dfrac{\sin(3x)}{\cos(x)} \right)^2 = \left( \dfrac{3 \sin(x) - 4\sin^3(x)}{\cos(x)} \right)^2 = \dfrac{ \left(3 \sin(x) - 4\sin^3(x) \right)^2}{\cos^2(x)} = \dfrac{ \sin^2(x)\left(3 - 4\sin^2(x) \right)^2}{\cos^2(x)}
Soit :
f(x)=sin⁡2(x)(3−4(1−cos⁡2(x)))2cos⁡2(x)=sin⁡2(x)(3−4+4cos⁡2(x))2cos⁡2(x)=sin⁡2(x)(4cos⁡2(x)−1)2cos⁡2(x)f(x) = \dfrac{ \sin^2(x)\left(3 - 4\left( 1 - \cos^2(x) \right) \right)^2}{\cos^2(x)} = \dfrac{ \sin^2(x)\left(3 - 4 + 4 \cos^2(x) \right)^2}{\cos^2(x)} = \dfrac{ \sin^2(x)\left( 4 \cos^2(x) - 1\right)^2}{\cos^2(x)}
Donc, en développant l'identité remarquable :
f(x)=sin⁡2(x)(16cos⁡4(x)−8cos⁡2(x)+1)cos⁡2(x)=16cos⁡4(x)sin⁡2(x)−8cos⁡2(x)sin⁡2(x)+sin⁡2(x)cos⁡2(x)f(x) = \dfrac{ \sin^2(x)\left( 16 \cos^4(x) - 8 \cos^2(x) + 1\right)}{\cos^2(x)} = \dfrac{ 16 \cos^4(x) \sin^2(x) - 8 \cos^2(x) \sin^2(x) + \sin^2(x)}{\cos^2(x)}
Ce qui nous donne :
f(x)=16cos⁡4(x)sin⁡2(x)cos⁡2(x)−8cos⁡2(x)sin⁡2(x)cos⁡2(x)+sin⁡2(x)cos⁡2(x)f(x) = \dfrac{ 16 \cos^4(x) \sin^2(x)}{\cos^2(x)} - \dfrac{8 \cos^2(x) \sin^2(x) }{\cos^2(x)} + \dfrac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)}
Soit encore :
f(x)=16cos⁡2(x)sin⁡2(x)−8sin⁡2(x)+(sin⁡(x)cos⁡(x))2f(x) = 16 \cos^2(x) \sin^2(x) - 8\sin^2(x) + \left(\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)} \right)^2
Ce qui s'écrit également comme :
f(x)=4(2cos⁡(x)sin⁡(x))2−4×2sin⁡2(x)+(tan⁡(x))2f(x) = 4 \left( 2\cos(x) \sin(x) \right)^2 - 4 \times 2\sin^2(x) + \left(\tan(x)\right)^2
Donc, on trouve que :
f(x)=4(sin⁡(2x))2−4×(1−cos⁡(2x))+1+tan⁡2(x)−1f(x) = 4 \left( \sin(2x) \right)^2 - 4 \times \left( 1 - \cos(2x) \right) + 1 + \tan^2(x) - 1
D'où :
f(x)=2×2sin⁡2(2x)+4cos⁡(2x)+(1+tan⁡2(x))−1−4f(x) = 2 \times 2\sin^2(2x) + 4\cos(2x) + \left(1 + \tan^2(x) \right) - 1 - 4
On aboutit alors à :
f(x)=2×(1−cos⁡(4x))+4cos⁡(2x)+(1+tan⁡2(x))−5f(x) = 2 \times \left( 1 - \cos(4x) \right) + 4\cos(2x) + \left(1 + \tan^2(x) \right) - 5
Ainsi :
f(x)=2−2cos⁡(4x)+4cos⁡(2x)+(1+tan⁡2(x))−5f(x) = 2 - 2\cos(4x) + 4\cos(2x) + \left(1 + \tan^2(x) \right) - 5
Ce qui nous permet d'avoir :
f(x)=−2cos⁡(4x)+4cos⁡(2x)+(1+tan⁡2(x))−3f(x) = - 2\cos(4x) + 4\cos(2x) + \left(1 + \tan^2(x) \right) - 3
On peut donc en déduire que :
F(x)=∫f(x) dx=∫(−2cos⁡(4x)+4cos⁡(2x)+(1+tan⁡2(x))−3) dxF(x) = \int f(x) \, dx = \int \left( - 2\cos(4x) + 4\cos(2x) + \left(1 + \tan^2(x) \right) - 3\right) \, dx
Par linéarité, on a :
F(x)=∫f(x) dx=−2∫cos⁡(4x) dx+4∫cos⁡(2x) dx+∫(1+tan⁡2(x)) dx−∫3 dxF(x) = \int f(x) \, dx = - 2\int \cos(4x) \, dx + 4\int \cos(2x) \, dx + \int\left(1 + \tan^2(x) \right) \, dx - \int3 \, dx
Avec C∈RC \in \mathbb{R}, on trouve alors :
F(x)=∫f(x) dx=−2sin⁡(4x)4+4sin⁡(2x)2+tan⁡(x)−3x+CF(x) = \int f(x) \, dx = - 2\dfrac{\sin(4x)}{4} + 4\dfrac{\sin(2x)}{2} + \tan(x) - 3x + C
Finalement :
F(x)=∫f(x) dx=∫(sin⁡(3x)cos⁡(x))2 dx=−12sin⁡(4x)+2sin⁡(2x)+tan⁡(x)−3x+CF(x) = \int f(x) \, dx = \int \left( \dfrac{\sin(3x)}{\cos(x)} \right)^2 \, dx = - \dfrac{1}{2} \sin(4x) + 2\sin(2x) + \tan(x) - 3x + C
Question 2

Déterminer la valeur numérique de l'intégrale SS suivante : S=∫0π4f(x) dxS = \int_0^{\frac{\pi}{4}} f(x) \, dx.

Correction
On a :
S=∫0π4f(x) dx=F(π4)−F(0)S = \int_0^{\frac{\pi}{4}} f(x) \, dx = F\left( \dfrac{\pi}{4} \right) - F(0)
Avec :
∙  F(π4)=−12sin⁡(4π4)+2sin⁡(2π4)+tan⁡(π4)−3π4+C=−12sin⁡(π)+2sin⁡(π2)+tan⁡(π4)−3π4+C\bullet \,\, F\left( \dfrac{\pi}{4} \right) = - \dfrac{1}{2} \sin\left(4\dfrac{\pi}{4}\right) + 2\sin\left(2\dfrac{\pi}{4}\right) + \tan\left(\dfrac{\pi}{4}\right) - 3\dfrac{\pi}{4} + C = - \dfrac{1}{2} \sin\left(\pi\right) + 2\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right) + \tan\left(\dfrac{\pi}{4}\right) - \dfrac{3\pi}{4} + C
Soit :
∙  F(π4)=−12×0+2×1+1−3π4+C=0+2+1−3π4+C=3−3π4+C\bullet \,\, F\left( \dfrac{\pi}{4} \right) = - \dfrac{1}{2} \times 0 + 2\times 1 + 1 - \dfrac{3\pi}{4} + C = 0 + 2 + 1 - \dfrac{3\pi}{4} + C = 3 - \dfrac{3\pi}{4} + C
Puis :
∙∙  F(0)=−12sin⁡(4×0)+2sin⁡(2×0)+tan⁡(0)−3×0+C=−12sin⁡(0)+2sin⁡(0)+tan⁡(0)−0+C\bullet \bullet\,\, F\left( 0 \right) = - \dfrac{1}{2} \sin\left(4 \times 0\right) + 2\sin\left(2\times 0 \right) + \tan\left(0\right) - 3\times 0 + C = - \dfrac{1}{2} \sin\left(0\right) + 2\sin\left(0\right) + \tan\left(0\right) - 0 + C
Soit :
∙∙  F(0)=−12×0+2×0+0−0+C=0+C=C\bullet \bullet\,\, F\left( 0 \right) = - \dfrac{1}{2} \times 0 + 2 \times 0 + 0 - 0 + C = 0 + C = C
Ainsi, on en déduit que :
S=∫0π4f(x) dx=3−3π4+C−C=3×44−3π4=34(4−π)S = \int_0^{\frac{\pi}{4}} f(x) \, dx = 3 - \dfrac{3\pi}{4} + C - C = \dfrac{3 \times 4}{4} - \dfrac{3\pi}{4} = \dfrac{3 }{4} \left( 4 - \pi\right)
Finalement :
S=∫0π4f(x) dx=34(4−π)  u.a.≃0,6438  u.a.S = \int_0^{\frac{\pi}{4}} f(x) \, dx = \dfrac{3 }{4} \left( 4 - \pi\right) \,\, u.a. \simeq0,6438 \,\, u.a.
Graphiquement, cela nous donne :

Signaler une erreur

Aide-nous à améliorer nos contenus en signalant les erreurs ou problèmes que tu penses avoir trouvés.

Connecte-toi ou crée un compte pour signaler une erreur.