Primitives

Pour vérifier ses acquis - Exercice 1

40 min
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Voici un exercice pour vérifier que vous savez déterminer une primitive, en l'occurence trigonométrique.
Question 1
Soit xx un nombre réel appartenant à l'intervalle I=[0;π4]I = \left[ 0 \,;\, \dfrac{\pi}{4} \right].
Soit ff la fonction numérique réelle qui s'explicite comme suit f:x(sin(3x)cos(x))2f : x \longmapsto \left( \dfrac{\sin(3x)}{\cos(x)} \right)^2

Déterminer l'expression des primitives FF de la fonction ff.

Correction
On sait que :
sin3(x)=14(3sin(x)sin(3x))\sin^3(x) = \dfrac{1}{4} \left( 3 \sin(x) - \sin(3x) \right)
Donc :
4sin3(x)=3sin(x)sin(3x)4\sin^3(x) = 3 \sin(x) - \sin(3x)
Et de fait :
sin(3x)=3sin(x)4sin3(x)\sin(3x) = 3 \sin(x) - 4\sin^3(x)
Donc :
f(x)=(sin(3x)cos(x))2=(3sin(x)4sin3(x)cos(x))2=(3sin(x)4sin3(x))2cos2(x)=sin2(x)(34sin2(x))2cos2(x)f(x) = \left( \dfrac{\sin(3x)}{\cos(x)} \right)^2 = \left( \dfrac{3 \sin(x) - 4\sin^3(x)}{\cos(x)} \right)^2 = \dfrac{ \left(3 \sin(x) - 4\sin^3(x) \right)^2}{\cos^2(x)} = \dfrac{ \sin^2(x)\left(3 - 4\sin^2(x) \right)^2}{\cos^2(x)}
Soit :
f(x)=sin2(x)(34(1cos2(x)))2cos2(x)=sin2(x)(34+4cos2(x))2cos2(x)=sin2(x)(4cos2(x)1)2cos2(x)f(x) = \dfrac{ \sin^2(x)\left(3 - 4\left( 1 - \cos^2(x) \right) \right)^2}{\cos^2(x)} = \dfrac{ \sin^2(x)\left(3 - 4 + 4 \cos^2(x) \right)^2}{\cos^2(x)} = \dfrac{ \sin^2(x)\left( 4 \cos^2(x) - 1\right)^2}{\cos^2(x)}
Donc, en développant l'identité remarquable :
f(x)=sin2(x)(16cos4(x)8cos2(x)+1)cos2(x)=16cos4(x)sin2(x)8cos2(x)sin2(x)+sin2(x)cos2(x)f(x) = \dfrac{ \sin^2(x)\left( 16 \cos^4(x) - 8 \cos^2(x) + 1\right)}{\cos^2(x)} = \dfrac{ 16 \cos^4(x) \sin^2(x) - 8 \cos^2(x) \sin^2(x) + \sin^2(x)}{\cos^2(x)}
Ce qui nous donne :
f(x)=16cos4(x)sin2(x)cos2(x)8cos2(x)sin2(x)cos2(x)+sin2(x)cos2(x)f(x) = \dfrac{ 16 \cos^4(x) \sin^2(x)}{\cos^2(x)} - \dfrac{8 \cos^2(x) \sin^2(x) }{\cos^2(x)} + \dfrac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)}
Soit encore :
f(x)=16cos2(x)sin2(x)8sin2(x)+(sin(x)cos(x))2f(x) = 16 \cos^2(x) \sin^2(x) - 8\sin^2(x) + \left(\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)} \right)^2
Ce qui s'écrit également comme :
f(x)=4(2cos(x)sin(x))24×2sin2(x)+(tan(x))2f(x) = 4 \left( 2\cos(x) \sin(x) \right)^2 - 4 \times 2\sin^2(x) + \left(\tan(x)\right)^2
Donc, on trouve que :
f(x)=4(sin(2x))24×(1cos(2x))+1+tan2(x)1f(x) = 4 \left( \sin(2x) \right)^2 - 4 \times \left( 1 - \cos(2x) \right) + 1 + \tan^2(x) - 1
D'où :
f(x)=2×2sin2(2x)+4cos(2x)+(1+tan2(x))14f(x) = 2 \times 2\sin^2(2x) + 4\cos(2x) + \left(1 + \tan^2(x) \right) - 1 - 4
On aboutit alors à :
f(x)=2×(1cos(4x))+4cos(2x)+(1+tan2(x))5f(x) = 2 \times \left( 1 - \cos(4x) \right) + 4\cos(2x) + \left(1 + \tan^2(x) \right) - 5
Ainsi :
f(x)=22cos(4x)+4cos(2x)+(1+tan2(x))5f(x) = 2 - 2\cos(4x) + 4\cos(2x) + \left(1 + \tan^2(x) \right) - 5
Ce qui nous permet d'avoir :
f(x)=2cos(4x)+4cos(2x)+(1+tan2(x))3f(x) = - 2\cos(4x) + 4\cos(2x) + \left(1 + \tan^2(x) \right) - 3
On peut donc en déduire que :
F(x)=f(x)dx=(2cos(4x)+4cos(2x)+(1+tan2(x))3)dxF(x) = \int f(x) \, dx = \int \left( - 2\cos(4x) + 4\cos(2x) + \left(1 + \tan^2(x) \right) - 3\right) \, dx
Par linéarité, on a :
F(x)=f(x)dx=2cos(4x)dx+4cos(2x)dx+(1+tan2(x))dx3dxF(x) = \int f(x) \, dx = - 2\int \cos(4x) \, dx + 4\int \cos(2x) \, dx + \int\left(1 + \tan^2(x) \right) \, dx - \int3 \, dx
Avec CRC \in \mathbb{R}, on trouve alors :
F(x)=f(x)dx=2sin(4x)4+4sin(2x)2+tan(x)3x+CF(x) = \int f(x) \, dx = - 2\dfrac{\sin(4x)}{4} + 4\dfrac{\sin(2x)}{2} + \tan(x) - 3x + C
Finalement :
F(x)=f(x)dx=(sin(3x)cos(x))2dx=12sin(4x)+2sin(2x)+tan(x)3x+CF(x) = \int f(x) \, dx = \int \left( \dfrac{\sin(3x)}{\cos(x)} \right)^2 \, dx = - \dfrac{1}{2} \sin(4x) + 2\sin(2x) + \tan(x) - 3x + C
Question 2

Déterminer la valeur numérique de l'intégrale SS suivante : S=0π4f(x)dxS = \int_0^{\frac{\pi}{4}} f(x) \, dx.

Correction
On a :
S=0π4f(x)dx=F(π4)F(0)S = \int_0^{\frac{\pi}{4}} f(x) \, dx = F\left( \dfrac{\pi}{4} \right) - F(0)
Avec :
F(π4)=12sin(4π4)+2sin(2π4)+tan(π4)3π4+C=12sin(π)+2sin(π2)+tan(π4)3π4+C\bullet \,\, F\left( \dfrac{\pi}{4} \right) = - \dfrac{1}{2} \sin\left(4\dfrac{\pi}{4}\right) + 2\sin\left(2\dfrac{\pi}{4}\right) + \tan\left(\dfrac{\pi}{4}\right) - 3\dfrac{\pi}{4} + C = - \dfrac{1}{2} \sin\left(\pi\right) + 2\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right) + \tan\left(\dfrac{\pi}{4}\right) - \dfrac{3\pi}{4} + C
Soit :
F(π4)=12×0+2×1+13π4+C=0+2+13π4+C=33π4+C\bullet \,\, F\left( \dfrac{\pi}{4} \right) = - \dfrac{1}{2} \times 0 + 2\times 1 + 1 - \dfrac{3\pi}{4} + C = 0 + 2 + 1 - \dfrac{3\pi}{4} + C = 3 - \dfrac{3\pi}{4} + C
Puis :
F(0)=12sin(4×0)+2sin(2×0)+tan(0)3×0+C=12sin(0)+2sin(0)+tan(0)0+C\bullet \bullet\,\, F\left( 0 \right) = - \dfrac{1}{2} \sin\left(4 \times 0\right) + 2\sin\left(2\times 0 \right) + \tan\left(0\right) - 3\times 0 + C = - \dfrac{1}{2} \sin\left(0\right) + 2\sin\left(0\right) + \tan\left(0\right) - 0 + C
Soit :
F(0)=12×0+2×0+00+C=0+C=C\bullet \bullet\,\, F\left( 0 \right) = - \dfrac{1}{2} \times 0 + 2 \times 0 + 0 - 0 + C = 0 + C = C
Ainsi, on en déduit que :
S=0π4f(x)dx=33π4+CC=3×443π4=34(4π)S = \int_0^{\frac{\pi}{4}} f(x) \, dx = 3 - \dfrac{3\pi}{4} + C - C = \dfrac{3 \times 4}{4} - \dfrac{3\pi}{4} = \dfrac{3 }{4} \left( 4 - \pi\right)
Finalement :
S=0π4f(x)dx=34(4π)u.a.0,6438u.a.S = \int_0^{\frac{\pi}{4}} f(x) \, dx = \dfrac{3 }{4} \left( 4 - \pi\right) \,\, u.a. \simeq0,6438 \,\, u.a.
Graphiquement, cela nous donne :