Primitives

Pour s'amuser ! - Exercice 1

30 min
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Il faut toujours bien connaitre son cours !
Question 1
Soit la fonction numérique f:RRf \, : \, \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} suivante :
f(x)=xx2+1et2dtf(x) = \int_{x}^{x^2+1} e^{-t^2} \, dt

Calculer l'expression de la fonction dérivée ff' de la fonction numérique ff

Correction
La fonction et2e^{-t^2} est continue sur R\mathbb{R}, donc elle y admet des primitives. Soit FF d'une d'elles. Cette primitive satisfait donc à :
F(x)=f(x)F'(x) = f(x)
On a alors :
f(x)=F(x2+1)F(x)f(x) = F(x^2+1) - F(x)
Ce qui implique que :
f(x)=(F(x2+1)F(x))=(F(x2+1))F(x)=(F(x2+1))f(x)f'(x) = \left( F(x^2+1) - F(x)\right)' = \left( F(x^2+1) \right)' - F'(x) = \left( F(x^2+1) \right)' - f(x)
Soit :
f(x)=(F(x2+1))ex2f'(x) = \left( F(x^2+1) \right)' - e^{-x^2}
Or, par dérivée des fonctions composée, on a :
(F(x2+1))=F(x2+1)(x2+1)=f(x2+1)×2x=e(x2+1)2×2x\left( F(x^2+1) \right)' = F'(x^2+1) (x^2+1)' = f(x^2+1) \times 2x = e^{-(x^2+1)^2} \times 2x
Finalement, la dérivée ff' est :
f(x)=2xe(x2+1)2ex2\boxed{f(x) = 2x \, e^{-(x^2+1)^2} - e^{-x^2}}