Pour être à l'aise avec les primitives - Exercice 2
5 min
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Déterminer les primitives de chacune des fonctions suivantes :
Question 1
f(x)=exe2x+3ex−4 sur I=]−∞;+∞[ .
Correction
f(x)=exe2x+3ex−4 équivaut successivement à : f(x)=exe2x+ex3ex−ex4 f(x)=ex+3−ex4 f(x)=ex+3−4e−x Il vient alors que : F(x)=ex+3x−4×(−e−x)+K où K∈R Ainsi :
F(x)=ex+3x+4e−x+K où K∈R
Question 2
f(x)=tan(x) sur I=]−2π;2π[
Correction
Soit f(x)=tan(x) que l'on peut également écrire : f(x)=cos(x)sin(x)
Une primitive de uu′ est de la forme ln(∣u∣)
Soit x∈]−2π;2π[ La fonction f est de la forme uu′ avec u(x)=cos(x). De plus, u′(x)=−sin(x) . f(x)=−(cos(x)−sin(x)) s'écrit alors f(x)=−u(x)u′(x) Or une primitive de uu′ est de la forme ln(∣u∣) Il en résulte donc qu'une primitive de f sur ]−2π;2π[ est : F(x)=−ln(∣u(x)∣)+K où K∈R Ainsi :
F(x)=−ln(∣cos(x)∣)+K où K∈R
Question 3
f(x)=cos2(x)2 sur I=]−2π;2π[
Correction
Soit x∈]−2π;2π[ alors cos2(x)=1+tan2(x)
∫(1+tan2(x))=∫cos2(x)1dx=tan(x)
f(x)=cos2(x)2 f(x)=2×cos2(x)1 f(x)=2×(1+tan2(x)) Ainsi
F(x)=2tan(x)+K où K∈R
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