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Pour être à l'aise avec les primitives - Exercice 2

5 min
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Déterminer les primitives de chacune des fonctions suivantes :
Question 1

f(x)=e2x+3ex−4exf\left(x\right)=\frac{e^{2x}+3e^x-4}{e^x} sur I=]−∞;+∞[I=\left]-\infty;+\infty\right[ .

Correction
f(x)=e2x+3ex−4exf\left(x\right)=\frac{e^{2x}+3e^x-4}{e^x} équivaut successivement à :
f(x)=e2xex+3exex−4exf\left(x\right)=\frac{e^{2x}}{e^x}+\frac{3e^x}{e^x}-\frac{4}{e^x}
f(x)=ex+3−4exf\left(x\right)=e^x+3-\frac{4}{e^x}
f(x)=ex+3−4e−xf\left(x\right)=e^x+3-4e^{-x}
Il vient alors que :
F(x)=ex+3x−4×(−e−x)+KF\left(x\right)=e^x+3x-4\times \left(-e^{-x}\right)+K où K∈RK \in \mathbb{R}
Ainsi :
F(x)=ex+3x+4e−x+KF\left(x\right)=e^x+3x+4e^{-x}+K où K∈RK \in \mathbb{R}

Question 2

f(x)=tan⁡(x)f\left(x\right)=\tan \left(x\right) sur I=]−π2;π2[I=\left]-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right[

Correction
Soit f(x)=tan⁡(x)f\left(x\right)=\tan \left(x\right) que l'on peut également écrire : f(x)=sin⁡(x)cos⁡(x)f\left(x\right)=\frac{\sin \left(x\right)}{\cos \left(x\right)}
  • Une primitive de u′u\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{u}}} est de la forme ln⁡(∣u∣)\ln\left({\color{red}{|u|}}\right)
    • Soit x∈]−π2;π2[x\in \left]-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right[
    La fonction ff est de la forme u′u\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{u}}} avec u(x)=cos⁡(x){\color{red}{u\left(x\right)=\cos \left(x\right)}}.
    De plus, u′(x)=−sin⁡(x){\color{blue}{u'\left(x\right)=-\sin \left(x\right)}} .
    f(x)=−(−sin⁡(x)cos⁡(x))f\left(x\right)=-\left(\frac{{\color{blue}{-\sin \left(x\right)}}}{{\color{red}{\cos \left(x\right)}}}\right) s'écrit alors
    f(x)=−u′(x)u(x)f\left(x\right)=-\frac{{\color{blue}{u'\left(x\right)}}}{{\color{red}{u\left(x\right)}}}
    Or une primitive de u′u\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{u}}} est de la forme ln⁡(∣u∣)\ln\left({\color{red}{|u|}}\right)
    Il en résulte donc qu'une primitive de ff sur ]−π2;π2[\left]-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right[ est :
    F(x)=−ln⁡(∣u(x)∣)+KF\left(x\right)=-\ln \left({\color{red}{|u\left(x\right)|}}\right)+K où K∈RK \in \mathbb{R}
    Ainsi :
    F(x)=−ln⁡(∣cos⁡(x)∣)+KF\left(x\right)=-\ln \left({\color{red}{|\cos \left(x\right)|}}\right)+K où K∈RK \in \mathbb{R}

    Question 3

    f(x)=2cos2(x) f\left(x\right)=\frac{2}{{{\mathrm{cos}^2 \left(x\right)\ }}} sur I=]−π2;π2[I=\left]-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right[

    Correction
    • Soit x∈]−π2;π2[x\in \left]-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right[ alors cos2(x) =1+tan2(x) {{{\mathrm{cos}^2 \left(x\right)\ }}}=1+{{\mathrm{tan}^2 \left(x\right)\ }}
    • ∫(1+tan2(x) )=∫1cos2(x) dx=tan(x) \int\left(1+{{\mathrm{tan}^2 \left(x\right)\ }}\right)=\int\frac{1}{{{\mathrm{cos}^2 \left(x\right)\ }}}dx={\mathrm{tan} \left(x\right)\ }
    f(x)=2cos2(x) f\left(x\right)=\frac{2}{{{\mathrm{cos}^2 \left(x\right)\ }}}
    f(x)=2×1cos2(x) f\left(x\right)=2\times \frac{1}{{{\mathrm{cos}^2 \left(x\right)\ }}}
    f(x)=2×(1+tan2(x) )f\left(x\right)=2\times \left(1+{{\mathrm{tan}^2 \left(x\right)\ }}\right)
    Ainsi
    F(x)=2tan(x) +KF\left(x\right)=2{\mathrm{tan} \left(x\right)\ }+K où K∈RK \in \mathbb{R}