Pour être à l'aise avec les primitives - Exercice 1
30 min
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Déterminer les primitives de chacune des fonctions suivantes :
Question 1
f(x)=−3x+4x2+5x3−x4+x22−x45+2cos(x)−5sin(x) sur I=]0;+∞[ .
Correction
Soit n un entier naturel supérieur ou égale à 2, une primitive de xnnombre est (n−1)xn−1−nombre
f(x)=−3x+4x2+5x3−x4+x22−x45+2cos(x)−5sin(x) F(x)=−23x2+34x3−4ln(x)−x2+3x35+2cos(x)+2sin(x)+5cos(x)+K où K∈R
Question 2
f(x)=(2x−12)52 sur I=]6;+∞[ .
Correction
Soient n un entier tel que n≥2 et u une fonction de classe C1 .
∫u(x)nu′(x)dx=(n−1)u(x)n−1−1+K où K∈R
Soit x∈]6;+∞[ La fonction f est de la forme u(x)nu′(x) avec u(x)=2x−12 et n=5 De plus, u′(x)=2 . f(x)=(2x−12)52 s'écrit alors f(x)=unu′ avec n=5 Il en résulte donc que : ∫f(x)dx=(5−1)(2x−12)5−1−1+K où K∈R Ainsi :
∫f(x)dx=4(2x−12)4−1+K où K∈R
Question 3
f(t)=3tsin(2t2+19π) sur I=R .
Correction
Soit u une fonction de classe C1 .
∫u′(x)sin(u(x))dx=−cos(u(x))+K où K∈R
Soit x∈R La fonction f est de la forme u′(t)sin(u(t)) avec u(t)=2t2+19π. De plus, u′(t)=4t . Ainsi : f(t)=43×4tsin(2t2+19π) s'écrit alors f(t)=43u′(t)sin(u(t)) Il en résulte donc que :
∫f(t)dt=−43cos(2t2+19π)+K où K∈R
Question 4
f(t)=sin(2t)e3cos(2t) sur I=R .
Correction
Soit u une fonction de classe C1 .
∫u′(x)eu(x)dx=eu(x)+K où K∈R
Soit t∈R La fonction f est de la forme u′(t)eu(x) avec u(t)=3cos(2t). De plus, u′(t)=−6sin(2t) . D'où : f(t)=−61×(−6sin(2t)e3cos(2t)) s'écrit alors f(t)=−61u′(t)eu(x) Il en résulte donc que : Ainsi :
∫f(t)dt=−61e3cos(2t)+K où K∈R
Question 5
Calculer ∫xxxxdx sur I=]0;+∞[ .
Correction
Soit x∈]0;+∞[ , on a : ∫xxxxdx=∫xxx×x21dx ∫xxxxdx=∫xxx23dx ∫xxxxdx=∫xx×(x23)21dx ∫xxxxdx=∫xx×x43dx ∫xxxxdx=∫xx47dx ∫xxxxdx=∫x×(x47)21dx ∫xxxxdx=∫x×x87dx ∫xxxxdx=∫x815dx ∫xxxxdx=∫(x815)21dx ∫xxxxdx=∫x1615dx ∫xxxxdx=1615+11x1615+1 Ainsi :
∫xxxxdx=3116x1631+K où K∈R
Question 6
f(x)=e−6x+4 sur I=R .
Correction
f(x)=e−6x+4 f(x)=(e−6x+4)21 f(x)=e−3x+2 Soit x∈R La fonction f est de la forme u′(t)eu(x) avec u(t)=−3x+2. De plus, u′(t)=−3 . D'où : f(t)=−31×(−3)e−3x+2) s'écrit alors f(t)=−31u′(t)eu(x) Il en résulte donc que : Ainsi :
∫f(t)dt=−31e−3x+2+K où K∈R
Question 7
f(x)=(2x2−3x−4)x sur I=]0;+∞[ .
Correction
f(x)=(2x2−3x−4)x ∫f(x)dx=∫(2x2−3x−4)xdx ∫f(x)dx=∫(2x2−3x−4)x21dx ∫f(x)dx=∫(2x2×x21−3x×x21−4×x21)dx ∫f(x)dx=∫(2x2+21−3x1+21−4x21)dx ∫f(x)dx=∫(2x25−3x23−4x)dx ∫f(x)dx=2×1+251x25+1−3×1+231x23+1−4×2x1+K où K∈R ∫f(x)dx=2×(27)1x27−3×(25)1x25−x2+K où K∈R ∫f(x)dx=2×72x27−3×52x25−x2+K où K∈R ∫f(x)dx=74x27−56x25−x2+K où K∈R ∫f(x)dx=74x3+21−56x2+21−x2+K où K∈R Ainsi :
∫f(x)dx=74x3x−56x2x−x2+K où K∈R
Question 8
f(x)=3x2+23x sur I=]−∞;+∞[ .
Correction
Une primitive de k×uu′ est de la forme k×2u
Soit x∈]−∞;+∞[ La fonction f est de la forme k×uu′ avec u(u)=3x2+2. De plus, u′(x)=6x . f(x)=3x2+23x s'écrit alors f(x)=21×3x2+26x f(x)=k×uu′ . La valeur de k ici est 21 Or une primitive de k×uu′ est de la forme k×2u Il en résulte donc qu'une primitive de f sur ]−∞;+∞[ est : F(x)=k×2u(x) Ainsi :
F(x)=21×23x2+2
que l'on écrit : F(x)=3x2+2+K où K∈R
Question 9
f(x)=4cos(3x)(sin(3x))5 sur I=]−∞;+∞[ .
Correction
Soient n un entier non nul et k un reél non nul
Une primitive de primitive de k×u′un est de la forme n+1kun+1
Soit x∈R La fonction f est de la forme u′un avec u(x)=sin(3x) et n=5. De plus, u′(x)=3cos(3x) . f(x)=4cos(3x)(sin(3x))5 s'écrit alors : f(x)=34×3cos(3x)(sin(3x))5 c'est à dire f(x)=k×u′un avec k=34 Or une primitive de k×u′un est de la forme n+1kun+1 Il en résulte donc qu'une primitive de f sur R est : F(x)=n+1k(u(x))n+1 D'où : F(x)=5+134(sin(3x))5+1 Ainsi :
F(x)=92(sin(3x))6+K où K∈R
Question 10
f(x)=cos3(x)4sin(x) sur I=]−2π;2π[ .
Correction
Soit n un entier tel que n≥2
Une primitive de k×unu′ est de la forme (n−1)un−1−k
Soit x∈]−2π;2π[ Soit f(x)=cos3(x)4sin(x) que l'on peut écrire sous la forme : f(x)=(cos(x))34sin(x) La fonction f est de la forme k×unu′ avec u(x)=cos(x) et n=3 De plus, u′(x)=sin(x) . f(x)=4×(cos(x))3sin(x) s'écrit alors : f(x)=4×unu′ avec n=3 Or une primitive de k×unu′ est de la forme (n−1)un−1−k Il en résulte donc qu'une primitive de f sur ]−2π;2π[ est : F(x)=(n−1)un−1−k F(x)=(3−1)(cos(x))3−1−4 Ainsi :
F(x)=2(cos(x))2−4
ainsi : F(x)=(cos(x))2−2+K où K∈R
Question 11
f(x)=x4+6x2+9x sur I=]−∞;+∞[ .
Correction
Soit x∈R, on a : f(x)=x4+6x2+9x f(x)=(x2+3)2x
Soit n un entier tel que n≥2
Une primitive de k×unu′ est de la forme k×(n−1)un−1−1
Soit x∈R La fonction f est de la forme k×unu′ avec u(x)=x2+3 et n=2 . De plus, u′(x)=2x . f(x)=(x2+3)2x s'écrit alors : f(x)=21×(x2+3)22x f(x)=k×unu′ avec n=2 et k=21 Or une primitive de k×unu′ est de la forme k×(n−1)un−1−1 Il en résulte donc qu'une primitive de f sur ]−∞;+∞[ est : F(x)=k×(n−1)un−1−1 F(x)=21×(2−1)(x2+3)2−1−1 F(x)=21×1×(x2+3)1−1 Ainsi :
F(x)=2(x2+3)−1+K où K∈R
Question 12
f(x)=x2+65 sur I=]−∞;+∞[ .
Correction
Soit a un réel non nul,
∫a2+x21dx=a1arctan(ax)
Soit x∈R f(x)=x2+65 f(x)=x2+(6)25 Ainsi :
F(x)=65arctan(6x)+K où K∈R
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