Pour être à l'aise avec les primitives - Exercice 1

$$f\left(x\right)=-3x+4x^2+5x^3-\frac{4}{x}+\frac{2}{x^2}-\frac{5}{x^4}+2{\mathrm{cos} \left(x\right)\ }-5{\mathrm{sin} \left(x\right)\ }$$
$$F\left(x\right)=-\frac{3}{2}x^2+\frac{4}{3}x^3-4{\mathrm{ln} \left(x\right)\ }-\frac{2}{x}+\frac{5}{3x^3}+2{\mathrm{cos} \left(x\right)\ }+2{\mathrm{sin} \left(x\right)\ }+5{\mathrm{cos} \left(x\right)\ }+K$$ où $$K \in \mathbb{R}$$

Soit $$x\in \left]6;+\infty \right[$$
La fonction $$f$$ est de la forme $$\frac{{\color{blue}{u'\left(x\right)}}}{{\color{red}{u\left(x\right)}}^{{\color{brown}{n}}}}$$ avec $${\color{red}{u\left(x\right)=2x-12}}$$ et $${\color{brown}{n=5}}$$
De plus, $${\color{blue}{u'\left(x\right)=2}}$$ .
$$f\left(x\right)=\frac{{\color{blue}{2}}}{\left({\color{red}{2x-12}}\right)^{{\color{brown}{5}}}}$$ s'écrit alors $$f\left(x\right)=\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{u}}^{{\color{brown}{n}}}}$$ avec $${\color{brown}{n=5}}$$
Il en résulte donc que :
$$\int{f\left(x\right)}dx =\frac{-1}{\left({\color{brown}{5}}-1\right)\left(\color{red}{2x-12}\right)^{{\color{brown}{5}-1}} } +K$$ où $$K \in \mathbb{R}$$
Ainsi :

Soit $$x\in \mathbb{R}$$
La fonction $$f$$ est de la forme $${\color{blue}{u'\left(t\right)}}\sin\left({\color{red}{u\left(t\right)}}\right)$$ avec $${\color{red}{u\left(t\right)=2t^2+\frac{\pi }{19}}}$$.
De plus, $${\color{blue}{u'\left(t\right)=4t}}$$ .
Ainsi : $$f\left(t\right)=\frac{3}{4}\times{\color{blue}{4t}}\sin \left({\color{red}{2t^2+\frac{\pi }{19}}}\right)$$ s'écrit alors $$f\left(t\right)=\frac{3}{4}{\color{blue}{u'\left(t\right)}}\sin\left({\color{red}{u\left(t\right)}}\right)$$
Il en résulte donc que :

Soit $$t\in \mathbb{R}$$
La fonction $$f$$ est de la forme $${\color{blue}{u'\left(t\right)}}e^{{\color{red}{u\left(x\right)}}}$$ avec $${\color{red}{u\left(t\right)={\mathrm{3}\mathrm{cos} \left(2t\right)}}}$$.
De plus, $${\color{blue}{u'\left(t\right)=-6 \sin \left(2t\right)}}$$ .
D'où : $$f\left(t\right)=-\frac{1}{6}\times\left({\color{blue}{-6 \sin \left(2t\right)}}e^{{\color{red}{\mathrm{3}\mathrm{cos} \left(2t\right)}}}\right)$$ s'écrit alors $$f\left(t\right)=-\frac{1}{6}{\color{blue}{u'\left(t\right)}}e^{{\color{red}{u\left(x\right)}}}$$
Il en résulte donc que :
Ainsi :

Soit $$x\in\left]0;+\infty\right[$$ , on a :
$$\int{\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x}}}}}dx=\int{\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x\times x^{\frac{1}{2}}}}}}dx$$
$$\int{\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x}}}}}dx=\int{\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x^{\frac{3}{2}}}}}}dx$$
$$\int{\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x}}}}}dx=\int{\sqrt{x\sqrt{x\times {\left(x^{\frac{3}{2}}\right)}^{\frac{1}{2}}}}}dx$$
$$\int{\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x}}}}}dx=\int{\sqrt{x\sqrt{x\times x^{\frac{3}{4}}}}}dx$$
$$\int{\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x}}}}}dx=\int{\sqrt{x\sqrt{x^{\frac{7}{4}}}}}dx$$
$$\int{\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x}}}}}dx=\int{\sqrt{x\times {\left(x^{\frac{7}{4}}\right)}^{\frac{1}{2}}}}dx$$
$$\int{\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x}}}}}dx=\int{\sqrt{x\times x^{\frac{7}{8}}}}dx$$
$$\int{\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x}}}}}dx=\int{\sqrt{x^{\frac{15}{8}}}}dx$$
$$\int{\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x}}}}}dx=\int{{\left(x^{\frac{15}{8}}\right)}^{\frac{1}{2}}}dx$$
$$\int{\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x}}}}}dx=\int{x^{\frac{15}{16}}}dx$$
$$\int{\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x}}}}}dx=\frac{1}{\frac{15}{16}+1}x^{\frac{15}{16}+1}$$
Ainsi :

$$f\left(x\right)=\sqrt{e^{-6x+4}}$$
$$f\left(x\right)={\left(e^{-6x+4}\right)}^{\frac{1}{2}}$$
$$f\left(x\right)=e^{-3x+2}$$
Soit $$x\in \mathbb{R}$$
La fonction $$f$$ est de la forme $${\color{blue}{u'\left(t\right)}}e^{{\color{red}{u\left(x\right)}}}$$ avec $${\color{red}{u\left(t\right)={-3x+2}}}$$.
De plus, $${\color{blue}{u'\left(t\right)=-3}}$$ .
D'où : $$f\left(t\right)=-\frac{1}{3}\times\left({\color{blue}{-3)}}e^{{\color{red}{-3x+2}}}\right)$$ s'écrit alors $$f\left(t\right)=-\frac{1}{3}{\color{blue}{u'\left(t\right)}}e^{{\color{red}{u\left(x\right)}}}$$
Il en résulte donc que :
Ainsi :

$$f\left(x\right)=\left(2x^2-3x-4\right)\sqrt{x}$$
$$\int{f\left(x\right)dx}=\int{\left(2x^2-3x-4\right)\sqrt{x}}dx$$
$$\int{f\left(x\right)dx}=\int{\left(2x^2-3x-4\right)x^{\frac{1}{2}}}dx$$
$$\int{f\left(x\right)dx}=\int{\left(2x^2\times x^{\frac{1}{2}}-3x\times x^{\frac{1}{2}}-4\times x^{\frac{1}{2}}\right)}dx$$
$$\int{f\left(x\right)dx}=\int{\left(2x^{2+\frac{1}{2}}-3x^{1+\frac{1}{2}}-4x^{\frac{1}{2}}\right)}dx$$
$$\int{f\left(x\right)dx}=\int{\left(2x^{\frac{5}{2}}-3x^{\frac{3}{2}}-4\sqrt{x}\right)}dx$$
$$\int{f\left(x\right)dx}=2\times \frac{1}{1+\frac{5}{2}}x^{\frac{5}{2}+1}-3\times \frac{1}{1+\frac{3}{2}}x^{\frac{3}{2}+1}-4\times \frac{1}{2\sqrt{x}}+K$$ où $$K \in \mathbb{R}$$
$$\int{f\left(x\right)dx}=2\times \frac{1}{\left(\frac{7}{2}\right)}x^{\frac{7}{2}}-3\times \frac{1}{\left(\frac{5}{2}\right)}x^{\frac{5}{2}}-\frac{2}{\sqrt{x}}+K$$ où $$K \in \mathbb{R}$$
$$\int{f\left(x\right)dx}=2\times \frac{2}{7}x^{\frac{7}{2}}-3\times \frac{2}{5}x^{\frac{5}{2}}-\frac{2}{\sqrt{x}}+K$$ où $$K \in \mathbb{R}$$
$$\int{f\left(x\right)dx}=\frac{4}{7}x^{\frac{7}{2}}-\frac{6}{5}x^{\frac{5}{2}}-\frac{2}{\sqrt{x}}+K$$ où $$K \in \mathbb{R}$$
$$\int{f\left(x\right)dx}=\frac{4}{7}x^{3+\frac{1}{2}}-\frac{6}{5}x^{2+\frac{1}{2}}-\frac{2}{\sqrt{x}}+K$$ où $$K \in \mathbb{R}$$
Ainsi :

Soit $$x\in \left]-\infty;+\infty \right[$$
La fonction $$f$$ est de la forme $${\color{purple}{k}} \times\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{\sqrt{u}}}}$$ avec $${\color{red}{u\left(u\right)=3x^2+2}}$$.
De plus, $${\color{blue}{u'\left(x\right)=6x}}$$ .
$$f\left(x\right)=\frac{3x}{\sqrt{3x^2+2} }$$ s'écrit alors
$$f\left(x\right)={\color{purple}{\frac{1}{2}}} \times\frac{{\color{blue}{6x}}}{{\color{red}{\sqrt{3x^2+2} }}}$$
$$f\left(x\right)={\color{purple}{k}} \times\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{\sqrt{u}}}}$$ . La valeur de $${\color{purple}{k}}$$ ici est $${\color{purple}{\frac{1}{2}}}$$
Or une primitive de $${\color{purple}{k}}\times\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{\sqrt{u}}}}$$ est de la forme $${\color{purple}{k}}\times2\sqrt{\color{red}{{u}}}$$
Il en résulte donc qu'une primitive de $$f$$ sur $$\left]-\infty;+\infty \right[$$ est :
$$F\left(x\right)={\color{purple}{k}}\times2\sqrt{\color{red}{{u\left(x\right)}}}$$
Ainsi : que l'on écrit : $$F\left(x\right)=\sqrt{3x^2+2}+K$$ où $$K \in \mathbb{R}$$

Soit $$x\in \mathbb{R}$$
La fonction $$f$$ est de la forme $${\color{blue}{u'}}{\color{red}{u}}^{\color{brown}{n}}$$ avec $${\color{red}{u\left(x\right)=\sin\left(3x\right)}}$$ et $${\color{brown}{n=5}}$$.
De plus, $${\color{blue}{u'\left(x\right)=3\cos\left(3x\right)}}$$ .
$$f\left(x\right)=4\cos\left(3x\right)\left(\sin\left(3x\right)\right)^{5}$$ s'écrit alors :
$$f\left(x\right)=\color{purple}{\frac{4}{3}}\times{\color{blue}{3\cos\left(3x\right)}}\left({\color{red}{\sin\left(3x\right)}}\right)^{\color{brown}{5}}$$ c'est à dire $$f\left(x\right)={\color{purple}{k}}\times{\color{blue}{u'}}{\color{red}{u}}^{\color{brown}{n}}$$ avec $${\color{purple}{k=\frac{4}{3}}}$$
Or une primitive de $${\color{purple}{k}}\times{\color{blue}{u'}}{\color{red}{u}}^{\color{brown}{n}}$$ est de la forme $$\frac{{\color{purple}{k}}}{{\color{brown}{n}}+1} {\color{red}{u}}^{{\color{brown}{n}}+1}$$
Il en résulte donc qu'une primitive de $$f$$ sur $$\mathbb{R}$$ est :
$$F\left(x\right)=\frac{{\color{purple}{k}}}{{\color{brown}{n}}+1} \left({\color{red}{u\left(x\right)}}\right)^{{\color{brown}{n}}+1}$$
D'où :
$$F\left(x\right)=\frac{{\color{purple}{\frac{4}{3}}}}{{\color{brown}{5}}+1} \left({\color{red}{\sin\left(3x\right)}}\right)^{{\color{brown}{5}}+1}$$
Ainsi :

Soit $$x\in \left]-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right[$$
Soit $$f\left(x\right)=\frac{4{\mathrm{sin} \left(x\right)\ }}{{\mathrm{cos}}^{\mathrm{3}}\left(x\right)}$$ que l'on peut écrire sous la forme : $$f\left(x\right)=\frac{{\mathrm{4}\mathrm{sin} \left(x\right)\ }}{{\left({\mathrm{cos} \left(x\right)\ }\right)}^3}$$
La fonction $$f$$ est de la forme $${\color{purple}{k}}\times\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{u}}^{{\color{brown}{n}}}}$$ avec $${\color{red}{u\left(x\right)={\mathrm{cos} \left(x\right)\ }}}$$ et $${\color{brown}{n=3}}$$
De plus, $${\color{blue}{u'\left(x\right)={\mathrm{sin} \left(x\right)\ }}}$$ .
$$f\left(x\right)={\color{purple}{4}}\times\frac{{\color{blue}{{\mathrm{sin} \left(x\right)\ } }}}{\left({\color{red}{{\mathrm{cos} \left(x\right)\ } }}\right)^{{\color{brown}{3}}}}$$ s'écrit alors :
$$f\left(x\right)={\color{purple}{4}}\times\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{u}}^{{\color{brown}{n}}}}$$ avec $${\color{brown}{n=3}}$$
Or une primitive de $${\color{purple}{k}}\times\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{u}}^{{\color{brown}{n}}}}$$ est de la forme $$\frac{-{\color{purple}{k}}}{\left({\color{brown}{n}}-1\right)\color{red}{u}^{{\color{brown}{n}-1}} }$$
Il en résulte donc qu'une primitive de $$f$$ sur $$\left]-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right[$$ est :
$$F\left(x\right)=\frac{-{\color{purple}{k}}}{\left({\color{brown}{n}}-1\right)\color{red}{u}^{{\color{brown}{n}-1}} }$$
$$F\left(x\right)=\frac{-{\color{purple}{4}}}{\left({\color{brown}{3}}-1\right)\left(\color{red}{{\mathrm{cos} \left(x\right)\ } }\right)^{{\color{brown}{3}-1}} }$$
Ainsi : ainsi : $$F\left(x\right)=\frac{-2}{\left({\mathrm{cos} \left(x\right)\ }\right)^{2} } +K$$ où $$K \in \mathbb{R}$$

Soit $$x\in \mathbb{R}$$, on a :
$$f\left(x\right)=\frac{x}{x^4+6x^2+9}$$
$$f\left(x\right)=\frac{x}{{\left(x^2+3\right)}^2}$$
Soit $$x\in \mathbb{R}$$
La fonction $$f$$ est de la forme $${{\color{purple}{k}}}\times\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{u}}^{{\color{brown}{n}}}}$$ avec $${\color{red}{u\left(x\right)=x^2+3}}$$ et $${\color{brown}{n=2}}$$ .
De plus, $${\color{blue}{u'\left(x\right)=2x}}$$ .
$$f\left(x\right)=\frac{x}{{\left(x^2+3\right)}^2}$$ s'écrit alors :
$$f\left(x\right)={{\color{purple}{\frac{1}{2}}}}\times\frac{{\color{blue}{2x}}}{\left({\color{red}{x^2+3}}\right)^{{\color{brown}{2}}}}$$
$$f\left(x\right)={{\color{purple}{k}}}\times\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{u}}^{{\color{brown}{n}}}}$$ avec $${\color{brown}{n=2}}$$ et $${{\color{purple}{k=\frac{1}{2}}}}$$
Or une primitive de $${{\color{purple}{k}}}\times\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{u}}^{{\color{brown}{n}}}}$$ est de la forme $${{\color{purple}{k}}}\times\frac{-1}{\left({\color{brown}{n}}-1\right)\color{red}{u}^{{\color{brown}{n}-1}} }$$
Il en résulte donc qu'une primitive de $$f$$ sur $$\left]-\infty ;+\infty \right[$$ est :
$$F\left(x\right)={{\color{purple}{k}}}\times\frac{-1}{\left({\color{brown}{n}}-1\right)\color{red}{u}^{{\color{brown}{n}-1}} }$$
$$F\left(x\right)={{\color{purple}{\frac{1}{2}}}}\times\frac{-1}{\left({\color{brown}{2}}-1\right)\left(\color{red}{x^2+3}\right)^{{\color{brown}{2}-1}} }$$
$$F\left(x\right)={{\color{purple}{\frac{1}{2}}}}\times\frac{-1}{1\times\left(x^2+3\right)^{1} }$$
Ainsi :

Soit $$x\in \mathbb{R}$$
$$f\left(x\right)=\frac{5}{x^2+6}$$
$$f\left(x\right)=\frac{5}{x^2+{\left(\sqrt{6}\right)}^2}$$
Ainsi :