Primitives

Intégration par parties - Exercice 1

20 min
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Question 1

Calculer A=012xexdxA=\int _{0}^{1}{2xe^x} dx

Correction
    Formule d’inteˊgration par parties\red{\text{Formule d'intégration par parties}}
u\color{blue}{u} et v\color{green}{v} sont deux fonctions dérivables sur un intervalle II dont leurs dérivées u\color{red}{u'} et v\color{purple}{v'} sont continues sur II.
Pour tous réels aa et bb de II, nous avons alors :
abu(x)v(x)dx=[u(x)v(x)]ababu(x)v(x)dx\int _{a}^{b}{\color{blue}{u\left(x\right)}}{\color{purple}{v'\left(x\right)}}dx =\left[{\color{blue}{u\left(x\right)}}{\color{green}{v\left(x\right)}}\right]_{a}^{b} -\int _{a}^{b}{\color{red}{u'\left(x\right)}}{\color{green}{v\left(x\right)}}dx
Pour tout réel xx de I=[0;1]I=\left[0;1\right], on pose :
u(x)=2x{\color{blue}{u\left(x\right)=2x}} \qquad on détermine uu' la deˊriveˊe\blue{\text{la dérivée}} de uu \qquad \qquad \quad u(x)=2{\color{red}{u'\left(x\right)=2}}
v(x)=ex{\color{purple}{v'\left(x\right)=e^{x}}} \qquad on détermine vv une primitive\blue{\text{une primitive}} de vv' \qquad \qquad v(x)=ex{\color{green}{v\left(x\right)=e^{x}}}
Les fonctions u\color{blue}{u} et v\color{green}{v} sont dérivables sur II et les fonctions u\color{red}{u'} et v\color{purple}{v'} sont continues sur II. Autrement dit, les fonctions uu et vv sont de classe C1C^1 sur I=[0;1]I=\left[0;1\right] .
D'après la formule d'intégrations par parties :
A=012xexdxA=\int _{0}^{1}{\color{blue}{2x}}{\color{purple}{e^{x}}} dx
A=[2xex]01012exdxA=\left[{\color{blue}{2x}}{\color{green}{e^{x}}} \right]_{0}^{1} -\int _{0}^{1}{\color{red}{2}}{\color{green}{e^{x}}} dx
A=[2xex]01[2ex]01A=\left[2xe^{x} \right]_{0}^{1} -\left[2e^{x} \right]_{0}^{1}
A=(2×1×e12×0×e0)(2e12e0)A=\left(2\times 1\times e^{1} -2\times 0\times e^{0} \right)-\left(2e^{1} -2e^{0} \right)
A=2e(2e2)A=2e-\left(2e-2\right)
A=2e2e+2A=2e-2e+2
Ainsi :
A=2A=2 u.a

Question 2

Calculer B=12x2ln(2x)dxB=\int _{1}^{2}{x^2\ln\left(2x\right)} dx

Correction
    Formule d’inteˊgration par parties\red{\text{Formule d'intégration par parties}}
u\color{blue}{u} et v\color{green}{v} sont deux fonctions dérivables sur un intervalle II dont leurs dérivées u\color{red}{u'} et v\color{purple}{v'} sont continues sur II.
Pour tous réels aa et bb de II, nous avons alors :
abu(x)v(x)dx=[u(x)v(x)]ababu(x)v(x)dx\int _{a}^{b}{\color{blue}{u\left(x\right)}}{\color{purple}{v'\left(x\right)}}dx =\left[{\color{blue}{u\left(x\right)}}{\color{green}{v\left(x\right)}}\right]_{a}^{b} -\int _{a}^{b}{\color{red}{u'\left(x\right)}}{\color{green}{v\left(x\right)}}dx
Pour tout réel xx de I=[1;2]I=\left[1;2\right], on pose :
u(x)=ln(2x){\color{blue}{u\left(x\right)=\ln\left(2x\right)}} \qquad on détermine uu' la deˊriveˊe\blue{\text{la dérivée}} de uu \qquad \qquad \quad u(x)=22x=1x{\color{red}{u'\left(x\right)=\frac{2}{2x}}=\frac{1}{x}}
v(x)=x2{\color{purple}{v'\left(x\right)=x^2}} \qquad on détermine vv une primitive\blue{\text{une primitive}} de vv' \qquad \qquad v(x)=13x3{\color{green}{v\left(x\right)=\frac{1}{3}x^3}}
Les fonctions u\color{blue}{u} et v\color{green}{v} sont dérivables sur II et les fonctions u\color{red}{u'} et v\color{purple}{v'} sont continues sur II. Autrement dit, les fonctions uu et vv sont de classe C1C^1 sur I=[1;2]I=\left[1;2\right] .
D'après la formule d'intégrations par parties :
B=12ln(2x)×x2dxB=\int _{1}^{2}{\color{blue}{\ln\left(2x\right)}}{\color{purple}\times{x^2}} dx
B=[ln(2x)×13x3]12121x×13x3dxB=\left[{\color{blue}{\ln\left(2x\right)}}\times{\color{green}{\frac{1}{3}x^3}} \right]_{1}^{2} -\int _{1}^{2}{\color{red}{\frac{1}{x}}}\times{\color{green}{\frac{1}{3}x^3}} dx
B=[13x3ln(2x) ]121213x2dxB={\left[\frac{1}{3}{x^3\mathrm{ln} \left(2x\right)\ }\right]}^2_1- \int _{1}^{2}\frac{1}{3}x^2 dx
B=[13x3ln(2x) ]12[19x3]12B={\left[\frac{1}{3}{x^3\mathrm{ln} \left(2x\right)\ }\right]}^2_1-{\left[\frac{1}{9}x^3\right]}^2_1
B=13×23×ln(2×2) 13×13×ln(2×1) (19×2319×13)B=\frac{1}{3}\times {2^3\mathrm{\times }\mathrm{ln} \left(2\times 2\right)\ }-\frac{1}{3}\times {1^3\mathrm{\times }\mathrm{ln} \left(2\times 1\right)\ }-\left(\frac{1}{9}{\times 2}^3-\frac{1}{9}\times 1^3\right)
B=83ln(4) 13ln(2) (8919)B=\frac{8}{3}{\mathrm{ln} \left(4\right)\ }-\frac{1}{3}{\mathrm{ln} \left(2\right)\ }-\left(\frac{8}{9}-\frac{1}{9}\right)
B=83ln(22) 13ln(2) 79B=\frac{8}{3}{\mathrm{ln} \left(2^2\right)\ }-\frac{1}{3}{\mathrm{ln} \left(2\right)\ }-\frac{7}{9}
B=163ln(2) 13ln(2) 79B=\frac{16}{3}{\mathrm{ln} \left(2\right)\ }-\frac{1}{3}{\mathrm{ln} \left(2\right)\ }-\frac{7}{9}
Ainsi :
B=153ln(2) 79B=\frac{15}{3}{\mathrm{ln} \left(2\right)\ }-\frac{7}{9} u.a
Question 3

Calculer C=01arctan(x) dxC=\int^1_0{{\mathrm{arctan} \left(x\right)\ }dx}

Correction
    Formule d’inteˊgration par parties\red{\text{Formule d'intégration par parties}}
u\color{blue}{u} et v\color{green}{v} sont deux fonctions dérivables sur un intervalle II dont leurs dérivées u\color{red}{u'} et v\color{purple}{v'} sont continues sur II.
Pour tous réels aa et bb de II, nous avons alors :
abu(x)v(x)dx=[u(x)v(x)]ababu(x)v(x)dx\int _{a}^{b}{\color{blue}{u\left(x\right)}}{\color{purple}{v'\left(x\right)}}dx =\left[{\color{blue}{u\left(x\right)}}{\color{green}{v\left(x\right)}}\right]_{a}^{b} -\int _{a}^{b}{\color{red}{u'\left(x\right)}}{\color{green}{v\left(x\right)}}dx
C=01arctan(x) dxC=\int^1_0{{\mathrm{arctan} \left(x\right)\ }dx}
C=011×arctan(x) dxC=\int^1_0{{\mathrm{1}\mathrm{\times }\mathrm{arctan} \left(x\right)\ }dx}
Pour tout réel xx de I=[0;1]I=\left[0;1\right], on pose :
u(x)=arctan(x){\color{blue}{u\left(x\right)=\mathrm{arctan} \left(x\right)}} \qquad on détermine uu' la deˊriveˊe\blue{\text{la dérivée}} de uu \qquad \qquad \quad u(x)=1x2+1{\color{red}{u'\left(x\right)=\frac{1}{x^2+1}}}
v(x)=1{\color{purple}{v'\left(x\right)=1}} \qquad on détermine vv une primitive\blue{\text{une primitive}} de vv' \qquad \qquad v(x)=x{\color{green}{v\left(x\right)=x}}
Les fonctions u\color{blue}{u} et v\color{green}{v} sont dérivables sur II et les fonctions u\color{red}{u'} et v\color{purple}{v'} sont continues sur II. Autrement dit, les fonctions uu et vv sont de classe C1C^1 sur I=[0;1]I=\left[0;1\right] .
D'après la formule d'intégrations par parties :
C=01arctan(x)×1dxC=\int _{0}^{1}{\color{blue}{\mathrm{arctan} \left(x\right)}}{\color{purple}\times{1}} dx
C=[arctan(x)×x]01011x2+1×xdxC=\left[{\color{blue}{\mathrm{arctan} \left(x\right)}}\times{\color{green}{x}} \right]_{0}^{1} -\int _{0}^{1}{\color{red}{\frac{1}{x^2+1}}}\times{\color{green}{x}} dx
C=[xarctan(x) ]0101x1+x2dxC={\left[x{\mathrm{arctan} \left(x\right)\ }\right]}^1_0-\int^1_0{\frac{x}{1+x^2}dx}
C=[xarctan(x) ]0112012x1+x2dxC={\left[x{\mathrm{arctan} \left(x\right)\ }\right]}^1_0-\frac{1}{2}\int^1_0{\frac{2x}{1+x^2}dx}
C=[xarctan(x) ]01[12ln(1+x2) ]01C={\left[x{\mathrm{arctan} \left(x\right)\ }\right]}^1_0-{\left[\frac{1}{2}{\mathrm{ln} \left(1+x^2\right)\ }\right]}^1_0
C=1×arctan(1) 0×arctan(0) (12ln(1+12) 12ln(1+02) )C=1\times {\mathrm{arctan} \left(1\right)\ }-0\times {\mathrm{arctan} \left(0\right)\ }-\left(\frac{1}{2}{\mathrm{ln} \left(1+1^2\right)\ }-\frac{1}{2}{\mathrm{ln} \left(1+0^2\right)\ }\right)
C=arctan(1) arctan(0) (12ln(2) 12ln(1) )C={\mathrm{arctan} \left(1\right)\ }-{\mathrm{arctan} \left(0\right)\ }-\left(\frac{1}{2}{\mathrm{ln} \left(2\right)\ }-\frac{1}{2}{\mathrm{ln} \left(1\right)\ }\right)
C=arctan(1) arctan(0) 12ln(2) +12ln(1) C={\mathrm{arctan} \left(1\right)\ }-{\mathrm{arctan} \left(0\right)\ }-\frac{1}{2}{\mathrm{ln} \left(2\right)\ }+\frac{1}{2}{\mathrm{ln} \left(1\right)\ }
C=π4012ln(2) +0C=\frac{\pi }{4}-0-\frac{1}{2}{\mathrm{ln} \left(2\right)\ }+0
Ainsi :
C=π412ln(2) C=\frac{\pi }{4}-\frac{1}{2}{\mathrm{ln} \left(2\right)\ } u.a

Question 4

Calculer D=0πxcos(x) dxD=\int^{\pi }_0{x{\mathrm{cos} \left(x\right)\ }dx}

Correction
    Formule d’inteˊgration par parties\red{\text{Formule d'intégration par parties}}
u\color{blue}{u} et v\color{green}{v} sont deux fonctions dérivables sur un intervalle II dont leurs dérivées u\color{red}{u'} et v\color{purple}{v'} sont continues sur II.
Pour tous réels aa et bb de II, nous avons alors :
abu(x)v(x)dx=[u(x)v(x)]ababu(x)v(x)dx\int _{a}^{b}{\color{blue}{u\left(x\right)}}{\color{purple}{v'\left(x\right)}}dx =\left[{\color{blue}{u\left(x\right)}}{\color{green}{v\left(x\right)}}\right]_{a}^{b} -\int _{a}^{b}{\color{red}{u'\left(x\right)}}{\color{green}{v\left(x\right)}}dx
Pour tout réel xx de I=[0;π]I=\left[0;\pi\right], on pose :
u(x)=x{\color{blue}{u\left(x\right)=x}} \qquad on détermine uu' la deˊriveˊe\blue{\text{la dérivée}} de uu \qquad \qquad \quad u(x)=1{\color{red}{u'\left(x\right)=1}}
v(x)=cos(x){\color{purple}{v'\left(x\right)=\mathrm{cos} \left(x\right)}} \qquad on détermine vv une primitive\blue{\text{une primitive}} de vv' \qquad \qquad v(x)=sin(x){\color{green}{v\left(x\right)=\mathrm{sin} \left(x\right)}}
Les fonctions u\color{blue}{u} et v\color{green}{v} sont dérivables sur II et les fonctions u\color{red}{u'} et v\color{purple}{v'} sont continues sur II. Autrement dit, les fonctions uu et vv sont de classe C1C^1 sur I=[0;π]I=\left[0;\pi\right] .
D'après la formule d'intégrations par parties :
D=0πx×cos(x)dxD=\int _{0}^{\pi}{\color{blue}{x}}{\color{purple}\times{\mathrm{cos} \left(x\right)}} dx
D=[x×sin(x)]01011×sin(x)dxD=\left[{\color{blue}{x}}\times{\color{green}{\mathrm{sin} \left(x\right)}} \right]_{0}^{1} -\int _{0}^{1}{\color{red}{1}}\times{\color{green}{\mathrm{sin} \left(x\right)}} dx
D=[xsin(x) ]0π0πsin(x) dxD={\left[x{\mathrm{sin} \left(x\right)\ }\right]}^{\pi }_0-\int^{\pi }_0{{\mathrm{sin} \left(x\right)\ }dx}
D=[xsin(x) ]0π[cos(x) ]0πD={\left[x{\mathrm{sin} \left(x\right)\ }\right]}^{\pi }_0-{\left[-{\mathrm{cos} \left(x\right)\ }\right]}^{\pi }_0
D=π×sin(π) 0×sin(0) (cos(π) (cos(0) ))D=\pi \times {\mathrm{sin} \left(\pi \right)\ }-0{\mathrm{\times }\mathrm{sin} \left(0\right)\ }-\left(-{\mathrm{cos} \left(\pi \right)\ }-\left(-{\mathrm{cos} \left(0\right)\ }\right)\right)
D=00((1)(1))D=0-0-\left(-\left(-1\right)-\left(-1\right)\right)
D=00(1+1)D=0-0-\left(1+1\right)
Ainsi :
D=2D=-2

Question 5

E=12ln(2+1t)dt E=\int^2_1{{\mathrm{ln} \left(2+\frac{1}{t}\right)dt\ }}

Correction
    Formule d’inteˊgration par parties\red{\text{Formule d'intégration par parties}}
u\color{blue}{u} et v\color{green}{v} sont deux fonctions dérivables sur un intervalle II dont leurs dérivées u\color{red}{u'} et v\color{purple}{v'} sont continues sur II.
Pour tous réels aa et bb de II, nous avons alors :
abu(x)v(x)dx=[u(x)v(x)]ababu(x)v(x)dx\int _{a}^{b}{\color{blue}{u\left(x\right)}}{\color{purple}{v'\left(x\right)}}dx =\left[{\color{blue}{u\left(x\right)}}{\color{green}{v\left(x\right)}}\right]_{a}^{b} -\int _{a}^{b}{\color{red}{u'\left(x\right)}}{\color{green}{v\left(x\right)}}dx
Pour tout réel tt de I=[1;2]I=\left[1;2\right], on pose :
u(t)=ln(2+1t){\color{blue}{u\left(t\right)=\mathrm{ln} \left(2+\frac{1}{t}\right) }} \qquad on détermine uu' la deˊriveˊe\blue{\text{la dérivée}} de uu \qquad \qquad \quad u(t)=1t22+1t=1t22tt+1t=1t22t+1t=1t2×t2t+1=1t(2t+1){\color{red}{u'\left(t\right)=\frac{\frac{-1}{t^2}}{2+\frac{1}{t}}=\frac{\frac{-1}{t^2}}{\frac{2t}{t}+\frac{1}{t}}=\frac{\frac{-1}{t^2}}{\frac{2t+1}{t}}=-\frac{1}{t^2}\times \frac{t}{2t+1}=\frac{-1}{t\left(2t+1\right)}}}
v(t)=1{\color{purple}{v'\left(t\right)=1}} \qquad on détermine vv une primitive\blue{\text{une primitive}} de vv' \qquad \qquad v(t)=t{\color{green}{v\left(t\right)=t}}
Les fonctions u\color{blue}{u} et v\color{green}{v} sont dérivables sur II et les fonctions u\color{red}{u'} et v\color{purple}{v'} sont continues sur II. Autrement dit, les fonctions uu et vv sont de classe C1C^1 sur I=[1;2]I=\left[1;2\right] .
D'après la formule d'intégrations par parties :
E=12ln(2+1t)×1dtE=\int _{1}^{2}{\color{blue}{\mathrm{ln} \left(2+\frac{1}{t}\right) }}{\color{purple}\times{1}} dt
E=[ln(2+1t)×t]1212t×1t(2t+1)dtE=\left[{\color{blue}{\mathrm{ln} \left(2+\frac{1}{t}\right) }}\times{\color{green}{t}} \right]_{1}^{2} -\int _{1}^{2}{\color{green}{t}}\times{\color{red}{\frac{-1}{t\left(2t+1\right)}}} dt
E=[tln(2+1t) ]121212t+1dtE={\left[t{\mathrm{ln} \left(2+\frac{1}{t}\right)\ }\right]}^2_1-\int^2_1{\frac{-1}{2t+1}dt}
E=[tln(2+1t) ]12+1212t+1dtE={\left[t{\mathrm{ln} \left(2+\frac{1}{t}\right)\ }\right]}^2_1+\int^2_1{\frac{1}{2t+1}dt}
E=[tln(2+1t) ]12+121222t+1dtE={\left[t{\mathrm{ln} \left(2+\frac{1}{t}\right)\ }\right]}^2_1+\frac{1}{2}\int^2_1{\frac{2}{2t+1}dt}
E=[tln(2+1t) ]12+12[ln(2t+1) ]12E={\left[t{\mathrm{ln} \left(2+\frac{1}{t}\right)\ }\right]}^2_1+\frac{1}{2}{\left[{\mathrm{ln} \left(2t+1\right)\ }\right]}^2_1
E=2ln(2+12) 1ln(2+11) +12(ln(2×2+1) ln(2×1+1) )E=2{\mathrm{ln} \left(2+\frac{1}{2}\right)\ }-1{\mathrm{ln} \left(2+\frac{1}{1}\right)\ }+\frac{1}{2}\left({\mathrm{ln} \left(2\times 2+1\right)\ }-{\mathrm{ln} \left(2\times 1+1\right)\ }\right)
E=2ln(52) 1ln(3) +12(ln(5) ln(3) )E=2{\mathrm{ln} \left(\frac{5}{2}\right)\ }-1{\mathrm{ln} \left(3\right)\ }+\frac{1}{2}\left({\mathrm{ln} \left(5\right)\ }-{\mathrm{ln} \left(3\right)\ }\right)
E=2ln(52) ln(3) +12ln(5) 12ln(3) E=2{\mathrm{ln} \left(\frac{5}{2}\right)\ }-{\mathrm{ln} \left(3\right)\ }+\frac{1}{2}{\mathrm{ln} \left(5\right)\ }-\frac{1}{2}{\mathrm{ln} \left(3\right)\ }
E=2ln(5) 2ln(2) ln(3) +12ln(5) 12ln(3) E=2{\mathrm{ln} \left(5\right)\ }-2{\mathrm{ln} \left(2\right)\ }-{\mathrm{ln} \left(3\right)\ }+\frac{1}{2}{\mathrm{ln} \left(5\right)\ }-\frac{1}{2}{\mathrm{ln} \left(3\right)\ }
Ainsi :
E=52ln(5) 2ln(2) 32ln(3) E=\frac{5}{2}{\mathrm{ln} \left(5\right)\ }-2{\mathrm{ln} \left(2\right)\ }-\frac{3}{2}{\mathrm{ln} \left(3\right)\ }