Intégration par parties - Exercice 1

Pour tout réel $$x$$ de $$I=\left[0;1\right]$$, on pose :
$${\color{blue}{u\left(x\right)=2x}}$$ $$\qquad$$ on détermine $$u'$$ $$\blue{\text{la dérivée}}$$ de $$u$$ $$\qquad$$ $$\qquad$$ $$\quad$$ $${\color{red}{u'\left(x\right)=2}}$$
$${\color{purple}{v'\left(x\right)=e^{x}}}$$ $$\qquad$$ on détermine $$v$$ $$\blue{\text{une primitive}}$$ de $$v'$$ $$\qquad$$ $$\qquad$$ $${\color{green}{v\left(x\right)=e^{x}}}$$
Les fonctions $$\color{blue}{u}$$ et $$\color{green}{v}$$ sont dérivables sur $$I$$ et les fonctions $$\color{red}{u'}$$ et $$\color{purple}{v'}$$ sont continues sur $$I$$. Autrement dit, les fonctions $$u$$ et $$v$$ sont de classe $$C^1$$ sur $$I=\left[0;1\right]$$ .
D'après la formule d'intégrations par parties :
$$A=\int _{0}^{1}{\color{blue}{2x}}{\color{purple}{e^{x}}} dx$$
$$A=\left[{\color{blue}{2x}}{\color{green}{e^{x}}} \right]_{0}^{1} -\int _{0}^{1}{\color{red}{2}}{\color{green}{e^{x}}} dx$$
$$A=\left[2xe^{x} \right]_{0}^{1} -\left[2e^{x} \right]_{0}^{1}$$
$$A=\left(2\times 1\times e^{1} -2\times 0\times e^{0} \right)-\left(2e^{1} -2e^{0} \right)$$
$$A=2e-\left(2e-2\right)$$
$$A=2e-2e+2$$
Ainsi :

Pour tout réel $$x$$ de $$I=\left[1;2\right]$$, on pose :
$${\color{blue}{u\left(x\right)=\ln\left(2x\right)}}$$ $$\qquad$$ on détermine $$u'$$ $$\blue{\text{la dérivée}}$$ de $$u$$ $$\qquad$$ $$\qquad$$ $$\quad$$ $${\color{red}{u'\left(x\right)=\frac{2}{2x}}=\frac{1}{x}}$$
$${\color{purple}{v'\left(x\right)=x^2}}$$ $$\qquad$$ on détermine $$v$$ $$\blue{\text{une primitive}}$$ de $$v'$$ $$\qquad$$ $$\qquad$$ $${\color{green}{v\left(x\right)=\frac{1}{3}x^3}}$$
Les fonctions $$\color{blue}{u}$$ et $$\color{green}{v}$$ sont dérivables sur $$I$$ et les fonctions $$\color{red}{u'}$$ et $$\color{purple}{v'}$$ sont continues sur $$I$$. Autrement dit, les fonctions $$u$$ et $$v$$ sont de classe $$C^1$$ sur $$I=\left[1;2\right]$$ .
D'après la formule d'intégrations par parties :
$$B=\int _{1}^{2}{\color{blue}{\ln\left(2x\right)}}{\color{purple}\times{x^2}} dx$$
$$B=\left[{\color{blue}{\ln\left(2x\right)}}\times{\color{green}{\frac{1}{3}x^3}} \right]_{1}^{2} -\int _{1}^{2}{\color{red}{\frac{1}{x}}}\times{\color{green}{\frac{1}{3}x^3}} dx$$
$$B={\left[\frac{1}{3}{x^3\mathrm{ln} \left(2x\right)\ }\right]}^2_1- \int _{1}^{2}\frac{1}{3}x^2 dx$$
$$B={\left[\frac{1}{3}{x^3\mathrm{ln} \left(2x\right)\ }\right]}^2_1-{\left[\frac{1}{9}x^3\right]}^2_1$$
$$B=\frac{1}{3}\times {2^3\mathrm{\times }\mathrm{ln} \left(2\times 2\right)\ }-\frac{1}{3}\times {1^3\mathrm{\times }\mathrm{ln} \left(2\times 1\right)\ }-\left(\frac{1}{9}{\times 2}^3-\frac{1}{9}\times 1^3\right)$$
$$B=\frac{8}{3}{\mathrm{ln} \left(4\right)\ }-\frac{1}{3}{\mathrm{ln} \left(2\right)\ }-\left(\frac{8}{9}-\frac{1}{9}\right)$$
$$B=\frac{8}{3}{\mathrm{ln} \left(2^2\right)\ }-\frac{1}{3}{\mathrm{ln} \left(2\right)\ }-\frac{7}{9}$$
$$B=\frac{16}{3}{\mathrm{ln} \left(2\right)\ }-\frac{1}{3}{\mathrm{ln} \left(2\right)\ }-\frac{7}{9}$$
Ainsi :

$$C=\int^1_0{{\mathrm{arctan} \left(x\right)\ }dx}$$
$$C=\int^1_0{{\mathrm{1}\mathrm{\times }\mathrm{arctan} \left(x\right)\ }dx}$$
Pour tout réel $$x$$ de $$I=\left[0;1\right]$$, on pose :
$${\color{blue}{u\left(x\right)=\mathrm{arctan} \left(x\right)}}$$ $$\qquad$$ on détermine $$u'$$ $$\blue{\text{la dérivée}}$$ de $$u$$ $$\qquad$$ $$\qquad$$ $$\quad$$ $${\color{red}{u'\left(x\right)=\frac{1}{x^2+1}}}$$
$${\color{purple}{v'\left(x\right)=1}}$$ $$\qquad$$ on détermine $$v$$ $$\blue{\text{une primitive}}$$ de $$v'$$ $$\qquad$$ $$\qquad$$ $${\color{green}{v\left(x\right)=x}}$$
Les fonctions $$\color{blue}{u}$$ et $$\color{green}{v}$$ sont dérivables sur $$I$$ et les fonctions $$\color{red}{u'}$$ et $$\color{purple}{v'}$$ sont continues sur $$I$$. Autrement dit, les fonctions $$u$$ et $$v$$ sont de classe $$C^1$$ sur $$I=\left[0;1\right]$$ .
D'après la formule d'intégrations par parties :
$$C=\int _{0}^{1}{\color{blue}{\mathrm{arctan} \left(x\right)}}{\color{purple}\times{1}} dx$$
$$C=\left[{\color{blue}{\mathrm{arctan} \left(x\right)}}\times{\color{green}{x}} \right]_{0}^{1} -\int _{0}^{1}{\color{red}{\frac{1}{x^2+1}}}\times{\color{green}{x}} dx$$
$$C={\left[x{\mathrm{arctan} \left(x\right)\ }\right]}^1_0-\int^1_0{\frac{x}{1+x^2}dx}$$
$$C={\left[x{\mathrm{arctan} \left(x\right)\ }\right]}^1_0-\frac{1}{2}\int^1_0{\frac{2x}{1+x^2}dx}$$
$$C={\left[x{\mathrm{arctan} \left(x\right)\ }\right]}^1_0-{\left[\frac{1}{2}{\mathrm{ln} \left(1+x^2\right)\ }\right]}^1_0$$
$$C=1\times {\mathrm{arctan} \left(1\right)\ }-0\times {\mathrm{arctan} \left(0\right)\ }-\left(\frac{1}{2}{\mathrm{ln} \left(1+1^2\right)\ }-\frac{1}{2}{\mathrm{ln} \left(1+0^2\right)\ }\right)$$
$$C={\mathrm{arctan} \left(1\right)\ }-{\mathrm{arctan} \left(0\right)\ }-\left(\frac{1}{2}{\mathrm{ln} \left(2\right)\ }-\frac{1}{2}{\mathrm{ln} \left(1\right)\ }\right)$$
$$C={\mathrm{arctan} \left(1\right)\ }-{\mathrm{arctan} \left(0\right)\ }-\frac{1}{2}{\mathrm{ln} \left(2\right)\ }+\frac{1}{2}{\mathrm{ln} \left(1\right)\ }$$
$$C=\frac{\pi }{4}-0-\frac{1}{2}{\mathrm{ln} \left(2\right)\ }+0$$
Ainsi :

Pour tout réel $$x$$ de $$I=\left[0;\pi\right]$$, on pose :
$${\color{blue}{u\left(x\right)=x}}$$ $$\qquad$$ on détermine $$u'$$ $$\blue{\text{la dérivée}}$$ de $$u$$ $$\qquad$$ $$\qquad$$ $$\quad$$ $${\color{red}{u'\left(x\right)=1}}$$
$${\color{purple}{v'\left(x\right)=\mathrm{cos} \left(x\right)}}$$ $$\qquad$$ on détermine $$v$$ $$\blue{\text{une primitive}}$$ de $$v'$$ $$\qquad$$ $$\qquad$$ $${\color{green}{v\left(x\right)=\mathrm{sin} \left(x\right)}}$$
Les fonctions $$\color{blue}{u}$$ et $$\color{green}{v}$$ sont dérivables sur $$I$$ et les fonctions $$\color{red}{u'}$$ et $$\color{purple}{v'}$$ sont continues sur $$I$$. Autrement dit, les fonctions $$u$$ et $$v$$ sont de classe $$C^1$$ sur $$I=\left[0;\pi\right]$$ .
D'après la formule d'intégrations par parties :
$$D=\int _{0}^{\pi}{\color{blue}{x}}{\color{purple}\times{\mathrm{cos} \left(x\right)}} dx$$
$$D=\left[{\color{blue}{x}}\times{\color{green}{\mathrm{sin} \left(x\right)}} \right]_{0}^{1} -\int _{0}^{1}{\color{red}{1}}\times{\color{green}{\mathrm{sin} \left(x\right)}} dx$$
$$D={\left[x{\mathrm{sin} \left(x\right)\ }\right]}^{\pi }_0-\int^{\pi }_0{{\mathrm{sin} \left(x\right)\ }dx}$$
$$D={\left[x{\mathrm{sin} \left(x\right)\ }\right]}^{\pi }_0-{\left[-{\mathrm{cos} \left(x\right)\ }\right]}^{\pi }_0$$
$$D=\pi \times {\mathrm{sin} \left(\pi \right)\ }-0{\mathrm{\times }\mathrm{sin} \left(0\right)\ }-\left(-{\mathrm{cos} \left(\pi \right)\ }-\left(-{\mathrm{cos} \left(0\right)\ }\right)\right)$$
$$D=0-0-\left(-\left(-1\right)-\left(-1\right)\right)$$
$$D=0-0-\left(1+1\right)$$
Ainsi :

Pour tout réel $$t$$ de $$I=\left[1;2\right]$$, on pose :
$${\color{blue}{u\left(t\right)=\mathrm{ln} \left(2+\frac{1}{t}\right) }}$$ $$\qquad$$ on détermine $$u'$$ $$\blue{\text{la dérivée}}$$ de $$u$$ $$\qquad$$ $$\qquad$$ $$\quad$$ $${\color{red}{u'\left(t\right)=\frac{\frac{-1}{t^2}}{2+\frac{1}{t}}=\frac{\frac{-1}{t^2}}{\frac{2t}{t}+\frac{1}{t}}=\frac{\frac{-1}{t^2}}{\frac{2t+1}{t}}=-\frac{1}{t^2}\times \frac{t}{2t+1}=\frac{-1}{t\left(2t+1\right)}}}$$
$${\color{purple}{v'\left(t\right)=1}}$$ $$\qquad$$ on détermine $$v$$ $$\blue{\text{une primitive}}$$ de $$v'$$ $$\qquad$$ $$\qquad$$ $${\color{green}{v\left(t\right)=t}}$$
Les fonctions $$\color{blue}{u}$$ et $$\color{green}{v}$$ sont dérivables sur $$I$$ et les fonctions $$\color{red}{u'}$$ et $$\color{purple}{v'}$$ sont continues sur $$I$$. Autrement dit, les fonctions $$u$$ et $$v$$ sont de classe $$C^1$$ sur $$I=\left[1;2\right]$$ .
D'après la formule d'intégrations par parties :
$$E=\int _{1}^{2}{\color{blue}{\mathrm{ln} \left(2+\frac{1}{t}\right) }}{\color{purple}\times{1}} dt$$
$$E=\left[{\color{blue}{\mathrm{ln} \left(2+\frac{1}{t}\right) }}\times{\color{green}{t}} \right]_{1}^{2} -\int _{1}^{2}{\color{green}{t}}\times{\color{red}{\frac{-1}{t\left(2t+1\right)}}} dt$$
$$E={\left[t{\mathrm{ln} \left(2+\frac{1}{t}\right)\ }\right]}^2_1-\int^2_1{\frac{-1}{2t+1}dt}$$
$$E={\left[t{\mathrm{ln} \left(2+\frac{1}{t}\right)\ }\right]}^2_1+\int^2_1{\frac{1}{2t+1}dt}$$
$$E={\left[t{\mathrm{ln} \left(2+\frac{1}{t}\right)\ }\right]}^2_1+\frac{1}{2}\int^2_1{\frac{2}{2t+1}dt}$$
$$E={\left[t{\mathrm{ln} \left(2+\frac{1}{t}\right)\ }\right]}^2_1+\frac{1}{2}{\left[{\mathrm{ln} \left(2t+1\right)\ }\right]}^2_1$$
$$E=2{\mathrm{ln} \left(2+\frac{1}{2}\right)\ }-1{\mathrm{ln} \left(2+\frac{1}{1}\right)\ }+\frac{1}{2}\left({\mathrm{ln} \left(2\times 2+1\right)\ }-{\mathrm{ln} \left(2\times 1+1\right)\ }\right)$$
$$E=2{\mathrm{ln} \left(\frac{5}{2}\right)\ }-1{\mathrm{ln} \left(3\right)\ }+\frac{1}{2}\left({\mathrm{ln} \left(5\right)\ }-{\mathrm{ln} \left(3\right)\ }\right)$$
$$E=2{\mathrm{ln} \left(\frac{5}{2}\right)\ }-{\mathrm{ln} \left(3\right)\ }+\frac{1}{2}{\mathrm{ln} \left(5\right)\ }-\frac{1}{2}{\mathrm{ln} \left(3\right)\ }$$
$$E=2{\mathrm{ln} \left(5\right)\ }-2{\mathrm{ln} \left(2\right)\ }-{\mathrm{ln} \left(3\right)\ }+\frac{1}{2}{\mathrm{ln} \left(5\right)\ }-\frac{1}{2}{\mathrm{ln} \left(3\right)\ }$$
Ainsi :