Intégrales à savoir faire impérativement - Exercice 1

$$A=\int^{\frac{\pi }{4}}_0{{\mathrm{tan}^2 \left(x\right)\ }}dx$$
$$A=\int^{\frac{\pi }{4}}_0{\frac{{\mathrm{sin}^2 \left(x\right)\ }}{{\mathrm{cos}^2 \left(x\right)\ }}}dx$$
$$A=\int^{\frac{\pi }{4}}_0{\frac{1-{\mathrm{cos}^2 \left(x\right)\ }}{{\mathrm{cos}^2 \left(x\right)\ }}}dx$$
$$A=\int^{\frac{\pi }{4}}_0{\frac{1}{{\mathrm{cos}^2 \left(x\right)\ }}-\frac{{\mathrm{cos}^2 \left(x\right)\ }}{{\mathrm{cos}^2 \left(x\right)\ }}}dx$$
$$A=\int^{\frac{\pi }{4}}_0{\frac{1}{{\mathrm{cos}^2 \left(x\right)\ }}-1}dx$$
$$A={\left[{\mathrm{tan} \left(x\right)\ }-x\right]}^{\frac{\pi }{4}}_0$$
$$A={\mathrm{tan} \left(\frac{\pi }{4}\right)\ }-\frac{\pi }{4}-\left({\mathrm{tan} \left(0\right)\ }-0\right)$$
Ainsi :

Dans un premier temps, il faut écrire la fonction $$x \mapsto \left|x^2-3x+2\right|$$ sans valeur absolue.
Pour cela nous savons que :
$$\Delta >0$$ ; $$x_1=1$$ et $$x_2=2$$ .
Si $$x\in \left[1;2\right]$$ alors $$x^2-3x+2 \le 0$$ . Ainsi si $$x\in \left[1;2\right]$$ alors $$\left|x^2-3x+2\right|=-\left(x^2-3x+2\right)$$ .
Si $$x\in \left[0;1\right] \cup \left[2;3\right]$$ alors $$x^2-3x+2 \le 0$$ . Ainsi si $$x\in \left[0;1\right] \cup \left[2;3\right]$$ alors $$\left|x^2-3x+2\right|=x^2-3x+2$$ .
Il en résulte donc que :
$$\int^3_0{\left|x^2-3x+2\right|dx}=\int^1_0{\left(x^2-3x+2\right)dx}+\int^2_1{-\left(x^2-3x+2\right)dx}+\int^3_2{\left(x^2-3x+2\right)dx}$$
$$\int^3_0{\left|x^2-3x+2\right|dx}=\int^1_0{\left(x^2-3x+2\right)dx}+\int^2_1{\left(-x^2+3x-2\right)dx}+\int^3_2{\left(x^2-3x+2\right)dx}$$
$$\int^3_0{\left|x^2-3x+2\right|dx}={\left[\frac{1}{3}x^3-\frac{3}{2}x^2+2x\right]}^1_0+{\left[-\frac{1}{3}x^3+\frac{3}{2}x^2-2x\right]}^2_1+{\left[\frac{1}{3}x^3-\frac{3}{2}x^2+2x\right]}^3_2$$
$$\int^3_0{\left|x^2-3x+2\right|dx}=\frac{1}{3}\times 1^3-\frac{3}{2}\times 1^2+2\times 1-\left(\frac{1}{3}\times 0^3-\frac{3}{2}\times 0^2+2\times 0\right)-\frac{1}{3}\times 2^3+\frac{3}{2}\times 2^2-2\times 2-\left(-\frac{1}{3}\times 1^3+\frac{3}{2}\times 1^2-2\times 1\right)+\frac{1}{3}\times 3^3-\frac{3}{2}\times 3^2+2\times 3-\left(\frac{1}{3}\times 2^3-\frac{3}{2}\times 2^2+2\times 2\right)$$
$$\int^3_0{\left|x^2-3x+2\right|dx}=\frac{5}{6}-0-\frac{2}{3}-\left(-\frac{5}{6}\right)+\frac{3}{2}-\frac{2}{3}$$
$$\int^3_0{\left|x^2-3x+2\right|dx}=\frac{5}{6}-0-\frac{2}{3}+\frac{5}{6}+\frac{3}{2}-\frac{2}{3}$$
Ainsi :

$$C=\int^3_1{{\mathrm{ln} \left(x^2\right)\ }}dt$$
$$C=\int^3_1{2{\mathrm{ln} \left(x\right)\ }}dt$$
$$C=2\int^3_1{{\mathrm{ln} \left(x\right)\ }}dt$$
On reconnait une intégration par parties.
$$C=2\int^3_1{1\times {\mathrm{ln} \left(x\right)\ }dx}$$ que l'on peut écrire également :
Pour tout réel $$x$$ de $$I=\left[1;3\right]$$, on pose :
$${\color{blue}{u\left(x\right)={\mathrm{ln} \left(x\right)\ }}}$$ $$\qquad$$ on détermine $$u'$$ $$\blue{\text{la dérivée}}$$ de $$u$$ $$\qquad$$ $$\qquad$$ $$\quad$$ $${\color{red}{u'\left(x\right)=\frac{1}{x}}}$$
$${\color{purple}{v'\left(x\right)=1}}$$ $$\qquad$$ on détermine $$v$$ $$\blue{\text{une primitive}}$$ de $$v'$$ $$\qquad$$ $$\qquad$$ $${\color{green}{v\left(x\right)=x}}$$
Les fonctions $$\color{blue}{u}$$ et $$\color{green}{v}$$ sont dérivables sur $$I$$ et les fonctions $$\color{red}{u'}$$ et $$\color{purple}{v'}$$ sont continues sur $$I$$. Autrement dit, les fonctions $$u$$ et $$v$$ sont de classe $$C^1$$ sur $$I=\left[1;3\right]$$ .
D'après la formule d'intégrations par parties :
$$C=2\int _{1}^{3}{\color{blue}{{\mathrm{ln} \left(x\right)\ }}}\times{\color{purple}{1}} dx$$
$$C=2\left[{\color{blue}{{\mathrm{ln} \left(x\right)\ }}}\times {\color{green}{x}} \right]_{1}^{3} -2\int _{1}^{3}{\color{red}{\frac{1}{x}}}\times{\color{green}{x}}dx$$
$$C=2{\left[x{\mathrm{ln} \left(x\right)\ }\right]}^3_1-2\int^3_1{\frac{x}{x}dx}$$
$$C=2{\left[x{\mathrm{ln} \left(x\right)\ }\right]}^3_1-2\int^3_1{1dx}$$
$$C=2{\left[x{\mathrm{ln} \left(x\right)\ }\right]}^3_1-2{\left[x\right]}^3_1$$
$$C=2\times \left[3{\mathrm{ln} \left(3\right)\ }-{\mathrm{ln} \left(1\right)\ }\right]-2\times \left[3-1\right]$$
Ainsi :

$$D=\int^{\pi }_0{\left(\sum^n_{k=1}{{\mathrm{cos} \left(kx\right)\ }}\right)dx}$$
Par linéarité de l'intégrale, il vient alors que :
$$D=\sum^n_{k=1}{\left(\int^{\pi }_0{{\mathrm{cos} \left(kx\right)\ }}dx\right)}$$
$$D=\sum^n_{k=1}{{\left[{\frac{1}{k}\mathrm{sin} \left(kx\right)\ }\right]}^{\pi }_0}$$
$$D=\sum^n_{k=1}{\left({\frac{1}{k}\mathrm{sin} \left(k\times \pi \right)\ }-{\frac{1}{k}\mathrm{sin} \left(k\times 0\right)\ }\right)}$$
$$D=\sum^n_{k=1}{\left({\frac{1}{k}\mathrm{sin} \left(k\pi \right)\ }-{\frac{1}{k}\mathrm{sin} \left(0\right)\ }\right)}$$
$$D=\sum^n_{k=1}{\left({\frac{1}{k}\mathrm{sin} \left(k\pi \right)\ }\right)}$$
$$\forall k\in \left[\left[1,n\right]\right]$$, on vérifie facilement que $${\mathrm{sin} \left(k\pi \right)=0\ }$$ .
Ainsi

$$E=\int^3_{-2}{3x\left|x\right|}dx$$
$$E=3\int^3_{-2}{x\left|x\right|}dx$$
$$E=3\int^0_{-2}{x\left|x\right|}dx+3\int^3_0{x\left|x\right|}dx$$
$$E=3\int^0_{-2}{x\times \left(-x\right)}dx+3\int^3_0{x\times x}dx$$
$$E=-3\int^0_{-2}{x^2}dx+3\int^3_0{x^2}dx$$
$$E=-3{\left[\frac{1}{3}x^3\right]}^0_{-2}+3{\left[\frac{1}{3}x^3\right]}^3_0$$
$$E=-3\left(\frac{1}{3}\times 0^3-\frac{1}{3}\times {\left(-2\right)}^3\right)+3\left(\frac{1}{3}\times 3^3-\frac{1}{3}\times 0^3\right)$$
Ainsi :