Primitives

Intégrales à savoir faire impérativement - Exercice 1

10 min
25
Question 1

Calculer A=∫0π4tan2(x) dxA=\int^{\frac{\pi }{4}}_0{{\mathrm{tan}^2 \left(x\right)\ }}dx

Correction
A=∫0π4tan2(x) dxA=\int^{\frac{\pi }{4}}_0{{\mathrm{tan}^2 \left(x\right)\ }}dx
A=∫0π4sin2(x) cos2(x) dxA=\int^{\frac{\pi }{4}}_0{\frac{{\mathrm{sin}^2 \left(x\right)\ }}{{\mathrm{cos}^2 \left(x\right)\ }}}dx
A=∫0π41−cos2(x) cos2(x) dxA=\int^{\frac{\pi }{4}}_0{\frac{1-{\mathrm{cos}^2 \left(x\right)\ }}{{\mathrm{cos}^2 \left(x\right)\ }}}dx
A=∫0π41cos2(x) −cos2(x) cos2(x) dxA=\int^{\frac{\pi }{4}}_0{\frac{1}{{\mathrm{cos}^2 \left(x\right)\ }}-\frac{{\mathrm{cos}^2 \left(x\right)\ }}{{\mathrm{cos}^2 \left(x\right)\ }}}dx
A=∫0π41cos2(x) −1dxA=\int^{\frac{\pi }{4}}_0{\frac{1}{{\mathrm{cos}^2 \left(x\right)\ }}-1}dx
  • ∫1cos2(x) =tan(x) +C , C∈R\int{\frac{1}{{\mathrm{cos}^2 \left(x\right)\ }}={\mathrm{tan} \left(x\right)\ }+C\ ,\ C\in \mathbb{R}}
A=[tan(x) −x]0π4A={\left[{\mathrm{tan} \left(x\right)\ }-x\right]}^{\frac{\pi }{4}}_0
A=tan(π4) −π4−(tan(0) −0)A={\mathrm{tan} \left(\frac{\pi }{4}\right)\ }-\frac{\pi }{4}-\left({\mathrm{tan} \left(0\right)\ }-0\right)
Ainsi :
A=1−π4A=1-\frac{\pi }{4} u.a

Question 2

B=∫03∣x2−3x+2∣dxB=\int^3_0{\left|x^2-3x+2\right|dx}

Correction
Dans un premier temps, il faut écrire la fonction x↦∣x2−3x+2∣x \mapsto \left|x^2-3x+2\right| sans valeur absolue.
Pour cela nous savons que :
Δ>0\Delta >0 ; x1=1x_1=1 et x2=2x_2=2 .
Si x∈[1;2]x\in \left[1;2\right] alors x2−3x+2≤0x^2-3x+2 \le 0 . Ainsi si x∈[1;2]x\in \left[1;2\right] alors ∣x2−3x+2∣=−(x2−3x+2)\left|x^2-3x+2\right|=-\left(x^2-3x+2\right) .
Si x∈[0;1]∪[2;3]x\in \left[0;1\right] \cup \left[2;3\right] alors x2−3x+2≤0x^2-3x+2 \le 0 . Ainsi si x∈[0;1]∪[2;3]x\in \left[0;1\right] \cup \left[2;3\right] alors ∣x2−3x+2∣=x2−3x+2\left|x^2-3x+2\right|=x^2-3x+2 .
Il en résulte donc que :
∫03∣x2−3x+2∣dx=∫01(x2−3x+2)dx+∫12−(x2−3x+2)dx+∫23(x2−3x+2)dx\int^3_0{\left|x^2-3x+2\right|dx}=\int^1_0{\left(x^2-3x+2\right)dx}+\int^2_1{-\left(x^2-3x+2\right)dx}+\int^3_2{\left(x^2-3x+2\right)dx}
∫03∣x2−3x+2∣dx=∫01(x2−3x+2)dx+∫12(−x2+3x−2)dx+∫23(x2−3x+2)dx\int^3_0{\left|x^2-3x+2\right|dx}=\int^1_0{\left(x^2-3x+2\right)dx}+\int^2_1{\left(-x^2+3x-2\right)dx}+\int^3_2{\left(x^2-3x+2\right)dx}
∫03∣x2−3x+2∣dx=[13x3−32x2+2x]01+[−13x3+32x2−2x]12+[13x3−32x2+2x]23\int^3_0{\left|x^2-3x+2\right|dx}={\left[\frac{1}{3}x^3-\frac{3}{2}x^2+2x\right]}^1_0+{\left[-\frac{1}{3}x^3+\frac{3}{2}x^2-2x\right]}^2_1+{\left[\frac{1}{3}x^3-\frac{3}{2}x^2+2x\right]}^3_2
∫03∣x2−3x+2∣dx=13×13−32×12+2×1−(13×03−32×02+2×0)−13×23+32×22−2×2−(−13×13+32×12−2×1)+13×33−32×32+2×3−(13×23−32×22+2×2)\int^3_0{\left|x^2-3x+2\right|dx}=\frac{1}{3}\times 1^3-\frac{3}{2}\times 1^2+2\times 1-\left(\frac{1}{3}\times 0^3-\frac{3}{2}\times 0^2+2\times 0\right)-\frac{1}{3}\times 2^3+\frac{3}{2}\times 2^2-2\times 2-\left(-\frac{1}{3}\times 1^3+\frac{3}{2}\times 1^2-2\times 1\right)+\frac{1}{3}\times 3^3-\frac{3}{2}\times 3^2+2\times 3-\left(\frac{1}{3}\times 2^3-\frac{3}{2}\times 2^2+2\times 2\right)
∫03∣x2−3x+2∣dx=56−0−23−(−56)+32−23\int^3_0{\left|x^2-3x+2\right|dx}=\frac{5}{6}-0-\frac{2}{3}-\left(-\frac{5}{6}\right)+\frac{3}{2}-\frac{2}{3}
∫03∣x2−3x+2∣dx=56−0−23+56+32−23\int^3_0{\left|x^2-3x+2\right|dx}=\frac{5}{6}-0-\frac{2}{3}+\frac{5}{6}+\frac{3}{2}-\frac{2}{3}
Ainsi :
∫03∣x2−3x+2∣dx=116\int^3_0{\left|x^2-3x+2\right|dx}=\frac{11}{6} u.a

Question 3

C=∫13ln(x2) dxC=\int^3_1{{\mathrm{ln} \left(x^2\right)\ }}dx

Correction
C=∫13ln(x2) dtC=\int^3_1{{\mathrm{ln} \left(x^2\right)\ }}dt
    Soit aa un réel strictement positif et nn un entier naturel non nul.
  • ln⁡(an)=nln⁡(a)\ln \left(a^{n} \right)=n\ln \left(a\right)
C=∫132ln(x) dtC=\int^3_1{2{\mathrm{ln} \left(x\right)\ }}dt
C=2∫13ln(x) dtC=2\int^3_1{{\mathrm{ln} \left(x\right)\ }}dt
On reconnait une intégration par parties.
C=2∫131×ln(x) dxC=2\int^3_1{1\times {\mathrm{ln} \left(x\right)\ }dx} que l'on peut écrire également :
    Formule d’inteˊgration par parties\red{\text{Formule d'intégration par parties}}
u\color{blue}{u} et v\color{green}{v} sont deux fonctions dérivables sur un intervalle II dont leurs dérivées u′\color{red}{u'} et v′\color{purple}{v'} sont continues sur II.
Pour tous réels aa et bb de II, nous avons alors :
∫abu(x)v′(x)dx=[u(x)v(x)]ab−∫abu′(x)v(x)dx\int _{a}^{b}{\color{blue}{u\left(x\right)}}{\color{purple}{v'\left(x\right)}}dx =\left[{\color{blue}{u\left(x\right)}}{\color{green}{v\left(x\right)}}\right]_{a}^{b} -\int _{a}^{b}{\color{red}{u'\left(x\right)}}{\color{green}{v\left(x\right)}}dx
Pour tout réel xx de I=[1;3]I=\left[1;3\right], on pose :
u(x)=ln(x) {\color{blue}{u\left(x\right)={\mathrm{ln} \left(x\right)\ }}} \qquad on détermine u′u' la deˊriveˊe\blue{\text{la dérivée}} de uu \qquad \qquad \quad u′(x)=1x{\color{red}{u'\left(x\right)=\frac{1}{x}}}
v′(x)=1{\color{purple}{v'\left(x\right)=1}} \qquad on détermine vv une primitive\blue{\text{une primitive}} de v′v' \qquad \qquad v(x)=x{\color{green}{v\left(x\right)=x}}
Les fonctions u\color{blue}{u} et v\color{green}{v} sont dérivables sur II et les fonctions u′\color{red}{u'} et v′\color{purple}{v'} sont continues sur II. Autrement dit, les fonctions uu et vv sont de classe C1C^1 sur I=[1;3]I=\left[1;3\right] .
D'après la formule d'intégrations par parties :
C=2∫13ln(x) ×1dxC=2\int _{1}^{3}{\color{blue}{{\mathrm{ln} \left(x\right)\ }}}\times{\color{purple}{1}} dx
C=2[ln(x) ×x]13−2∫131x×xdxC=2\left[{\color{blue}{{\mathrm{ln} \left(x\right)\ }}}\times {\color{green}{x}} \right]_{1}^{3} -2\int _{1}^{3}{\color{red}{\frac{1}{x}}}\times{\color{green}{x}}dx
C=2[xln(x) ]13−2∫13xxdxC=2{\left[x{\mathrm{ln} \left(x\right)\ }\right]}^3_1-2\int^3_1{\frac{x}{x}dx}
C=2[xln(x) ]13−2∫131dxC=2{\left[x{\mathrm{ln} \left(x\right)\ }\right]}^3_1-2\int^3_1{1dx}
C=2[xln(x) ]13−2[x]13C=2{\left[x{\mathrm{ln} \left(x\right)\ }\right]}^3_1-2{\left[x\right]}^3_1
C=2×[3ln(3) −ln(1) ]−2×[3−1]C=2\times \left[3{\mathrm{ln} \left(3\right)\ }-{\mathrm{ln} \left(1\right)\ }\right]-2\times \left[3-1\right]
Ainsi :
C=6ln(3) −4C=6{\mathrm{ln} \left(3\right)\ }-4 u.a

Question 4

D=∫0π(∑k=1ncos(kx) )dxD=\int^{\pi }_0{\left(\sum^n_{k=1}{{\mathrm{cos} \left(kx\right)\ }}\right)dx}

Correction
D=∫0π(∑k=1ncos(kx) )dxD=\int^{\pi }_0{\left(\sum^n_{k=1}{{\mathrm{cos} \left(kx\right)\ }}\right)dx}
Par linéarité de l'intégrale, il vient alors que :
D=∑k=1n(∫0πcos(kx) dx)D=\sum^n_{k=1}{\left(\int^{\pi }_0{{\mathrm{cos} \left(kx\right)\ }}dx\right)}
D=∑k=1n[1ksin(kx) ]0πD=\sum^n_{k=1}{{\left[{\frac{1}{k}\mathrm{sin} \left(kx\right)\ }\right]}^{\pi }_0}
D=∑k=1n(1ksin(k×π) −1ksin(k×0) )D=\sum^n_{k=1}{\left({\frac{1}{k}\mathrm{sin} \left(k\times \pi \right)\ }-{\frac{1}{k}\mathrm{sin} \left(k\times 0\right)\ }\right)}
D=∑k=1n(1ksin(kπ) −1ksin(0) )D=\sum^n_{k=1}{\left({\frac{1}{k}\mathrm{sin} \left(k\pi \right)\ }-{\frac{1}{k}\mathrm{sin} \left(0\right)\ }\right)}
D=∑k=1n(1ksin(kπ) )D=\sum^n_{k=1}{\left({\frac{1}{k}\mathrm{sin} \left(k\pi \right)\ }\right)}
∀k∈[[1,n]]\forall k\in \left[\left[1,n\right]\right], on vérifie facilement que sin(kπ)=0 {\mathrm{sin} \left(k\pi \right)=0\ } .
Ainsi
D=0D=0 u.a

Question 5

E=∫−233x∣x∣dxE=\int^3_{-2}{3x\left|x\right|}dx

Correction
E=∫−233x∣x∣dxE=\int^3_{-2}{3x\left|x\right|}dx
E=3∫−23x∣x∣dxE=3\int^3_{-2}{x\left|x\right|}dx
E=3∫−20x∣x∣dx+3∫03x∣x∣dxE=3\int^0_{-2}{x\left|x\right|}dx+3\int^3_0{x\left|x\right|}dx
E=3∫−20x×(−x)dx+3∫03x×xdxE=3\int^0_{-2}{x\times \left(-x\right)}dx+3\int^3_0{x\times x}dx
E=−3∫−20x2dx+3∫03x2dxE=-3\int^0_{-2}{x^2}dx+3\int^3_0{x^2}dx
E=−3[13x3]−20+3[13x3]03E=-3{\left[\frac{1}{3}x^3\right]}^0_{-2}+3{\left[\frac{1}{3}x^3\right]}^3_0
E=−3(13×03−13×(−2)3)+3(13×33−13×03)E=-3\left(\frac{1}{3}\times 0^3-\frac{1}{3}\times {\left(-2\right)}^3\right)+3\left(\frac{1}{3}\times 3^3-\frac{1}{3}\times 0^3\right)
Ainsi :
E=19E=19 u.a