Encore un peu de trigonométrie - Exercice 1

On cherche l'intégrale suivante :
$$I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \dfrac{\cos(x)}{6 - 5 \sin(x) + \sin^2(x)} \, dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \dfrac{1}{6 - 5 \sin(x) + \sin^2(x)} \, \cos(x) \, dx$$
La présence du terme $$\cos(x) \, dx$$ qui est égale à $$d \sin(x)$$ invite au changement de variable $$u = \sin(x)$$.
Il est également possible de faire usage d'une des règles de $$Bioche$$. En effet, remplaçons $$x$$ par $$\pi - x$$ dans l'expression $$\dfrac{\cos(x)}{6 - 5 \sin(x) + \sin^2(x)} \, dx$$, pour obtenir $$\dfrac{\cos(\pi - x)}{6 - 5 \sin(\pi - x) + \sin^2(\pi - x)} \, d(\pi - x)$$.
Or, on sait que $$\cos(\pi - x) = - \cos(x)$$ et que $$\sin(\pi - x) = \sin(x)$$. De plus, on a :
$$\dfrac{d(\pi - x)}{dx} = \dfrac{d\pi}{dx} - \dfrac{dx}{dx} = 0 - 1 = -1 \,\,\, \Longrightarrow \,\,\, d(\pi - x) = - dx$$
De fait :
$$\dfrac{\cos(\pi - x)}{6 - 5 \sin(\pi - x) + \sin^2(\pi - x)} \, d(\pi - x) = \dfrac{-\cos(x)}{6 - 5 \sin(x) + \sin^2(x)} \, \big(-dx \big) = \dfrac{\cos(x)}{6 - 5 \sin(x) + \sin^2(x)} \, dx$$
Ce qui nous permet de poser $$u = \sin(x)$$.
Ainsi, lorsque $$x = 0$$ on a $$u = \sin(0) = 0$$ et lorsque $$x = \dfrac{\pi}{2}$$ on a $$u = \sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 1$$. Donc, on a :
$$I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \dfrac{\cos(x)}{6 - 5 \sin(x) + \sin^2(x)} \, dx = \int_0^1 \dfrac{1}{6 - 5 u + u^2} \, du$$
L'équation $$6 - 5 u + u^2 = 0$$ admet deux solutions réelles distinctes. En effet, le discriminant associé est $$\Delta = (-5)^2 - 4 \times1 \times 6 = 25 - 24 = 1 > 0$$, et les solutions recherchées sont $$u = \dfrac{-(-5) \pm \sqrt{1}}{2\times 1} = \dfrac{5 \pm 1}{2}$$, à savoir $$u = 2$$ et $$u=3$$. Donc $$6 - 5 u + u^2 = (u-2)(u-3)$$, et on a :
$$I = \int_0^1 \dfrac{1}{(u-2)(u-3)} \, du$$
La décomposition en éléments simples nous permet d'obtenir :
$$\dfrac{1}{(u-2)(u-3)} = \dfrac{1}{u-3} - \dfrac{1}{u-2}$$
D'où :
$$I = \int_0^1 \left( \dfrac{1}{u-3} - \dfrac{1}{u-2} \right) \, du = \int_0^1 \dfrac{1}{u-3} \, du - \int_0^1 \dfrac{1}{u-2} \, du$$
Soit :
$$I = \left[ \ln \left( | u - 3| \right) \right]_0^1 - \left[ \ln \left( | u - 2| \right) \right]_0^1$$
Ce qui nous donne :
$$I = \ln \left( | 1 - 3| \right) - \ln \left( | 0 - 3| \right) - \ln \left( | 1 - 2| \right) + \ln \left( | 0 - 2| \right) = \ln \left( | -2| \right) - \ln \left( | -3| \right) - \ln \left( | -1| \right) + \ln \left( | - 2| \right)$$
Soit encore :
$$I = \ln \left( 2 \right) - \ln \left( 3 \right) - \ln \left( 1 \right) + \ln \left( 2 \right)$$
Comme $$\ln \left( 1 \right) = 0$$ on aboutit à :
$$I = 2\ln \left( 2 \right) - \ln \left( 3 \right) = \ln \left( 2^2 \right) - \ln \left( 3 \right) = \ln \left( 4 \right) - \ln \left( 3 \right) = \ln \left( \dfrac{4}{3} \right)$$
Finalement :
$$I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \dfrac{\cos(x)}{6 - 5 \sin(x) + \sin^2(x)} \, dx = \ln \left( \dfrac{4}{3} \right) \,\, u.a. \simeq 0,29 \,\, u.a.$$
Graphiquement, on obtient :