Dérivée d'une fonction intégrale - Exercice 1

Soit $$a$$ un nombre réel fixé. D'après la relation de $$Chasles$$, on a :
$$G(x) = \int_{u_1(x)}^{u_2(x)} f(t) \, dt = \int_{u_1(x)}^{a} f(t) \, dt + \int_{a}^{u_2(x)} f(t) \, dt$$
Soit :
$$G(x) = \int_{u_1(x)}^{u_2(x)} f(t) \, dt = - \int_{a}^{u_1(x)} f(t) \, dt + \int_{a}^{u_2(x)} f(t) \, dt$$
Soit encore :
$$G(x) = \int_{u_1(x)}^{u_2(x)} f(t) \, dt = \int_{a}^{u_2(x)} f(t) \, dt - \int_{a}^{u_1(x)} f(t) \, dt$$
L'intégrale $$\int_{a}^{u_2(x)} f(t) \, dt$$ est la composée de la fonction $$i : u \longrightarrow \int_{a}^{u} f(t) \, dt$$ (qui est une primitive de $$f$$ donc est dérivable telle que $$i'=f$$) avec la fonction $$b : x \longrightarrow u_2(x)$$. Donc :
$$\int_{a}^{u_2(x)} f(t) \, dt = (i \circ b)(x) = i\big( b(x) \big)$$
En notant $$c : x \longrightarrow u_1(x)$$, on a :
$$G(x) = \int_{u_1(x)}^{u_2(x)} f(t) \, dt = \int_{a}^{u_2(x)} f(t) \, dt - \int_{a}^{u_1(x)} f(t) \, dt = (i \circ b)(x) - (i \circ c)(x)$$
Ainsi, la fonction $$G$$ est dérivable car elle s'exprime comme composée de fonctions dérivables. Dès lors, en appliquant la formule de dérivation de la composée de fonction, on trouvera l'expression de $$G'$$.

On a :
$$G(x) = \int_{u_1(x)}^{u_2(x)} f(t) \, dt = \int_{a}^{u_2(x)} f(t) \, dt - \int_{a}^{u_1(x)} f(t) \, dt = (i \circ b)(x) - (i \circ c)(x)$$
Ainsi, la fonction $$G$$ est dérivable car elle s'exprime comme composée de fonctions dérivables. En appliquant la formule de dérivation de la composée de fonction, on trouve qu :
$$G'(x) = \big( (i \circ b)(x) - (i \circ c)(x) \big)' = (i \circ b)'(x) - (i \circ c)'(x) = i'\big( b(x) \big) \times b'(x) - i'\big( c(x) \big) \times c'(x)$$
Soit :
$$G'(x) = i'\big( u_2(x) \big) \times u'_2(x) - i'\big( u_1(x) \big) \times u'_1(x)$$
Mais comme $$i' = f$$ on obtient :
$$G'(x) = f\big( u_2(x) \big) \times u'_2(x) - f\big( u_1(x) \big) \times u'_1(x)$$
Finalement, on obtient :
$$\left( \int_{u_1(x)}^{u_2(x)} f(t) \, dt \right)' = f\big( u_2(x) \big) \times u'_2(x) - f\big( u_1(x) \big) \times u'_1(x)$$