Cours sur les primitives de fonctions rationnelles

On décompose la fraction rationnelle en éléments simples dans $$\mathbb{R}[X]$$.
Toute fraction rationnelle se décompose en la somme :
$$\,\,\,\, - \,\,$$ de sa partie entière (polynôme dont on connait les primitives),
$$\,\,\,\, - \,\,$$ et de fractions de la forme :
$$\dfrac{\mathcal{A}}{(x-\alpha)^n} \,\,\,\,\,$$ et $$\,\,\,\,\, \dfrac{ax+b}{(x^2 + px + q)^n} \,\,\,\,\,(\mathrm{avec} : \, p^2-4q < 0)$$
Et on peut calculer les primitives de ces termes comme suit :
$$\star \,\, \int \dfrac{\mathcal{A}}{(x-\alpha)^n} \, dx = -\dfrac{\mathcal{A}}{n-1} \dfrac{1}{(x-\alpha)^{n-1}} + C \,\,\,\,\, (C \in \mathbb{R} \,\, \mathrm{et} \,\, n \neq 1)$$
$$\star \,\, \int \dfrac{\mathcal{A}}{(x-\alpha)^n} \, dx = \ln \left( \left| x - \alpha \right| \right) + C \,\,\,\,\, (C \in \mathbb{R} \,\, \mathrm{et} \,\, n = 1)$$
$$\star \star \,\, \int \dfrac{ax+b}{(x^2 + px + q)^n} \, dx = \dfrac{a}{2} \int \dfrac{2x+p}{(x^2 + px + q)^n} \, dx + \left( b - \dfrac{ap}{2} \right) \int \dfrac{1}{(x^2 + px + q)^n} \, dx$$
La primitive $$\int \dfrac{2x+p}{(x^2 + px + q)^n} \, dx$$ se calcule en utilisant le changement de variable $$u = x^2 + px + q$$.
La primitive $$\int \dfrac{1}{(x^2 + px + q)^n} \, d$$ se calcule en écrivant le trinôme $$x^2 + px + q$$ sous sa forme canonique, puis après un changement de variable, on se ramène à une expression du type $$\mathcal{I}_n = \int \dfrac{1}{(t+1)^n} \, dt$$. Puis, il faut effectuer une intégration par parties de $$\mathcal{I}_{n-1}$$ afin d'établir une relation (de récurrence) entre $$\mathcal{I}_{n-1}$$ et $$\mathcal{I}_{n}$$. Enfin, il reste à déterminer, de proche en proche, la primitive recherchée $$\mathcal{I}_{n}$$ à partir de $$\mathcal{I}_{1} = \arctan(t) + C$$ avec $$C \in \mathbb{R}$$.

Méthode : On veut déterminer $$\int f(x) \, dx$$ où $$f$$ est une fonction rationnelle en $$\sin(x)$$ et $$\cos(x)$$. Dans le cas où :
$$\star \,\,$$ le terme $$f(x) \, dx$$ est invariant lors du changement de $$x$$ en $$-x$$ alors on pose $$u = \cos(x)$$ ;
$$\star \star \,\,$$ le terme $$f(x) \, dx$$ est invariant lors du changement de $$x$$ en $$\pi - x$$ alors on pose $$u = \sin(x)$$ ;
$$\star \star \star \,\,$$ le terme $$f(x) \, dx$$ est invariant lors du changement de $$x$$ en $$\pi + x$$ alors on pose $$u = \tan(x)$$.
Sinon, il est toujours possible de poser $$u = \tan \left( \dfrac{x}{2} \right)$$. Dans ce cas, on a $$x = 2\arctan(u)$$, et de fait :
$$\dfrac{dx}{du} = \dfrac{d}{du}\left( 2\arctan(u) \right) = 2\dfrac{d}{du}\left( \arctan(u) \right) = 2 \times \dfrac{1}{1+u^2} \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, dx = \dfrac{1}{1+u^2} \, du$$
Les règles précédentes sont connues sous le nom de $${\color{red}{\bf{règle \,\, de \,\, Charles \,\, Bioche \,\,(1859-1949)}}}$$.

Méthode : Les changements de variable $$u = e^x$$ ou $$u = e^{-x}$$ et dans le cas hyperbolique, $$t = \tanh\left( \dfrac{x}{2} \right)$$, conduisent au calcul de primitives de fractions rationnelles. Dans certains cas, des changements de variables $$u = \cosh(x)$$, $$u = \sinh(x)$$ ou $$u = \tanh(x)$$, peuvent-être envisagés.