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Champagne ! - Exercice 1

30 min
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Pour accompagner un somptueux moelleux au chocolat surmonté d'un glace à la myrtille, nappé d'un nectar à la griotte et parsemé de très fines lamelles de gingembre, une seule boisson s'impose : une flûte de Champagne\textit{Champagne} !
Cette flûte est caractérisée par un profil modélisé par la fonction numérique ff explicitée par l'image suivante :
f(x)=ln⁡(1+32x)f(x) = \ln \left( 1 + \dfrac{3}{2} x\right)
Cette flûte contient une hauteur de 6  cm6\,\, cm de ce divin breuvage Marnais. C'est pourquoi, vous travaillerez sur l'intervalle [0 ; 6][0\,;\,6]. En outre, on note par V\mathcal{V} le volume de Champagne\textit{Champagne} qu'elle contient. Sa géométrie est montrée sur la figure suivante :

Question 1
Le volume V\mathcal{V} généré par une courbe représentative d'une fonction ff qui "tournerai" autour de l'axe des abscisses, en ne considérant que la partie située entre l'abscisse aa et l'abscisse bb est donnée par la formule suivante :
V=∫abπ(f(x))2 dx\mathcal{V} = \int_a^b \pi \big( f(x) \big)^2 \, dx
La courbe représentative de la fonction continue f:x∈[0 ; 6]⟼f(x)=ln⁡(1+32x)∈Rf : x \in [0\,;\,6] \longmapsto f(x) = \ln \left( 1 + \dfrac{3}{2} x\right) \in \mathbb{R} est :

Déterminer la valeur exacte, en cm3cm^3 de V\mathcal{V}.

Correction
La valeur exacte, en cm3cm^3 de V\mathcal{V} est donnée par :
V=π∫06f2(x) dx     ⟺     V=π∫06ln⁡2(1+32x) dx\mathcal{V} = \pi \int_{0}^{6} f^2(x) \, dx \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \mathcal{V} = \pi \int_{0}^{6} \ln^2 \left( 1 + \dfrac{3}{2} x\right) \, dx
Que nous allons réécrire comme :
V=π∫061×ln⁡2(1+32x) dx     ⟺     Vπ=∫061×ln⁡2(1+32x) dx\mathcal{V} = \pi \int_{0}^{6} 1 \times \ln^2 \left( 1 + \dfrac{3}{2} x\right) \, dx \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \dfrac{\mathcal{V}}{\pi} = \int_{0}^{6} 1 \times \ln^2 \left( 1 + \dfrac{3}{2} x\right) \, dx
En utilisant la technique de l'intégration par parties, on obtient :
Vπ=[xln⁡2(1+32x)]06−∫06x×2×321+32x×ln⁡(1+32x) dx\dfrac{\mathcal{V}}{\pi} = \left[ x \ln^2 \left( 1 + \dfrac{3}{2} x\right)\right]_{0}^{6} - \int_{0}^{6} x \times 2\times \dfrac{\dfrac{3}{2}}{1+ \dfrac{3}{2}x} \times \ln \left( 1 + \dfrac{3}{2} x \right) \, dx
Soit encore :
Vπ=6ln⁡2(1+32×6)−∫063x1+32xln⁡(1+32x) dx\dfrac{\mathcal{V}}{\pi} = 6 \ln^2 \left( 1 + \dfrac{3}{2} \times 6\right) - \int_{0}^{6} \dfrac{3x}{1+\dfrac{3}{2}x}\ln \left( 1 + \dfrac{3}{2} x\right) \, dx
Ce qui nous donne :
Vπ=6ln⁡2(10)−2∫063x2+3x×ln⁡(1+32x) dx\dfrac{\mathcal{V}}{\pi} = 6 \ln^2 ( 10 ) - 2 \int_{0}^{6} \dfrac{3x}{2+3x} \times \ln \left( 1 + \dfrac{3}{2} x\right) \, dx
Écrivons donc :
V2π=3ln⁡2(10)−∫063x+2−23x+2×ln⁡(1+32x) dx\dfrac{\mathcal{V}}{2\pi} = 3 \ln^2 ( 10 ) - \int_{0}^{6} \dfrac{3x+2-2}{3x+2} \times \ln \left( 1 + \dfrac{3}{2} x\right) \, dx
On obtient alors :
V2π=3ln⁡2(10)−∫06(3x+23x+2−23x+2)×ln⁡(1+32x) dx\dfrac{\mathcal{V}}{2\pi} = 3 \ln^2 ( 10 ) - \int_{0}^{6} \left( \dfrac{3x+2}{3x+2} - \dfrac{2}{3x+2} \right) \times \ln \left( 1 + \dfrac{3}{2} x\right) \, dx
Soit encore :
V2π=3ln⁡2(10)−∫06(1−23x+2)×ln⁡(1+32x) dx\dfrac{\mathcal{V}}{2\pi} = 3 \ln^2 ( 10 ) - \int_{0}^{6} \left( 1 - \dfrac{2}{3x+2} \right) \times \ln \left( 1 + \dfrac{3}{2} x\right) \, dx
Ce qui nous donne :
V2π=3ln⁡2(10)−∫061×ln⁡(1+32x) dx+2∫0613x+2×ln⁡(1+32x) dx\dfrac{\mathcal{V}}{2\pi} = 3 \ln^2 ( 10 ) - \int_{0}^{6} 1 \times \ln \left( 1 + \dfrac{3}{2} x\right) \, dx+ 2 \int_{0}^{6} \dfrac{1}{3x+2} \times \ln \left( 1 + \dfrac{3}{2} x\right) \, dx
D'où :
V2π=3ln⁡2(10)−∫061×ln⁡(1+32x) dx+∫0611+32x×ln⁡(1+32x) dx\dfrac{\mathcal{V}}{2\pi} = 3 \ln^2 ( 10 ) - \int_{0}^{6} 1 \times \ln \left( 1 + \dfrac{3}{2} x\right) \, dx + \int_{0}^{6} \dfrac{1}{1+\dfrac{3}{2}x} \times \ln \left( 1 + \dfrac{3}{2} x\right) \, dx
Qui va encore s'écrire :
V2π=3ln⁡2(10)−∫061×ln⁡(1+32x) dx+23∫06321+32x×ln⁡(1+32x) dx\dfrac{\mathcal{V}}{2\pi} = 3 \ln^2 ( 10 ) - \int_{0}^{6} 1 \times \ln \left( 1 + \dfrac{3}{2} x\right) \, dx + \dfrac{2}{3} \int_{0}^{6} \dfrac{\dfrac{3}{2}}{1+\dfrac{3}{2}x} \times \ln \left( 1 + \dfrac{3}{2} x\right) \, dx
Et encore :
V2π=3ln⁡2(10)−∫061×ln⁡(1+32x) dx+13∫062×321+32x×ln⁡(1+32x) dx\dfrac{\mathcal{V}}{2\pi} = 3 \ln^2 ( 10 ) - \int_{0}^{6} 1 \times \ln \left( 1 + \dfrac{3}{2} x\right) \, dx + \dfrac{1}{3} \int_{0}^{6} 2\times \dfrac{\dfrac{3}{2}}{1+\dfrac{3}{2}x} \times \ln \left( 1 + \dfrac{3}{2} x\right) \, dx
La seconde intégrale s'intègre directement :
V2π=3ln⁡2(10)−∫061×ln⁡(1+32x) dx+13[ln⁡2(1+32x)]06\dfrac{\mathcal{V}}{2\pi} = 3 \ln^2 ( 10 ) - \int_{0}^{6} 1 \times \ln \left( 1 + \dfrac{3}{2} x\right) \, dx + \dfrac{1}{3}\left[ \ln^2 \left( 1 + \dfrac{3}{2} x\right) \right]_{0}^{6}
Comme ln⁡(1)=0\ln(1) =0, on en déduit que :
V2π=3ln⁡2(10)−∫061×ln⁡(1+32x) dx+13ln⁡2(1+32×6)\dfrac{\mathcal{V}}{2\pi} = 3 \ln^2 ( 10 ) - \int_{0}^{6} 1 \times \ln \left( 1 + \dfrac{3}{2} x\right) \, dx + \dfrac{1}{3} \ln^2 \left( 1 + \dfrac{3}{2} \times 6 \right)
Soit encore :
V2π=3ln⁡2(10)−∫061×ln⁡(1+32x) dx+13ln⁡2(10)\dfrac{\mathcal{V}}{2\pi} = 3 \ln^2 ( 10 ) - \int_{0}^{6} 1 \times \ln \left( 1 + \dfrac{3}{2} x\right) \, dx + \dfrac{1}{3} \ln^2 \left( 10 \right)
D'où :
V2π=103ln⁡2(10)−∫061×ln⁡(1+32x) dx\dfrac{\mathcal{V}}{2\pi} = \dfrac{10}{3} \ln^2 ( 10 ) - \int_{0}^{6} 1 \times \ln \left( 1 + \dfrac{3}{2} x\right) \, dx
Puis, en effectuant une nouvelle intégration par parties, on peut écrire que :
V2π=103ln⁡2(10)−[xln⁡(1+32x)]06+∫06x×321+32x dx\dfrac{\mathcal{V}}{2\pi} = \dfrac{10}{3} \ln^2 ( 10 ) - \left[ x \ln \left( 1 + \dfrac{3}{2} x\right) \right]_{0}^{6} + \int_{0}^{6} x \times \dfrac{\dfrac{3}{2}}{1 + \dfrac{3}{2} x} \, dx
Soit :
V2π=103ln⁡2(10)−6ln⁡(1+32×6)+∫06x×3222+32x dx\dfrac{\mathcal{V}}{2\pi} = \dfrac{10}{3} \ln^2 ( 10 ) - 6 \ln \left( 1 + \dfrac{3}{2} \times 6 \right) + \int_{0}^{6} x \times \dfrac{\dfrac{3}{2}}{\dfrac{2}{2}+\dfrac{3}{2} x} \, dx
Qui prend la forme suivante :
V2π=103ln⁡2(10)−6ln⁡(10)+∫063x2+3x dx\dfrac{\mathcal{V}}{2\pi} = \dfrac{10}{3} \ln^2 ( 10 ) - 6 \ln \left( 10 \right) + \int_{0}^{6} \dfrac{3x}{2+3x} \, dx
Donnons lui la forme suivante :
V2π=103ln⁡2(10)−6ln⁡(10)+∫062+3x−22+3x dx\dfrac{\mathcal{V}}{2\pi} =\dfrac{10}{3} \ln^2 ( 10 ) - 6 \ln \left( 10 \right) + \int_{0}^{6} \dfrac{2+3x-2}{2+3x} \, dx
Pour décomposer ainsi :
V2π=103ln⁡2(10)−6ln⁡(10)+∫06(1−22+3x) dx\dfrac{\mathcal{V}}{2\pi} = \dfrac{10}{3} \ln^2 ( 10 ) - 6 \ln \left( 10 \right) + \int_{0}^{6} \left( 1 - \dfrac{2}{2+3x} \right) \, dx
Ce qui nous donne :
V2π=103ln⁡2(10)−6ln⁡(10)+∫061 dx−∫0622+3x dx\dfrac{\mathcal{V}}{2\pi} = \dfrac{10}{3} \ln^2 ( 10 ) - 6 \ln \left( 10 \right) + \int_{0}^{6} 1 \, dx - \int_{0}^{6} \dfrac{2}{2+3x} \, dx
Soit encore :
V2π=103ln⁡2(10)−6ln⁡(10)+[x]06−∫0611+32x dx\dfrac{\mathcal{V}}{2\pi} = \dfrac{10}{3} \ln^2 ( 10 ) - 6 \ln \left( 10 \right) + \left[ x\right] _{0}^{6} - \int_{0}^{6} \dfrac{1}{1+\dfrac{3}{2}x} \, dx
On a donc :
V2π=103ln⁡2(10)−6ln⁡(10)+6−23∫06321+32x dx\dfrac{\mathcal{V}}{2\pi} = \dfrac{10}{3} \ln^2 ( 10 ) - 6 \ln \left( 10 \right) + 6 - \dfrac{2}{3} \int_{0}^{6} \dfrac{\dfrac{3}{2}}{1+\dfrac{3}{2}x} \, dx
D'où :
V2π=103ln⁡2(10)−6ln⁡(10)+6−23[ln⁡(1+32x)]06\dfrac{\mathcal{V}}{2\pi} = \dfrac{10}{3} \ln^2 ( 10 ) - 6 \ln \left( 10 \right) + 6 - \dfrac{2}{3} \left[ \ln\left( 1+\dfrac{3}{2}x \right) \right] _{0}^{6}
On trouve donc :
V2π=103ln⁡2(10)−6ln⁡(10)+6−23ln⁡(1+32×6)\dfrac{\mathcal{V}}{2\pi} = \dfrac{10}{3} \ln^2 ( 10 ) - 6 \ln \left( 10 \right) + 6 - \dfrac{2}{3} \ln\left( 1+\dfrac{3}{2} \times 6 \right)
Soit :
V2π=103ln⁡2(10)−6ln⁡(10)+6−23ln⁡(10)\dfrac{\mathcal{V}}{2\pi} = \dfrac{10}{3} \ln^2 ( 10 ) - 6 \ln \left( 10 \right) + 6 - \dfrac{2}{3} \ln( 10 )
D'où :
V2π=103ln⁡2(10)−203ln⁡(10)+6\dfrac{\mathcal{V}}{2\pi} = \dfrac{10}{3} \ln^2 ( 10 ) - \dfrac{20}{3} \ln \left( 10 \right) + 6
En factorisant par 103ln⁡2(10)\dfrac{10}{3} \ln^2 ( 10 ), on trouve que :
V2π=103ln⁡(10)(ln⁡(10)−2)+6\dfrac{\mathcal{V}}{2\pi} = \dfrac{10}{3} \ln ( 10 ) \left( \ln ( 10 ) - 2 \right) + 6
Ou encore en factorisant par 22 :
V2π=2(53ln⁡(10)(ln⁡(10)−2)+3)\dfrac{\mathcal{V}}{2\pi} = 2\left( \dfrac{5}{3} \ln ( 10 ) \left( \ln ( 10 ) - 2 \right) + 3 \right)
Finalement, on trouve que :
V=4π(53ln⁡(10)(ln⁡(10)−2)+3)  cm3\boxed{\mathcal{V} = 4 \pi \left( \dfrac{5}{3} \ln ( 10 ) \left( \ln ( 10 ) - 2 \right) + 3 \right) \,\, cm^3}
Question 2

Déterminer la valeur approchée, au millième de cm3cm^3, de V\mathcal{V}.

Correction
La valeur approchée, au millième de cm3cm^3, de V\mathcal{V} est :
V≃52,291  cm3\boxed{\mathcal{V} \simeq 52,291 \,\, cm^3 }

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