Calculer des primitives de fractions rationnelles contenant des fonctions de la forme $$x \longmapsto ax^2+bx+c$$ - Exercice 1

On a : $$A=\int \frac{1}{x^2+4x+5} dx$$
On commence par vérifier si le dénominateur $$x^2+4x+5$$ peut se factoriser dans $$\mathbb{R}$$.
$$\Delta <0$$ alors le $$x^2+4x+5$$ est irréductible sur $$\mathbb{R}$$.
Le domaine de primitivation de la fonction $$a$$ est alors $$I=\mathbb{R}$$ .
On calcule la forme canonique de $$x\mapsto x^2+4x+5$$ qui est $$x\mapsto 4{\left(x+\frac{4}{2\times 1}\right)}^2-\frac{{4}^2-4\times 1\times 5}{4\times 1}$$
Après simplification, on obtient $$x\mapsto {\left(x+2\right)}^2+1$$
Ainsi :
$$A=\int\frac{1}{{\left(x+2\right)}^2+1}dx$$
On pose $$u=x+2$$ alors $$du=dx$$.
Il vient alors que :
$$A=\int\frac{1}{u^2+1}du$$
Ainsi :
$$A={{\mathrm{arctan} \left(u\right)\ }+C}\ \text{où}\ C\in \mathbb{R}$$ . Or $$\;$$ $$u=x+2$$
Finalement :

On a : $$B=\int \frac{1}{4x^2+4x+3} dx$$
On commence par vérifier si le dénominateur $$4x^2+4x+3$$ peut se factoriser dans $$\mathbb{R}$$.
$$\Delta <0$$ alors le $$4x^2+4x+3$$ est irréductible sur $$\mathbb{R}$$.
Le domaine de primitivation de la fonction $$b$$ est alors $$I=\mathbb{R}$$ .
On calcule la forme canonique de $$x\mapsto 4x^2+4x+3$$ qui est $$x\mapsto 4{\left(x+\frac{4}{2\times 4}\right)}^2-\frac{{4}^2-4\times 4\times 3}{4\times 4}$$
Après simplification, on obtient $$x\mapsto 4{\left(x+\frac{1}{2}\right)}^2+2$$
Ainsi :
$$B=\int{\frac{1}{4{\left(x+\frac{1}{2}\right)}^2+2}dx}$$
$$B=\int{\frac{1}{2\left[2{\left(x+\frac{1}{2}\right)}^2+1\right]}dx}$$
$$B=\frac{1}{2}\int{\frac{1}{2{\left(x+\frac{1}{2}\right)}^2+1}dx}$$
$$B=\frac{1}{2}\int{\frac{1}{{\left(\sqrt{2}\right)}^2{\left(x+\frac{1}{2}\right)}^2+1}dx}$$
$$B=\frac{1}{2}\int{\frac{1}{{\left(\sqrt{2}x+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2+1}dx}$$
On pose $$u=\sqrt{2}x+\frac{\sqrt{2}}{2}$$ alors $$du=\sqrt{2}dx\Longrightarrow \frac{du}{\sqrt{2}}=dx$$
Il vient alors que :
$$B=\frac{1}{2}\int{\frac{1}{u^2+1}\frac{du}{\sqrt{2}}}$$
$$B=\frac{1}{2\sqrt{2}}\int{\frac{1}{u^2+1}}du$$
Ainsi :
$$B=\frac{1}{2\sqrt{2}}{{\mathrm{arctan} \left(u\right)\ }+C}\ \text{où}\ C\in \mathbb{R}$$ . Or $$\;$$ $$u=\sqrt{2}x+\frac{\sqrt{2}}{2}$$
Finalement :