Calculer des primitives de fonctions contenant des radicaux de la forme $x\longmapsto \sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}$ - Exercice 1

5 min

Question 1

Déterminer le domaine de primitivation et une primitive $A$ de la fonction $a:x\mapsto \frac{x+4}{\sqrt{x+1}}$ .

Correction

Primitives de la forme $\int{f\left(x,\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}\right)dx}$ où $f$ est une fonction rationnelle.
Méthode : Le changement de variable de $t=\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}$ nous ramène au calcul de primitive d'une fraction rationnelle.

La fonction

a

admet des primitives si

x+1>0

. Le domaine de primitivation de la fonction

a

est alors

I=\left]-1;+\infty\right[

.
Soit

x \in I

A=\int{\frac{x+4}{\sqrt{x+1}}dx}

On pose :

{\color{green}{u=\sqrt{x+1}}}\Rightarrow u^2=x+1\Rightarrow {\color{blue}{u^2-1=x}}

Ainsi :

{\color{red}{2udu=dx}}

Il s'ensuit que :

A=\int{\frac{{\color{blue}{x}}+4}{{\color{green}{\sqrt{x+1}}}}\times{\color{red}{dx}}}

A=\int{\frac{{\color{blue}{u^2-1}}+4}{{\color{green}{u}}}\times{\color{red}{2udu}}}

A=\int{\frac{u^2+3}{u}\times2udu}

A=\int{\left(2u^2+6\right)du}

A=\frac{2}{3}u^3+6u

. Or

u=\sqrt{x+1}

.
Ainsi :

A=\frac{2}{3}{\left(\sqrt{x+1}\right)}^3+6\sqrt{x+1}