Calculer des primitives de fonctions contenant des radicaux de la forme $$x\longmapsto \sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}$$ - Exercice 1

La fonction $$a$$ admet des primitives si $$x+1>0$$ . Le domaine de primitivation de la fonction $$a$$ est alors $$I=\left]-1;+\infty\right[$$ .
Soit $$x \in I$$ et $$A=\int{\frac{x+4}{\sqrt{x+1}}dx}$$
On pose : $${\color{green}{u=\sqrt{x+1}}}\Rightarrow u^2=x+1\Rightarrow {\color{blue}{u^2-1=x}}$$
Ainsi : $${\color{red}{2udu=dx}}$$
Il s'ensuit que :
$$A=\int{\frac{{\color{blue}{x}}+4}{{\color{green}{\sqrt{x+1}}}}\times{\color{red}{dx}}}$$
$$A=\int{\frac{{\color{blue}{u^2-1}}+4}{{\color{green}{u}}}\times{\color{red}{2udu}}}$$
$$A=\int{\frac{u^2+3}{u}\times2udu}$$
$$A=\int{\left(2u^2+6\right)du}$$
$$A=\frac{2}{3}u^3+6u$$ . Or $$u=\sqrt{x+1}$$ .
Ainsi :