Primitives

Autour de la trigonométrie - Exercice 1

40 min
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Un exemple classique, mais très formateur.
Soit II un intervalle sur lequel la fonction x⟼cos⁡(x)x \longmapsto \cos(x) ne s'annule pas.
On considère la fonction f:x⟼xcos⁡2(x)f : x \longmapsto \dfrac{x}{\cos^2(x)}.
Question 1

Déterminer l'expression des primitives de ff sur l'intervalle II.

Correction
On recherche l'expression de ∫xcos⁡2(x) dx\int \dfrac{x}{\cos^2(x)} \, dx.
Ceci s'écrit donc :
∫xcos⁡2(x) dx=∫(x×1cos⁡2(x)) dx=∫(x×(tan⁡(x))′) dx\int \dfrac{x}{\cos^2(x)} \, dx = \int \left( x \times \dfrac{1}{\cos^2(x)} \right) \, dx = \int \left( x \times \big( \tan(x) \big)' \right) \, dx
La technique de l'intégration par parties semble donc parfaitement adaptée à la situation. On a :
∫xcos⁡2(x) dx=xtan⁡(x)−∫(1×tan⁡(x)) dx=xtan⁡(x)−∫tan⁡(x) dx=xtan⁡(x)−∫sin⁡(x)cos⁡(x) dx\int \dfrac{x}{\cos^2(x)} \, dx = x \tan(x) - \int \left( 1 \times \tan(x) \right) \, dx = x \tan(x) - \int \tan(x) \, dx = x \tan(x) - \int \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)} \, dx
Ce qui nous donne également :
∫xcos⁡2(x) dx=xtan⁡(x)−∫−(cos⁡(x))′cos⁡(x) dx=xtan⁡(x)+∫(cos⁡(x))′cos⁡(x) dx\int \dfrac{x}{\cos^2(x)} \, dx = x \tan(x) - \int \dfrac{-\big(\cos(x) \big)'}{\cos(x)} \, dx = x \tan(x) + \int \dfrac{\big(\cos(x) \big)'}{\cos(x)} \, dx
Soit C∈RC \in \mathbb{R}, on a finalement :
∫xcos⁡2(x) dx=xtan⁡(x)+ln⁡(∣cos⁡(x)∣)+C\int \dfrac{x}{\cos^2(x)} \, dx = x \tan(x) + \ln \big( \left| \cos(x) \right| \big) + C
Question 2

Déterminer l'expression de la primitive FF de ff qui satisfait à la condition F(0)=0F(0) = 0.

Correction
La condition F(0)=0F(0) = 0 se traduit par :
0tan⁡(0)+ln⁡(∣cos⁡(0)∣)+C=00 \tan(0) + \ln \big( \left| \cos(0) \right| \big) + C = 0
Soit :
0+ln⁡(∣1∣)+C=00 + \ln \big( \left| 1 \right| \big) + C = 0
D'où :
ln⁡(1)+C=0\ln \big( 1 \big) + C = 0
Soit encore :
C=0C = 0.
Finalement, on obtient :
F(x)=xtan⁡(x)+ln⁡(∣cos⁡(x)∣)F(x) = x \tan(x) + \ln \big( \left| \cos(x) \right| \big)
Question 3

Déterminer la valeur de ∫0π4xcos⁡2(x) dx\int_0^{\frac{\pi}{4}} \dfrac{x}{\cos^2(x)} \, dx.

Correction
On a :
∫0π4xcos⁡2(x) dx=F(π4)−F(0)\int_0^{\frac{\pi}{4}} \dfrac{x}{\cos^2(x)} \, dx = F\left( \dfrac{\pi}{4} \right) - F(0)
Mais on sait que F(0)=0F(0) = 0 donc :
∫0π4xcos⁡2(x) dx=F(π4)=π4tan⁡(π4)+ln⁡(∣cos⁡(π4)∣)\int_0^{\frac{\pi}{4}} \dfrac{x}{\cos^2(x)} \, dx = F\left( \dfrac{\pi}{4} \right) = \dfrac{\pi}{4} \tan\left( \dfrac{\pi}{4} \right) + \ln \left( \left| \cos\left( \dfrac{\pi}{4} \right) \right| \right)
Or tan⁡(π4)=1\tan\left( \dfrac{\pi}{4} \right) = 1 et cos⁡(π4)=22=12\cos\left( \dfrac{\pi}{4} \right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}. Donc :
∫0π4xcos⁡2(x) dx=π4+ln⁡(∣12∣)\int_0^{\frac{\pi}{4}} \dfrac{x}{\cos^2(x)} \, dx = \dfrac{\pi}{4} + \ln \left( \left| \dfrac{1}{\sqrt{2}} \right| \right)
Comme 12>0\dfrac{1}{\sqrt{2}} > 0, on a alors :
∫0π4xcos⁡2(x) dx=π4+ln⁡(12)=π4−ln⁡(2)=π4−12ln⁡(2)\int_0^{\frac{\pi}{4}} \dfrac{x}{\cos^2(x)} \, dx = \dfrac{\pi}{4} + \ln \left( \dfrac{1}{\sqrt{2}} \right) = \dfrac{\pi}{4} - \ln \left( \sqrt{2} \right) = \dfrac{\pi}{4} - \dfrac{1}{2}\ln \left( 2 \right)
Finalement :
∫0π4xcos⁡2(x) dx=12(π2−ln⁡(2))  u.a.≃0,439  u.a.\int_0^{\frac{\pi}{4}} \dfrac{x}{\cos^2(x)} \, dx = \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{\pi}{2} - \ln \left( 2 \right) \right) \,\, u.a. \simeq 0,439 \,\, u.a.
Graphiquement, ceci correspond à la situation suivante :