Autour de la trigonométrie - Exercice 1

On recherche l'expression de $$\int \dfrac{x}{\cos^2(x)} \, dx$$.
Ceci s'écrit donc :
$$\int \dfrac{x}{\cos^2(x)} \, dx = \int \left( x \times \dfrac{1}{\cos^2(x)} \right) \, dx = \int \left( x \times \big( \tan(x) \big)' \right) \, dx$$
La technique de l'intégration par parties semble donc parfaitement adaptée à la situation. On a :
$$\int \dfrac{x}{\cos^2(x)} \, dx = x \tan(x) - \int \left( 1 \times \tan(x) \right) \, dx = x \tan(x) - \int \tan(x) \, dx = x \tan(x) - \int \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)} \, dx$$
Ce qui nous donne également :
$$\int \dfrac{x}{\cos^2(x)} \, dx = x \tan(x) - \int \dfrac{-\big(\cos(x) \big)'}{\cos(x)} \, dx = x \tan(x) + \int \dfrac{\big(\cos(x) \big)'}{\cos(x)} \, dx$$
Soit $$C \in \mathbb{R}$$, on a finalement :
$$\int \dfrac{x}{\cos^2(x)} \, dx = x \tan(x) + \ln \big( \left| \cos(x) \right| \big) + C$$

La condition $$F(0) = 0$$ se traduit par :
$$0 \tan(0) + \ln \big( \left| \cos(0) \right| \big) + C = 0$$
Soit :
$$0 + \ln \big( \left| 1 \right| \big) + C = 0$$
D'où :
$$\ln \big( 1 \big) + C = 0$$
Soit encore :
$$C = 0$$.
Finalement, on obtient :
$$F(x) = x \tan(x) + \ln \big( \left| \cos(x) \right| \big)$$

On a :
$$\int_0^{\frac{\pi}{4}} \dfrac{x}{\cos^2(x)} \, dx = F\left( \dfrac{\pi}{4} \right) - F(0)$$
Mais on sait que $$F(0) = 0$$ donc :
$$\int_0^{\frac{\pi}{4}} \dfrac{x}{\cos^2(x)} \, dx = F\left( \dfrac{\pi}{4} \right) = \dfrac{\pi}{4} \tan\left( \dfrac{\pi}{4} \right) + \ln \left( \left| \cos\left( \dfrac{\pi}{4} \right) \right| \right)$$
Or $$\tan\left( \dfrac{\pi}{4} \right) = 1$$ et $$\cos\left( \dfrac{\pi}{4} \right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$$. Donc :
$$\int_0^{\frac{\pi}{4}} \dfrac{x}{\cos^2(x)} \, dx = \dfrac{\pi}{4} + \ln \left( \left| \dfrac{1}{\sqrt{2}} \right| \right)$$
Comme $$\dfrac{1}{\sqrt{2}} > 0$$, on a alors :
$$\int_0^{\frac{\pi}{4}} \dfrac{x}{\cos^2(x)} \, dx = \dfrac{\pi}{4} + \ln \left( \dfrac{1}{\sqrt{2}} \right) = \dfrac{\pi}{4} - \ln \left( \sqrt{2} \right) = \dfrac{\pi}{4} - \dfrac{1}{2}\ln \left( 2 \right)$$
Finalement :
$$\int_0^{\frac{\pi}{4}} \dfrac{x}{\cos^2(x)} \, dx = \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{\pi}{2} - \ln \left( 2 \right) \right) \,\, u.a. \simeq 0,439 \,\, u.a.$$
Graphiquement, ceci correspond à la situation suivante :