Autour de l'arc-tangente - Exercice 1

On cherche l'expression de $$\int \dfrac{1}{x^2 + a^2}\, dx$$. On a :
$$\int \dfrac{1}{x^2 + a^2}\, dx = \int \dfrac{1}{a^2\left( \dfrac{x^2}{a^2} + 1 \right)}\, dx = \dfrac{1}{a^2} \int \dfrac{1}{ \left(\dfrac{x}{a}\right)^2 + 1 }\, dx = \dfrac{1}{a^2} \int \dfrac{1}{ \left(\dfrac{x}{a}\right)^2 + 1 }\, d\left(\dfrac{ax}{a}\right)$$
Soit encore :
$$\int \dfrac{1}{x^2 + a^2}\, dx = \dfrac{1}{a^2} \int \dfrac{1}{ \left(\dfrac{x}{a}\right)^2 + 1 }\, ad\left(\dfrac{x}{a}\right) = \dfrac{a}{a^2} \int \dfrac{1}{ \left(\dfrac{x}{a}\right)^2 + 1 }\, d\left(\dfrac{x}{a}\right) = \dfrac{1}{a} \int \dfrac{1}{ \left(\dfrac{x}{a}\right)^2 + 1 }\, d\left(\dfrac{x}{a}\right)$$
On pose alors $$X = \left(\dfrac{x}{a}\right)$$, ce qui nous permet d'obtenir :
$$\int \dfrac{1}{x^2 + a^2}\, dx = \dfrac{1}{a} \int \dfrac{1}{ X^2 + 1 }\, dX$$
Ce qui nous donne donc :
$$\int \dfrac{1}{x^2 + a^2}\, dx = \dfrac{1}{a} \arctan(X) + C \,\,\, (C \in \mathbb{R})$$
Comme $$X = \dfrac{x}{a}$$, on trouve que :
$$\int \dfrac{1}{x^2 + a^2}\, dx = \dfrac{1}{a} \arctan\left(\dfrac{x}{a}\right) + C \,\,\, (C \in \mathbb{R})$$

La condition $$F(1) = 0$$ se traduit par la relation :
$$\dfrac{1}{a} \arctan\left(\dfrac{1}{a}\right) + C = 0$$
Soit :
$$C = - \dfrac{1}{a} \arctan\left(\dfrac{1}{a}\right)$$
Donc :
$$F(x) = \dfrac{1}{a} \arctan\left(\dfrac{x}{a}\right) - \dfrac{1}{a} \arctan\left(\dfrac{1}{a}\right)$$

On a :
$$\int_0^1 \dfrac{1}{x^2 + 3}\, dx = \int_0^1 \dfrac{1}{x^2 + \left(\sqrt{3} \right)^2}\, dx$$
Donc, dans ce cas, on a $$a = \sqrt{3}$$. Donc, on a :
$$\int_0^1 \dfrac{1}{x^2 + 3}\, dx ={\left[\dfrac{1}{\sqrt{3}} \arctan\left(\dfrac{x}{\sqrt{3}}\right)\right]}^1_0$$
$$\int_0^1 \dfrac{1}{x^2 + 3}\, dx =\dfrac{1}{\sqrt{3}} \arctan\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)-\dfrac{1}{\sqrt{3}} \arctan\left(\dfrac{0}{\sqrt{3}}\right)$$
$$\int_0^1 \dfrac{1}{x^2 + 3}\, dx =\dfrac{1}{\sqrt{3}} \arctan\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)-0$$
$$\int_0^1 \dfrac{1}{x^2 + 3}\, dx =\dfrac{1}{\sqrt{3}} \arctan\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)$$
$$\int_0^1 \dfrac{1}{x^2 + 3}\, dx =\dfrac{1}{\sqrt{3}}\times \frac{\pi}{6}$$
Finalement :
$$\int_0^1 \dfrac{1}{x^2 + 3}\, dx = \dfrac{\pi}{6\sqrt{3}} \,\, u.a. \simeq 0,302 \,\, u.a.$$
Graphiquement ceci correspond à la surface (algébrique) de l'aire du domaine suivant :