Toujours une histoire de parité - Exercice 1

On a :
$$F(-X) = \dfrac{4(-X)^3}{((-X)^2-1)^2} = \dfrac{-4X^3}{(X^2-1)^2} = - \dfrac{4X^3}{(X^2-1)^2} = - F(X)$$
Donc $$F$$ est impaire.
Or, on peut écrire que $$X^2-1 = (X+1)(X-1)$$, et de fait :
$$F(X) = \dfrac{4X^3}{\big((X-1)(X+1)\big)^2} = \dfrac{4X^3}{(X-1)^2(X+1)^2}$$
La décomposition en éléments simples de $$F$$ est de la forme suivante :
$$F(X) = \dfrac{4X^3}{(X^2-1)^2} = \dfrac{A}{X-1} + \dfrac{B}{(X-1)^2} + \dfrac{C}{X+1} + \dfrac{D}{(X+1)^2}$$
Donc, on a :
$$F(-X) = \dfrac{A}{(-X)-1} + \dfrac{B}{((-X)-1)^2} + \dfrac{C}{(-X)+1} + \dfrac{D}{((-X)+1)^2}$$
Soit :
$$F(-X) = \dfrac{A}{-X-1} + \dfrac{B}{(-X-1)^2} + \dfrac{C}{-X+1} + \dfrac{D}{(-X+1)^2}$$
Soit encore :
$$F(-X) = \dfrac{-A}{X+1} + \dfrac{B}{(X+1)^2} + \dfrac{-C}{X-1} + \dfrac{D}{(X-1)^2}$$
Or, on sait que $$F$$ est impaire, donc $$F(-X) = - F(X)$$, d'où :
$$\dfrac{-A}{X+1} + \dfrac{B}{(X+1)^2} + \dfrac{-C}{X-1} + \dfrac{D}{(X-1)^2} = \dfrac{-A}{X-1} + \dfrac{-B}{(X-1)^2} + \dfrac{-C}{X+1} + \dfrac{-D}{(X+1)^2}$$
En réordonnant les termes de gauche dans le même ordre que ceux de droite, on trouve que :
$$\dfrac{-C}{X-1} + \dfrac{D}{(X-1)^2} + \dfrac{-A}{X+1} + \dfrac{B}{(X+1)^2} = \dfrac{-A}{X-1} + \dfrac{-B}{(X-1)^2} + \dfrac{-C}{X+1} + \dfrac{-D}{(X+1)^2}$$
Comme il y a unicité de la décomposition en éléments simples, on en déduit alors que :
$$A = C$$ et $$B = -D$$
On peut alors écrire que :
$$F(X) = \dfrac{A}{X-1} + \dfrac{B}{(X-1)^2} + \dfrac{A}{X+1} - \dfrac{B}{(X+1)^2}$$
On en déduit alors que :
$$(X-1)^2F(X) = \dfrac{4X^3}{(X+1)^2} = (X-1) A + B + \dfrac{(X-1)^2A}{X+1} - \dfrac{(X-1)^2B}{(X+1)^2}$$
Si on pose $$X = 1$$, on trouve alors :
$$\dfrac{4\times 1^3}{(1+1)^2} = (1-1) A + B + \dfrac{(1-1)^2A}{1+1} - \dfrac{(1-1)^2B}{(1+1)^2} \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \dfrac{4}{4} = 0 + B + 0 - 0 \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, B = 1$$
Donc :
$$F(X) = \dfrac{4X^3}{(X^2-1)^2} = \dfrac{A}{X-1} + \dfrac{1}{(X-1)^2} + \dfrac{A}{X+1} - \dfrac{1}{(X+1)^2}$$
Posons maintenant $$X = 2$$, on a alors :
$$F(X=2) = \dfrac{4\times 2^3}{(2^2-1)^2} = \dfrac{A}{2-1} + \dfrac{1}{(2-1)^2} + \dfrac{A}{2+1} - \dfrac{1}{(2+1)^2}$$
Ce qui nous donne :
$$\dfrac{32}{9} = A + 1 + \dfrac{A}{3} - \dfrac{1}{9} \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, 32 = 9A + 9+3A-1 \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, 32 = 12A + 8 \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, 8 = 3A + 2 \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, 6 = 3A$$
Donc :
$$A = 2$$
Finalement la décomposition en éléments simples de $$F$$ est donnée par l'expression suivante :
$${\color{red}{\boxed{F(X) = \dfrac{4X^3}{(X^2-1)^2} = \dfrac{2}{X-1} + \dfrac{1}{(X-1)^2} + \dfrac{2}{X+1} - \dfrac{1}{(X+1)^2} }}}$$