Polynômes & Décomposition en éléments simples

Toujours une histoire de parité - Exercice 1

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Un autre exercice illustrant l'usage de la parité.
Question 1
Soit XX une indéterminée.
On considère la fraction rationnelle FF suivante :
F(X)=4X3(X2−1)2F(X) = \dfrac{4X^3}{(X^2-1)^2}
On note par ii le nombre complexe tel que i2=−1i^2 = -1.

Donner, dans R\mathbb{R}, la décomposition en éléments simples de FF.

Correction
On a :
F(−X)=4(−X)3((−X)2−1)2=−4X3(X2−1)2=−4X3(X2−1)2=−F(X)F(-X) = \dfrac{4(-X)^3}{((-X)^2-1)^2} = \dfrac{-4X^3}{(X^2-1)^2} = - \dfrac{4X^3}{(X^2-1)^2} = - F(X)
Donc FF est impaire.
Or, on peut écrire que X2−1=(X+1)(X−1)X^2-1 = (X+1)(X-1), et de fait :
F(X)=4X3((X−1)(X+1))2=4X3(X−1)2(X+1)2F(X) = \dfrac{4X^3}{\big((X-1)(X+1)\big)^2} = \dfrac{4X^3}{(X-1)^2(X+1)^2}
La décomposition en éléments simples de FF est de la forme suivante :
F(X)=4X3(X2−1)2=AX−1+B(X−1)2+CX+1+D(X+1)2F(X) = \dfrac{4X^3}{(X^2-1)^2} = \dfrac{A}{X-1} + \dfrac{B}{(X-1)^2} + \dfrac{C}{X+1} + \dfrac{D}{(X+1)^2}
Donc, on a :
F(−X)=A(−X)−1+B((−X)−1)2+C(−X)+1+D((−X)+1)2F(-X) = \dfrac{A}{(-X)-1} + \dfrac{B}{((-X)-1)^2} + \dfrac{C}{(-X)+1} + \dfrac{D}{((-X)+1)^2}
Soit :
F(−X)=A−X−1+B(−X−1)2+C−X+1+D(−X+1)2F(-X) = \dfrac{A}{-X-1} + \dfrac{B}{(-X-1)^2} + \dfrac{C}{-X+1} + \dfrac{D}{(-X+1)^2}
Soit encore :
F(−X)=−AX+1+B(X+1)2+−CX−1+D(X−1)2F(-X) = \dfrac{-A}{X+1} + \dfrac{B}{(X+1)^2} + \dfrac{-C}{X-1} + \dfrac{D}{(X-1)^2}
Or, on sait que FF est impaire, donc F(−X)=−F(X)F(-X) = - F(X), d'où :
−AX+1+B(X+1)2+−CX−1+D(X−1)2=−AX−1+−B(X−1)2+−CX+1+−D(X+1)2\dfrac{-A}{X+1} + \dfrac{B}{(X+1)^2} + \dfrac{-C}{X-1} + \dfrac{D}{(X-1)^2} = \dfrac{-A}{X-1} + \dfrac{-B}{(X-1)^2} + \dfrac{-C}{X+1} + \dfrac{-D}{(X+1)^2}
En réordonnant les termes de gauche dans le même ordre que ceux de droite, on trouve que :
−CX−1+D(X−1)2+−AX+1+B(X+1)2=−AX−1+−B(X−1)2+−CX+1+−D(X+1)2\dfrac{-C}{X-1} + \dfrac{D}{(X-1)^2} + \dfrac{-A}{X+1} + \dfrac{B}{(X+1)^2} = \dfrac{-A}{X-1} + \dfrac{-B}{(X-1)^2} + \dfrac{-C}{X+1} + \dfrac{-D}{(X+1)^2}
Comme il y a unicité de la décomposition en éléments simples, on en déduit alors que :
A=CA = C et B=−DB = -D
On peut alors écrire que :
F(X)=AX−1+B(X−1)2+AX+1−B(X+1)2F(X) = \dfrac{A}{X-1} + \dfrac{B}{(X-1)^2} + \dfrac{A}{X+1} - \dfrac{B}{(X+1)^2}
On en déduit alors que :
(X−1)2F(X)=4X3(X+1)2=(X−1)A+B+(X−1)2AX+1−(X−1)2B(X+1)2(X-1)^2F(X) = \dfrac{4X^3}{(X+1)^2} = (X-1) A + B + \dfrac{(X-1)^2A}{X+1} - \dfrac{(X-1)^2B}{(X+1)^2}
Si on pose X=1X = 1, on trouve alors :
4×13(1+1)2=(1−1)A+B+(1−1)2A1+1−(1−1)2B(1+1)2   ⟺   44=0+B+0−0   ⟺   B=1\dfrac{4\times 1^3}{(1+1)^2} = (1-1) A + B + \dfrac{(1-1)^2A}{1+1} - \dfrac{(1-1)^2B}{(1+1)^2} \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \dfrac{4}{4} = 0 + B + 0 - 0 \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, B = 1
Donc :
F(X)=4X3(X2−1)2=AX−1+1(X−1)2+AX+1−1(X+1)2F(X) = \dfrac{4X^3}{(X^2-1)^2} = \dfrac{A}{X-1} + \dfrac{1}{(X-1)^2} + \dfrac{A}{X+1} - \dfrac{1}{(X+1)^2}
Posons maintenant X=2X = 2, on a alors :
F(X=2)=4×23(22−1)2=A2−1+1(2−1)2+A2+1−1(2+1)2F(X=2) = \dfrac{4\times 2^3}{(2^2-1)^2} = \dfrac{A}{2-1} + \dfrac{1}{(2-1)^2} + \dfrac{A}{2+1} - \dfrac{1}{(2+1)^2}
Ce qui nous donne :
329=A+1+A3−19   ⟺   32=9A+9+3A−1   ⟺   32=12A+8   ⟺   8=3A+2   ⟺   6=3A\dfrac{32}{9} = A + 1 + \dfrac{A}{3} - \dfrac{1}{9} \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, 32 = 9A + 9+3A-1 \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, 32 = 12A + 8 \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, 8 = 3A + 2 \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, 6 = 3A
Donc :
A=2A = 2
Finalement la décomposition en éléments simples de FF est donnée par l'expression suivante :
F(X)=4X3(X2−1)2=2X−1+1(X−1)2+2X+1−1(X+1)2{\color{red}{\boxed{F(X) = \dfrac{4X^3}{(X^2-1)^2} = \dfrac{2}{X-1} + \dfrac{1}{(X-1)^2} + \dfrac{2}{X+1} - \dfrac{1}{(X+1)^2} }}}