Polynômes & Décomposition en éléments simples

Sujet 22 - Exercice 1

15 min
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Question 1

Calculer lim⁡n→+∞∑k=1n2k(k+1)(k+2)\lim\limits_{n\to +\infty }\sum^n_{k=1}{\frac{2}{k\left(k+1\right)\left(k+2\right)}} .

Correction
Nous allons introduire la fraction rationnelle F(X)=2X(X+1)(X+2)F\left(X\right)=\frac{2}{X\left(X+1\right)\left(X+2\right)}
FF est sous forme irréductible car 00 ; −1-1 et −2-2 les pôles de FF ne sont pas les racines du numérateur.
Le degré du dénominateur étant inférieur à celui du numérateur, la partie entière de FF est nulle.
La décomposition en éléments simples de FF étant unique, on a :
F(X)=aX+bX+1+cX+2F\left(X\right)=\frac{a}{X}+\frac{b}{X+1}+\frac{c}{X+2} où (a;b;c)∈R3\left(a;b;c\right) \in \mathbb{R}^3
Calcul de a{\color{red}{a}} :
Nous avons donc 2X(X+1)(X+2)=aX+bX+1+cX+2 \frac{2}{X\left(X+1\right)\left(X+2\right)}=\frac{a}{X}+\frac{b}{X+1}+\frac{c}{X+2}
Nous multiplions les deux membres de l'égalité précédente par (X)\left(X\right), on a alors :
X×2X(X+1)(X+2)=aXX+bXX+1+cXX+2 X\times\frac{2}{X\left(X+1\right)\left(X+2\right)}=\frac{aX}{X}+\frac{bX}{X+1}+\frac{cX}{X+2}
2(X+1)(X+2)=a+bXX+1+cXX+2\frac{2}{\left(X+1\right)\left(X+2\right)}=a+\frac{bX}{X+1}+\frac{cX}{X+2}
Puis maintenant on remplace XX par 00 ce qui nous donne :
2(0+1)(0+2)=a+b×00+1+c×00+2\frac{2}{\left(0+1\right)\left(0+2\right)}=a+\frac{b\times0}{0+1}+\frac{c\times0}{0+2}
Ainsi :
1=a1=a

Calcul de b{\color{red}{b}} :
Nous avons donc 2X(X+1)(X+2)=aX+bX+1+cX+2 \frac{2}{X\left(X+1\right)\left(X+2\right)}=\frac{a}{X}+\frac{b}{X+1}+\frac{c}{X+2}
Nous multiplions les deux membres de l'égalité précédente par (X+1)\left(X+1\right), on a alors :
(X+1)×2X(X+1)(X+2)=a(X+1)X+b(X+1)X+1+c(X+1)X+2\left( X+1\right)\times\frac{2}{X\left(X+1\right)\left(X+2\right)}=\frac{a\left( X+1\right)}{X}+\frac{b\left( X+1\right)}{X+1}+\frac{c\left( X+1\right)}{X+2}
2X(X+2)=a(X+1)X+b+c(X+1)X+2\frac{2}{X\left(X+2\right)}=\frac{a\left( X+1\right)}{X}+b+\frac{c\left( X+1\right)}{X+2}
Puis maintenant on remplace XX par −1-1 ce qui nous donne :
2(−1)(−1+2)=a(−1+1)−1+b+c(−1+1)−1+2\frac{2}{\left(-1\right)\left(-1+2\right)}=\frac{a\left( -1+1\right)}{-1}+b+\frac{c\left( -1+1\right)}{-1+2}
Ainsi :
−2=b-2=b

Calcul de c{\color{red}{c}} :
Nous avons donc 2X(X+1)(X+2)=aX+bX+1+cX+2 \frac{2}{X\left(X+1\right)\left(X+2\right)}=\frac{a}{X}+\frac{b}{X+1}+\frac{c}{X+2}
Nous multiplions les deux membres de l'égalité précédente par (X+2)\left(X+2\right), on a alors :
(X+2)×2X(X+1)(X+2)=a(X+2)X+b(X+2)X+1+c(X+2)X+2\left( X+2\right)\times\frac{2}{X\left(X+1\right)\left(X+2\right)}=\frac{a\left( X+2\right)}{X}+\frac{b\left( X+2\right)}{X+1}+\frac{c\left( X+2\right)}{X+2}
2X(X+1)=a(X+2)X+b(X+2)X+1+c\frac{2}{X\left(X+1\right)}=\frac{a\left( X+2\right)}{X}+\frac{b\left( X+2\right)}{X+1}+c
Puis maintenant on remplace XX par −2-2 ce qui nous donne :
2−2(−2+1)=a(−2+2)−2+b(−2+2)−2+1+c\frac{2}{-2\left(-2+1\right)}=\frac{a\left( -2+2\right)}{-2}+\frac{b\left( -2+2\right)}{-2+1}+c
Ainsi :
1=c1=c

On obtient donc enfin la décomposition suivante :
F(X)=1X−2X+1+1X+2F\left(X\right)=\frac{1}{X}-\frac{2}{X+1}+\frac{1}{X+2}

Nous allons maintenant exprimer ∑k=1n2k(k+1)(k+2)\sum^n_{k=1}{\frac{2}{k\left(k+1\right)\left(k+2\right)}} en fonction de nn .
∑k=1n2k(k+1)(k+2)=∑k=1n1k−∑k=1n2k+1+∑k=1n1k+2\sum^n_{k=1}{\frac{2}{k\left(k+1\right)\left(k+2\right)}}=\sum^n_{k=1}{\frac{1}{k}}-\sum^n_{k=1}{\frac{2}{k+1}}+\sum^n_{k=1}{\frac{1}{k+2}}
∑k=1n2k(k+1)(k+2)=∑k=1n1k−2∑k=1n1k+1+∑k=1n1k+2\sum^n_{k=1}{\frac{2}{k\left(k+1\right)\left(k+2\right)}}=\sum^n_{k=1}{\frac{1}{k}}-2\sum^n_{k=1}{\frac{1}{k+1}}+\sum^n_{k=1}{\frac{1}{k+2}}
∑k=1n2k(k+1)(k+2)=∑k=1n1k−2∑k=2n+11k+∑k=3n+21k\sum^n_{k=1}{\frac{2}{k\left(k+1\right)\left(k+2\right)}}=\sum^n_{k=1}{\frac{1}{k}}-2\sum^{n+1}_{k=2}{\frac{1}{k}}+\sum^{n+2}_{k=3}{\frac{1}{k}}
∑k=1n2k(k+1)(k+2)=∑k=1n1k−2((∑k=1n1k)−1+1n+1)+((∑k=1n1k)−1−12+1n+1+1n+2)\sum^n_{k=1}{\frac{2}{k\left(k+1\right)\left(k+2\right)}}=\sum^n_{k=1}{\frac{1}{k}}-2\left(\left(\sum^n_{k=1}{\frac{1}{k}}\right)-1+\frac{1}{n+1}\right)+\left(\left(\sum^n_{k=1}{\frac{1}{k}}\right)-1-\frac{1}{2}+\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}\right)
∑k=1n2k(k+1)(k+2)=∑k=1n1k−2(∑k=1n1k)+2−2n+1+(∑k=1n1k)−1−12+1n+1+1n+2\sum^n_{k=1}{\frac{2}{k\left(k+1\right)\left(k+2\right)}}=\sum^n_{k=1}{\frac{1}{k}}-2\left(\sum^n_{k=1}{\frac{1}{k}}\right)+2-\frac{2}{n+1}+\left(\sum^n_{k=1}{\frac{1}{k}}\right)-1-\frac{1}{2}+\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}
∑k=1n2k(k+1)(k+2)=2−2n+1−1−12+1n+1+1n+2\sum^n_{k=1}{\frac{2}{k\left(k+1\right)\left(k+2\right)}}=2-\frac{2}{n+1}-1-\frac{1}{2}+\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}
Ainsi :
∑k=1n2k(k+1)(k+2)=12−1n+1+1n+2\sum^n_{k=1}{\frac{2}{k\left(k+1\right)\left(k+2\right)}}=\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}

Finalement :
lim⁡n→+∞∑k=1n2k(k+1)(k+2)=12\lim\limits_{n\to +\infty }\sum^n_{k=1}{\frac{2}{k\left(k+1\right)\left(k+2\right)}}=\frac{1}{2}