Sujet $$1$$ - Exercice 2

Si on écrit la division euclidienne, on a : $$P\left(X\right)=\left(X-1\right)\left(X+1\right)\left(X+2\right)Q+R$$ où $$R\left(X\right)=aX^2+bX+c$$ $$\;\;$$ car $$\deg \left(R\right) < \deg\left(\left(X-1\right)\left(X+1\right)\left(X+2\right)\right)$$ et $$\left(a;b;c\right)\in \mathbb{R}^3$$ .
Ainsi :
$$P\left(X\right)=\left(X-1\right)\left(X+1\right)\left(X+2\right)Q+aX^2+bX+c$$
De plus, nous savons que $$P\left(1\right)=4$$ ; $$P\left(-1\right)=8$$ et $$P\left(2\right)=10$$.
Il vient alors que :
$$P\left(1\right)=4\Longrightarrow a+b+c=4$$
$$P\left(-1\right)=4\Longrightarrow a-b+c=8$$
$$P\left(2\right)=10\Longrightarrow 4a+2b+c=10$$
On en déduit le système suivant :
$$\left\{ \begin{array}{ccc}a+b+c & = & 4 \\ a-b+c & = & 8 \\ 4a+2b+c & = & 10 \end{array}\right.$$
Nous résolvons directement le système et on obtient : $$\left\{ \begin{array}{ccc}a & = & \frac{8}{3} \\ b & = & -2 \\ c & = & \frac{10}{3} \end{array}\right.$$
Le reste de la division euclidienne de $$P$$ par $$\left(X-1\right)\left(X+1\right)\left(X+2\right)$$ est alors

La division euclidienne de $$X^4+X^3+aX^2+bX+3$$ par $$X^2+3$$ nous permet d'écrire que :
$$X^4+X^3+aX^2+bX+3=\left(X^2+3\right)\left(X^2+X+a-3\right)+\left(b-3\right)X-3a+12$$.
D'après les hypothèses nous savons que $$X^2+3$$ divise $$X^4+X^3+aX^2+bX+3$$. Il faut alors que le reste soit nul.
Autrement dit, il faut que : $$\left(b-3\right)X-3a+12=0$$ .
On obtient le système suivant :
$$\left\{ \begin{array}{ccc}b-3 & = & 0 \\ -3a+12 & = & 0 \end{array}\right.$$
Ainsi :
Les réels $$a$$ et $$b$$ tels que $$X^2+3$$ divise $$X^4+X^3+aX^2+bX+3$$ sont alors $$a=4$$ et $$b=3$$ .