Polynômes & Décomposition en éléments simples

Sujet 11 - Exercice 1

15 min
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Les questions sont toutes indépendantes.
Question 1

Décomposer en produits de polynômes irréductibles dans R[X]\mathbb{R}\left[X\right] le polynôme P(X)=X8+X4+1P\left(X\right)=X^8+X^4+1 .

Correction
  • Les polynômes irréductibles de R[X]\mathbb{R}\left[X\right] sont les polynômes du premier degré et les polynômes de deuxième degré de la forme aX2+bX+caX^2+bX+c dont Δ=b2−4ac<0\Delta = b^2-4ac<0 .
Soit P(X)=X8+X4+1P\left(X\right)=X^8+X^4+1 , on pose x=X4x=X^4 .
Il vient alors que :
X8+X4+1=x2+x+1X^8+X^4+1=x^2+x+1
Nous cherchons maintenant les racines de x2+x+1x^2+x+1. Comme Δ<0\Delta <0 alors les racines sont :
j=−12+i32=ei2π3j=-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}=e^{i\frac{2\pi }{3}} ou j‾=j2=−12−i32=e−i2π3\overline{j}=j^2=-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}=e^{-i\frac{2\pi }{3}} .
Or x=X4x=X^4, nous allons donc devoir résoudre les équations d'une part : X4=ei2π3X^4=e^{i\frac{2\pi }{3}} et d'autre part X4=e−i2π3X^4=e^{-i\frac{2\pi }{3}}
Nous allons commencer à résoudre l'équation : X4=ei2π3X^4=e^{i\frac{2\pi }{3}} .
  • Soit a=reiθa=re^{i\theta} avec r>0r>0 et θ∈[0;2π[\theta \in \left[0;2\pi \right[ un nombre complexe non nul et soit nn entier naturel non nul.
    Le nombre complexe aa admet nn racines nième distinctes définies par : zk=(r)1nei(θ+2kπn)z_k={\left(r\right)}^{\frac{1}{n}}e^{i\left(\frac{\theta +2k\pi }{n}\right)} où k∈[[0;n−1]]k \in\left[\left[0;n-1\right]\right]
Xk=ei(2π3+2kπ4)X_k=e^{i\left(\frac{\frac{2\pi }{3}+2k\pi }{4}\right)} avec k∈{0,1,2,3}k\in \left\{0,1,2,3\right\} .Il vient alors que :
X0=ei(2π3+2×0×π4)⟺X0=eiπ6X_0=e^{i\left(\frac{\frac{2\pi }{3}+2\times 0\times \pi }{4}\right)}\Longleftrightarrow X_0=e^{i\frac{\pi }{6}}
X1=ei(2π3+2×1×π4)⟺X1=ei2π3X_1=e^{i\left(\frac{\frac{2\pi }{3}+2\times 1\times \pi }{4}\right)}\Longleftrightarrow X_1=e^{i\frac{2\pi }{3}}
X2=ei(2π3+2×2×π4)⟺X2=ei7π6X_2=e^{i\left(\frac{\frac{2\pi }{3}+2\times 2\times \pi }{4}\right)}\Longleftrightarrow X_2=e^{i\frac{7\pi }{6}}
X3=ei(2π3+2×3×π4)⟺X3=ei5π3X_3=e^{i\left(\frac{\frac{2\pi }{3}+2\times 3\times \pi }{4}\right)}\Longleftrightarrow X_3=e^{i\frac{5\pi }{3}}
Nous pouvons ensuite effectuer le même raisonnement pour résoudre X4=e−i2π3X^4=e^{-i\frac{2\pi }{3}} afin d'obtenir les 88 racines de PP.
Cependant, nous allons nous rappeler le cours.
  • Soit P∈R[X]P\in \mathbb{R}\left[X\right] un polynôme. Si z∈Cz \in \mathbb{C} est une racine de PP de multiplicité mm, alors z‾\overline{z} est aussi une racine de PP de multiplicité mm.
Dans notre situation, le polynôme PP est bien un polynôme à coefficients réels. Or, nous avons démontré que X0=eiπ6X_0=e^{i\frac{\pi }{6}}; X1=ei2π3X_1=e^{i\frac{2\pi }{3}} ; X2=ei7π6X_2=e^{i\frac{7\pi }{6}} et X3=ei5π3X_3=e^{i\frac{5\pi }{3}} sont racines de PP, il en résulte que X0‾=e−iπ6\overline{X_0}=e^{-i\frac{\pi }{6}}; X1‾=e−i2π3\overline{X_1}=e^{-i\frac{2\pi }{3}} ; X2‾=e−i7π6\overline{X_2}=e^{-i\frac{7\pi }{6}} et X3‾=e−i5π3\overline{X_3}=e^{-i\frac{5\pi }{3}} sont également racines de PP. Nous avons maintenant les 88 racines de PP.
Nous pouvons donc factoriser PP.
Il s'ensuit que :
P(X)=(X−eiπ6)(X−e−iπ6)(X−ei2π3)(X−e−i2π3)(X−ei7π6)(X−e−i7π6)(X−ei5π3)(X−e−i5π3)P\left(X\right)=\left(X-e^{i\frac{\pi }{6}}\right)\left(X-e^{-i\frac{\pi }{6}}\right)\left(X-e^{i\frac{2\pi }{3}}\right)\left(X-e^{-i\frac{2\pi }{3}}\right)\left(X-e^{i\frac{7\pi }{6}}\right)\left(X-e^{-i\frac{7\pi }{6}}\right)\left(X-e^{i\frac{5\pi }{3}}\right)\left(X-e^{-i\frac{5\pi }{3}}\right)
P(X)=(X2−Xe−iπ6−Xeiπ6+eiπ6×e−iπ6)(X2−Xe−i2π3−Xei2π3+ei2π3×e−i2π3)(X2−Xe−i7π6−Xei7π6+ei7π6×e−i7π6)(X2−Xe−i5π3−Xei5π3+ei5π3×e−i5π3)P\left(X\right)=\left(X^2-Xe^{-i\frac{\pi }{6}}-Xe^{i\frac{\pi }{6}}+e^{i\frac{\pi }{6}}\times e^{-i\frac{\pi }{6}}\right)\left(X^2-Xe^{-i\frac{2\pi }{3}}-Xe^{i\frac{2\pi }{3}}+e^{i\frac{2\pi }{3}}\times e^{-i\frac{2\pi }{3}}\right)\left(X^2-Xe^{-i\frac{7\pi }{6}}-Xe^{i\frac{7\pi }{6}}+e^{i\frac{7\pi }{6}}\times e^{-i\frac{7\pi }{6}}\right)\left(X^2-Xe^{-i\frac{5\pi }{3}}-Xe^{i\frac{5\pi }{3}}+e^{i\frac{5\pi }{3}}\times e^{-i\frac{5\pi }{3}}\right)
P(X)=(X2−X(e−iπ6+eiπ6)+1)(X2−X(e−i2π3+ei2π3)+1)(X2−X(e−i7π6+ei7π6)+1)(X2−X(e−i5π3+ei5π3)+1)P\left(X\right)=\left(X^2-X\left(e^{-i\frac{\pi }{6}}+e^{i\frac{\pi }{6}}\right)+1\right)\left(X^2-X\left(e^{-i\frac{2\pi }{3}}+e^{i\frac{2\pi }{3}}\right)+1\right)\left(X^2-X\left(e^{-i\frac{7\pi }{6}}+e^{i\frac{7\pi }{6}}\right)+1\right)\left(X^2-X\left(e^{-i\frac{5\pi }{3}}+e^{i\frac{5\pi }{3}}\right)+1\right)
    Les formules d’Euler\red{\text{Les formules d'Euler}}
  • Pour tout x∈R{\color{blue}{x}}\in \mathbb{R}, on a : cos⁡(x)=eix+e−ix2\cos \left({\color{blue}{x}}\right)=\frac{e^{i{\color{blue}{x}}} +e^{-i{\color{blue}{x}}} }{2}
    • P(X)=(X2−2Xcos(π6) +1)(X2−2Xcos(2π3) +1)(X2−2Xcos(7π6) +1)(X2−2Xcos(5π3) +1)P\left(X\right)=\left(X^2-2X{\mathrm{cos} \left(\frac{\pi }{6}\right)\ }+1\right)\left(X^2-2X{\mathrm{cos} \left(\frac{2\pi }{3}\right)\ }+1\right)\left(X^2-2X{\mathrm{cos} \left(\frac{7\pi }{6}\right)\ }+1\right)\left(X^2-2X{\mathrm{cos} \left(\frac{5\pi }{3}\right)\ }+1\right)
    P(X)=(X2−2X×32+1)(X2−2X×(−12)+1)(X2−2X×(−32)+1)(X2−2X×12+1)P\left(X\right)=\left(X^2-2X\times \frac{\sqrt{3}}{2}+1\right)\left(X^2-2X\times \left(-\frac{1}{2}\right)+1\right)\left(X^2-2X\times \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+1\right)\left(X^2-2X\times \frac{1}{2}+1\right)
    Ainsi :
    P(X)=(X2−3X+1)(X2+X+1)(X2+3X+1)(X2−X+1)P\left(X\right)=\left(X^2-\sqrt{3}X+1\right)\left(X^2+X+1\right)\left(X^2+\sqrt{3}X+1\right)\left(X^2-X+1\right)

    Question 2

    Montrer que le polynôme X2023+X2022−πX^{2023}+X^{2022}-\pi admet au moins une racine sur R\mathbb{R} .

    Correction
    On introduit une fonction ff :: ↦x2023+x2022−π\mapsto x^{2023}+x^{2022}-\pi .
    ff est une fonction polynomiale donc ff est continue sur R\mathbb{R } .
    De plus, f(0)=−πf\left(0\right)=-\pi et lim⁡x→+∞f(x)=+∞\lim\limits_{x\to +\infty } f\left(x\right)=+\infty .
    D'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe alors un réel α∈[0;+∞[\alpha \in \left[0;+\infty\right[ tel que f(α)=0f\left(\alpha\right)=0 .
    Il en résulte donc que le polynôme X2023+X2022−πX^{2023}+X^{2022}-\pi admet au moins une racine sur R\mathbb{R} .