Résolutions des équations algébriques

Résolutions des équations algébriques.

Définition


On considère les quatre nombres complexes aa, bb, cc et dd.
Equationdupremierdegreˊ{\color{green}{\bf{\blacktriangledown \,\, Equation \,\, du \,\, premier \,\, degré}}}
L'équation az+b=0az+b=0, avec a0a \neq 0, admet une racine z=baz = - \dfrac{b}{a}.
Equationdudeuxieˋmedegreˊ{\color{green}{\bf{\blacktriangledown \blacktriangledown \,\, Equation \,\, du \,\, deuxième \,\, degré}}}
On considère l'équation az2+bz+c=0az^2+bz+c=0, avec a0a\neq0. On pose Δ=b24acC\Delta = b^2-4ac \in \mathbb{C}, ainsi que Δ=δ2\Delta = \delta^2, avec δC\delta \in \mathbb{C}.
Siδestnul{\color{black}{\bf{\,\,\,\,\,\, \blacklozenge \,\, Si \,\, \delta \,\, est \,\, nul}}}
Alors dans ce cas il n'y a qu'une seule racine, dite double, et qui est : z=b2az = \dfrac{-b}{2a}.
Siδestnonnul{\color{black}{\bf{\,\,\,\,\,\, \blacklozenge \blacklozenge \,\, Si \,\, \delta \,\, est \,\, non \,\, nul}}}
Alors dans ce cas il y a deux racines distinctes, et qui sont : z=b+δ2az = \dfrac{-b+\delta}{2a} et z=bδ2az = \dfrac{-b-\delta}{2a}.
Equationdutroisieˋmedegreˊ{\color{green}{\bf{\blacktriangledown \blacktriangledown \blacktriangledown \,\, Equation \,\, du \,\, troisième \,\, degré}}}
On considère l'équation az3+bz2+cz+d=0az^3+bz^2+cz+d=0, avec a0a\neq0.
On commence par diviser cette équation par a0a \neq 0, et on obtient :
z3+baz2+caz+da=0z^3+\dfrac{b}{a}z^2+\dfrac{c}{a}z+\dfrac{d}{a}=0
Puis, on pose z=xb3az = x - \dfrac{b}{3a} afin d'éliminer le terme de degré 22. On a alors :
(xb3a)3+ba(xb3a)2+ca(xb3a)+da=0\left( x - \dfrac{b}{3a} \right)^3+\dfrac{b}{a}\left( x - \dfrac{b}{3a} \right)^2+\dfrac{c}{a}\left( x - \dfrac{b}{3a} \right)+\dfrac{d}{a}=0
On aboutit alors à :
x3+px+q=0avec:{p=3acb23a2q=2b327a3bca2+dax^3 + px + q = 0 \,\,\,\,\,\, \mathrm{avec} \, : \,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} p & = & \dfrac{3ac - b^2}{3a^2} \\ & & \\ q & = & \dfrac{2b^3}{27a^3} - \dfrac{bc}{a^2} + \dfrac{d}{a} &\end{array} \right.
La méthode de CardanCardan (mais elle fut découverte par NiccoloˋFontanaNiccolò \, Fontana dit TartagliaTartaglia en 15351535) conciste à poser x=u+vx = u+v. On obtient alors :
u3+v3+(u+v)(3uv+p)+q=0u^3 + v^3 + (u+v)(3uv + p) + q = 0
Et cette égalité est vérifiée si :
{u3+v3=quv=p3\left\lbrace \begin{array}{rcl} u^3+v^3 & = & - q \\ & & \\ uv & = & -\dfrac{p}{3} \\ \end{array} \right.
La dernière relation est équivalente à u3v3=p327u^3v^3 = -\dfrac{p^3}{27}.
On connais donc la somme S=u3+v3S = u^3+v^3 ainsi que le produit P=u3×v3P = u^3 \times v^3. Donc, u3u^3 et v3v^3 sont donc solution de de l'équation du second degré, de l'inconnue tt, suivante :
t2+St+P=0t2+(u3+v3)t+u3v3=0t2qtp327=0t^2 + St + P = 0 \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, t^2 + (u^3+v^3)t + u^3 v^3 = 0 \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, t^2 - qt - \dfrac{p^3}{27} = 0
Le discriminant associé est alors q2+4p327q^2+\dfrac{4p^3}{27} et suivant son signe, on aura des racines réelles ou non.
Dans le cas particulier ou pp et qq sont deux nombres réels, on a toujours l'existence d'au moins une racine réelle. On a alors :
\looparrowright 1er cas : si q2+4p327>0q^2+\dfrac{4p^3}{27} > 0
Dans ce cas l'équation t2qtp327=0t^2 - qt - \dfrac{p^3}{27} = 0 à deux racines réelles distinctes, notées t1t_1 et t2t_2, qui sont les expressions de u3u^3 et v3v^3, et de fait on en déduit les expressions respectives de uu et vv :
{t1=u3=q+q2+4p3272=q2+q24+p327t2=v3=qq2+4p3272=q2q24+p327{u=q2+q24+p3273v=q2q24+p3273\left\lbrace \begin{array}{rccclcl} t_1 & = & u^3 & = & \dfrac{q + \sqrt{q^2+\dfrac{4p^3}{27}}}{2} & = & -\dfrac{q}{2} + \sqrt{\dfrac{q^2}{4} + \dfrac{p^3}{27}} \\ & & & & & & \\ t_2 & = & v^3 & = & \dfrac{q - \sqrt{q^2+\dfrac{4p^3}{27}}}{2} & = & -\dfrac{q}{2} - \sqrt{\dfrac{q^2}{4} + \dfrac{p^3}{27}} \\ \end{array} \right. \,\,\, \Longrightarrow \,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} u & = & \sqrt[3]{-\dfrac{q}{2} + \sqrt{\dfrac{q^2}{4} + \dfrac{p^3}{27}}} \\ & & \\ v & = & \sqrt[3]{-\dfrac{q}{2} - \sqrt{\dfrac{q^2}{4} + \dfrac{p^3}{27}}} \\ \end{array} \right.
L'équation x3+px+q=0x^3 + px + q = 0 à trois racines. Dans notre cas, l'une est réelle x1=u+vx_1 = u+v, et les deux autres x2x_2 et x3x_3 sont complexes conjuguées l'une de l'autre x2=x3\overline{x_2} = x_3. Ce qui implique que :
x1=u+v=q2+q24+p3273+q2q24+p3273Rx_1 = u + v = \sqrt[3]{-\dfrac{q}{2} + \sqrt{\dfrac{q^2}{4} + \dfrac{p^3}{27}}} + \sqrt[3]{-\dfrac{q}{2} - \sqrt{\dfrac{q^2}{4} + \dfrac{p^3}{27}}} \in \mathbb{R}
Ceci nous permet d'écrire que la solution réelle de l'équation initiale az3+bz2+cz+d=0az^3+bz^2+cz+d=0 est z1z_1 et est donnée par :
z1=x1b3a=q2+q24+p3273+q2q24+p3273b3az_1 = x_1 - \dfrac{b}{3a} = \sqrt[3]{-\dfrac{q}{2} + \sqrt{\dfrac{q^2}{4} + \dfrac{p^3}{27}}} + \sqrt[3]{-\dfrac{q}{2} - \sqrt{\dfrac{q^2}{4} + \dfrac{p^3}{27}}} - \dfrac{b}{3a}
C'est le cas pour le polynôme hh d'expression X31X^3-1 dont le graphe est :
Dans ce cas précis, les racines de hh sont : 11, 1+i32\dfrac{-1 + i \sqrt{3}}{2} et 1i32\dfrac{-1 - i \sqrt{3}}{2}.
\looparrowright \looparrowright 2ième cas : si q2+4p327<0q^2+\dfrac{4p^3}{27} < 0
Dans ce cas l'équation t2qtp327=0t^2 - qt - \dfrac{p^3}{27} = 0 à deux racines complexes distinctes conjuguées l'une de l'autre, notées t1t_1 et t2t_2. Donc u3u^3 et v3v^3 sont deux nombres complexes conjugués l'un de l'autre. Il s'ensuit que uu et vv sont également deux nombres complexes conjugués l'un de l'autre. Comme la somme de deux sont deux nombres complexes conjugués l'un de l'autre vaut deux fois leur partie réelle, on a donc u+vu+v qui est une quantité purement réelle. Donc, aux trois déterminations possibles de uu (car il y a trois racines cubiques possibles pour le complexe u3u^3), on obtient trois valeurs réelles différentes pour x=u+vx = u+v, et de fait, également trois valeurs réelles différentes pour z=xb3az = x - \dfrac{b}{3a}. Cette situation correspond à l'existence de trois racines réelles différentes.
C'est le cas pour le polynôme ff d'expression X34X2X+4X^3-4X^2-X+4 dont le graphe est :

Dans ce cas précis, les racines de ff sont : 1-1, 11 et 44.
\looparrowright \looparrowright \looparrowright 3ième cas : si q2+4p327=0q^2+\dfrac{4p^3}{27} = 0
Dans ce cas l'équation t2qtp327=0t^2 - qt - \dfrac{p^3}{27} = 0 à une racine double, et u3=v3=q2u^3 = v^3 = -\dfrac{q}{2}. Si uu est réelle et vaut u=αRu = \alpha \in \mathbb{R} alors v=u=αv = u = \alpha et l'une des racines recherchées est x=u+v=2αx = u + v = 2\alpha. On trouve que l'autre racine est α-\alpha (qui est une racine double).
C'est le cas pour le polynôme gg d'expression X3+3X+2-X^3+3X+2 dont le graphe est :

Dans ce cas précis, les racines de gg sont : 1-1, 1-1 (1-1 est la racine double) et 22.
Equationduquatrieˋmedegreˊ{\color{green}{\bf{\blacktriangledown \blacktriangledown \blacktriangledown \blacktriangledown \,\, Equation \,\, du \,\, quatrième \,\, degré}}}
La méthode de FerrariFerrari fût imaginée et mise au point en 15401540, par le mathématicien italien LudovicoFerrari(15221565)Ludovico \, Ferrari \,\, (1522 - 1565). Elle permet de résoudre par radicaux les équations du quatrième degré.
On commence par diviser tous les coefficients de l'équation initiale par le coefficient dominant afin de normaliser l'équation initiale pour obtenir une équation du type :
z4+az3+bz2+cz+d=0z^4 + az^3 + bz^2 + cz + d = 0
Il est possible de factoriser cette équation. On pose λK\lambda \in \mathbb{K}, et on a la factorisation suivante :
(z2+a2z+λ)2[(2λb+a24)z2+(aλc)z+λ2d]\left( z^2 + \dfrac{a}{2}z + \lambda \right)^2 - \left[ \left( 2\lambda - b + \dfrac{a^2}{4} \right)z^2 + \left( a \lambda - c \right)z + \lambda^2 - d\right]
Puis, on détermine λ\lambda pour que l'expression (2λb+a24)z2+(aλc)z+λ2d\left( 2\lambda - b + \dfrac{a^2}{4} \right)z^2 + \left( a \lambda - c \right)z + \lambda^2 - d soit un carreˊparfait{\color{red}{\bf{carré \,\, parfait}}}. Il s'agit d'un polynôme du second degré en zz, dont le discriminant doit être nul. Ceci nous conduit à la condition :
(aλc)24(2λb+a24)(λ2d)=0\left( a \lambda - c \right)^2 - 4\left( 2\lambda - b + \dfrac{a^2}{4} \right) \left(\lambda^2 - d\right) = 0
Il s'agit d'une équation du troisième degré. Pour chacune des valeurs de λ\lambda alors trouvées, le terme (z2+a2z+λ)2\left( z^2 + \dfrac{a}{2}z + \lambda \right)^2 est un produit de facteurs du second degré, et la résolution devient possible, même si cela est (souvent) laborieux.
Equationdedegreˊsupeˊrieuroueˊgalaˋcinq{\color{green}{\bf{\blacktriangledown \blacktriangledown \blacktriangledown \blacktriangledown \blacktriangledown \,\, Equation \,\, de \,\, degré \,\, supérieur \,\, ou \,\, égal \,\, à \,\, cinq}}}
Depuis les travaux du mathématicien français EvaristeGalois (18111832)Evariste \, Galois \,\ (1811-1832), on sait qu'il est impossible{\color{red}{\bf{impossible}}} de trouver des formules générales de résolution pour des équations de degré supérieur ou égal à cinq.