Polynômes & Décomposition en éléments simples

Pour vérifier ses classiques - Exercice 1

45 min
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Un exemple plutôt classique, d'abord dans R\mathbb{R}, puis dans C\mathbb{C}.
Question 1
Soit XX une indéterminée.
Soit FF la fraction rationnelle suivante :
F(X)=1X(X3+1)F(X) =\dfrac{1}{X(X^3+1)}
On note par ii le nombre complexe imaginaire pur tel que i2=−1i^2=-1 et on notera par jj le nombre complexe suivant :
j=−1+i32j = \dfrac{-1 + i \sqrt{3}}{2}

Décomposer FF en éléments simples dans R{\color{red}{\mathbb{R}}}.

Correction
Soit aa et bb deux nombres réels.
On sait que :
a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)a^3 + b^3 = (a + b) (a^2 - ab + b^2)
Donc :
X3+1=X3+13=(X+1)(X2−X×1+12)=(X+1)(X2−X+1)X^3+1 = X^3 + 1^3 = (X + 1) (X^2 - X\times1 + 1^2) = (X + 1)(X^2-X+1)
Le discriminant Δ\Delta associé au polynôme X2−X+1X^2-X+1 est Δ=(−1)2−4×1×1=−3<0\Delta = (-1)^2 - 4 \times 1 \times 1 = -3 < 0. Donc ce polynôme X2−X+1X^2-X+1 n'est pas factorisable dans R\mathbb{R}. On a donc :
F(X)=1X(X3+1)=1X(X+1)(X2−X+1)F(X) = \dfrac{1}{X(X^3+1)} = \dfrac{1}{X(X + 1)(X^2-X+1)}
La décomposition en éléments simples de FF est donc de la forme :
F(X)=1X(X3+1)=1X(X+1)(X2−X+1)=AX+BX+1+CX+DX2−X+1F(X) = \dfrac{1}{X(X^3+1)} = \dfrac{1}{X(X + 1)(X^2-X+1)} = \dfrac{A}{X} + \dfrac{B}{X+1} + \dfrac{CX+D}{X^2-X+1}
Donc :
XF(X)=1X3+1=1(X+1)(X2−X+1)=A+XBX+1+X(CX+D)X2−X+1XF(X) = \dfrac{1}{X^3+1} = \dfrac{1}{(X + 1)(X^2-X+1)} = A + \dfrac{XB}{X+1} + \dfrac{X(CX+D)}{X^2-X+1}
Posons X=0X=0 dans l'expression précédente. On a alors :
103+1=A+0×B0+1+0×(C×0+D)02−0+1   ⟺   1=A+0+0   ⟺   A=1\dfrac{1}{0^3+1} = A + \dfrac{0 \times B}{0+1} + \dfrac{0 \times (C \times 0+D)}{0^2-0+1} \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, 1 = A + 0 + 0 \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, A = 1
Donc :
F(X)=1X(X3+1)=1X(X+1)(X2−X+1)=1X+BX+1+CX+DX2−X+1F(X) = \dfrac{1}{X(X^3+1)} = \dfrac{1}{X(X + 1)(X^2-X+1)} = \dfrac{1}{X} + \dfrac{B}{X+1} + \dfrac{CX+D}{X^2-X+1}
Donc :
(X+1)F(X)=X+1X(X3+1)=1X(X2−X+1)=X+1X+B+(X+1)(CX+D)X2−X+1(X+1)F(X) = \dfrac{X+1}{X(X^3+1)} = \dfrac{1}{X(X^2-X+1)} = \dfrac{X+1}{X} + B + \dfrac{(X+1)(CX+D)}{X^2-X+1}
Posons X=−1X=-1 dans l'expression précédente. On a alors :
1(−1)×((−1)2−(−1)+1)=−1+1−1+B+(−1+1)(C(−1)+D)(−1)2−(−1)+1\dfrac{1}{(-1) \times ((-1)^2-(-1)+1)} = \dfrac{-1+1}{-1} + B + \dfrac{(-1+1)(C(-1)+D)}{(-1)^2-(-1)+1}
Ce qui nous donne :
1(−1)×(1+1+1)=0+B+0   ⟺   −13=B\dfrac{1}{(-1) \times (1+1+1)} = 0 + B + 0 \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, -\dfrac{1}{3} = B
Donc :
F(X)=1X(X3+1)=1X(X+1)(X2−X+1)=1X−13(X+1)+CX+DX2−X+1F(X) = \dfrac{1}{X(X^3+1)} = \dfrac{1}{X(X + 1)(X^2-X+1)} = \dfrac{1}{X} - \dfrac{1}{3(X+1)} + \dfrac{CX+D}{X^2-X+1}
Posons X=2X=2 et on trouve :
F(2)=12×(23+1)=12−13(2+1)+2C+D22−2+1   ⟺   118=12−19+2C+D3   ⟺   16=32−13+2C+DF(2) = \dfrac{1}{2 \times (2^3+1)} = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3(2+1)} + \dfrac{2C+D}{2^2-2+1} \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \dfrac{1}{18} = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{9} + \dfrac{2C+D}{3} \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \dfrac{1}{6} = \dfrac{3}{2} - \dfrac{1}{3} + 2C+D
D'où :
16+13−32=2C+D\dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{3} - \dfrac{3}{2} = 2C+D
Ce qui nous donne :
2C+D=−12C+D = -1
Posons maintenant X=−2X=-2 et on trouve :
F(−2)=1(−2)×((−2)3+1)=1−2−13(−2+1)+−2C+D(−2)2−(−2)+1   ⟺   114=−12+13+−2C+D7F(-2) = \dfrac{1}{(-2) \times ((-2)^3+1)} = \dfrac{1}{-2} - \dfrac{1}{3(-2+1)} + \dfrac{-2C+D}{(-2)^2-(-2)+1} \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \dfrac{1}{14} = -\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{-2C+D}{7}
Soit :
714=−72+73−2C+D   ⟺   12+72−73=−2C+D   ⟺   4−73=−2C+D\dfrac{7}{14} = -\dfrac{7}{2} + \dfrac{7}{3} -2C+D \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \dfrac{1}{2} + \dfrac{7}{2} - \dfrac{7}{3} = -2C+D \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, 4 - \dfrac{7}{3} = -2C+D
Ce qui nous donne :
−2C+D=53-2C+D = \dfrac{5}{3}
On en déduit alors que :
2C+D−2C+D=−1+53   ⟺   2D=23   ⟺   D=132C+D-2C+D = -1 + \dfrac{5}{3} \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, 2D = \dfrac{2}{3} \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, D = \dfrac{1}{3}
Or, on sait que 2C+D=−12C+D = -1, soit 2C=−1−D2C = - 1 - D. Donc :
2C=−1−13   ⟺   2C=−43   ⟺   C=−232C = - 1 - \dfrac{1}{3} \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, 2C = - \dfrac{4}{3} \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, C = - \dfrac{2}{3}
Ainsi, la décomposition en éléments simples de FF est la suivante :
F(X)=1X(X3+1)=1X(X+1)(X2−X+1)=1X−13(X+1)+−23X+13X2−X+1F(X) = \dfrac{1}{X(X^3+1)} = \dfrac{1}{X(X + 1)(X^2-X+1)} = \dfrac{1}{X} - \dfrac{1}{3(X+1)} + \dfrac{- \dfrac{2}{3}X+\dfrac{1}{3}}{X^2-X+1}
Soit encore :
F(X)=1X(X3+1)=1X(X+1)(X2−X+1)=1X−13(X+1)+−2X+13(X2−X+1)F(X) = \dfrac{1}{X(X^3+1)} = \dfrac{1}{X(X + 1)(X^2-X+1)} = \dfrac{1}{X} - \dfrac{1}{3(X+1)} + \dfrac{-2X+1}{3(X^2-X+1)}
Finalement, dans R\mathbb{R}, la décomposition en éléments simples de FF est donnée par l'expression :
F(X)=1X(X3+1)=1X−13(X+1)−2X−13(X2−X+1){\color{red}{\boxed{F(X) = \dfrac{1}{X(X^3+1)} = \dfrac{1}{X} - \dfrac{1}{3(X+1)} - \dfrac{2X-1}{3(X^2-X+1)} }}}
Question 2

Décomposer FF en éléments simples dans C{\color{red}{\mathbb{C}}}.

Correction
Dans C\mathbb{C}, le polynôme X2−X+1X^2-X+1 admet les deux racines complexes suivantes :
{X1=1+i32X2=1−i32   ⟺   {X1=−−1−i32X2=−−1+i32   ⟺   {X1=−jˉX2=−j\left\lbrace \begin{array}{rcl} X_1 & = & \dfrac{1+i\sqrt{3}}{2} \\ X_2 & = & \dfrac{1-i\sqrt{3}}{2} \\ \end{array} \right. \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} X_1 & = & -\dfrac{-1-i\sqrt{3}}{2} \\ X_2 & = & -\dfrac{-1+i\sqrt{3}}{2} \\ \end{array} \right. \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} X_1 & = & -\bar{j} \\ X_2 & = & -j \\ \end{array} \right.
Donc, on en déduit que :
X2−X+1=(X−(−jˉ))(X−(−j))=(X+j)(X+jˉ)X^2-X+1 = \big( X - (-\bar{j}) \big) \big( X - (-j) \big) = (X + j)(X + \bar{j})
Donc, on a :
F(X)=1X(X3+1)=1X(X+1)(X+j)(X+jˉ)F(X) = \dfrac{1}{X(X^3+1)} = \dfrac{1}{X(X + 1)(X + j)(X + \bar{j})}
La décomposition en éléments simples de FF est donc de la forme :
F(X)=1X(X3+1)=1X(X+1)(X2−X+1)=AX+BX+1+CX+j+DX+jˉF(X) = \dfrac{1}{X(X^3+1)} = \dfrac{1}{X(X + 1)(X^2-X+1)} = \dfrac{A}{X} + \dfrac{B}{X+1} + \dfrac{C}{X + j} + \dfrac{D}{X + \bar{j}}
D'où :
XF(X)=1X3+1=1(X+1)(X2−X+1)=A+XBX+1+XCX+j+XDX+jˉXF(X) = \dfrac{1}{X^3+1} = \dfrac{1}{(X + 1)(X^2-X+1)} = A + \dfrac{XB}{X+1} + \dfrac{XC}{X + j} + \dfrac{XD}{X + \bar{j}}
En posant X=0X=0, on obtient :
103+1=A+0×B0+1+0×C0+j+0×D0+jˉ   ⟺   A=1\dfrac{1}{0^3+1} = A + \dfrac{0 \times B}{0+1} + \dfrac{0 \times C}{0 + j} + \dfrac{0\times D}{0 + \bar{j}} \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, A = 1
Donc :
F(X)=1X(X3+1)=1X(X+1)(X2−X+1)=1X+BX+1+CX+j+DX+jˉF(X) = \dfrac{1}{X(X^3+1)} = \dfrac{1}{X(X + 1)(X^2-X+1)} = \dfrac{1}{X} + \dfrac{B}{X+1} + \dfrac{C}{X + j} + \dfrac{D}{X + \bar{j}}
Ainsi :
(X+1)F(X)=(X+1)X(X3+1)=1X(X2−X+1)=(X+1)X+B+(X+1)CX+j+(X+1)DX+jˉ(X + 1)F(X) = \dfrac{(X + 1)}{X(X^3+1)} = \dfrac{1}{X(X^2-X+1)} = \dfrac{(X + 1)}{X} + B + \dfrac{(X + 1)C}{X + j} + \dfrac{(X + 1)D}{X + \bar{j}}
Puis, on pose X=−1X = -1. On a alors :
(X+1)F(X)=(X+1)X(X3+1)=1(−1)((−1)2−(−1)+1)=0+B+0+0(X + 1)F(X) = \dfrac{(X + 1)}{X(X^3+1)} = \dfrac{1}{(-1)((-1)^2-(-1)+1)} = 0 + B + 0 + 0
Soit :
B=−13B = -\dfrac{1}{3}
Donc on a :
F(X)=1X(X3+1)=1X(X+1)(X+j)(X+jˉ)=1X−13(X+1)+CX+j+DX+jˉF(X) = \dfrac{1}{X(X^3+1)} = \dfrac{1}{X(X + 1)(X + j)(X + \bar{j})} = \dfrac{1}{X} - \dfrac{1}{3(X+1)} + \dfrac{C}{X + j} + \dfrac{D}{X + \bar{j}}
De ceci, on en déduit que :
(X+j)F(X)=1X(X+1)(X+jˉ)=(X+j)X−(X+j)3(X+1)+C+(X+j)DX+jˉ(X + j)F(X) = \dfrac{1}{X(X + 1)(X + \bar{j})} = \dfrac{(X + j)}{X} - \dfrac{(X + j)}{3(X+1)} + C + \dfrac{(X + j)D}{X + \bar{j}}
Posons alors X=−jX = -j. Dans ce cas, on a :
1−j(−j+1)(−j+jˉ)=(−j+j)−j−(−j+j)3(−j+1)+C+(−j+j)D−j+jˉ\dfrac{1}{-j(-j + 1)(-j + \bar{j})} = \dfrac{(-j + j)}{-j} - \dfrac{(-j + j)}{3(-j+1)} + C + \dfrac{(-j + j)D}{-j + \bar{j}}
Soit :
1j(1−j)(j−jˉ)=0−0+C+0\dfrac{1}{j(1-j)(j - \bar{j})} = 0 - 0 + C +0
Avec :
j−jˉ=2i32=i3j - \bar{j} = 2i\dfrac{\sqrt{3}}{2} = i \sqrt{3}
Et :
1−j=1−−1+i32=22−−1+i32=22+1−i32=2+1−i32=3−i321 - j = 1 - \dfrac{-1 + i \sqrt{3}}{2} = \dfrac{2}{2} - \dfrac{-1 + i \sqrt{3}}{2} = \dfrac{2}{2} + \dfrac{1 - i \sqrt{3}}{2} = \dfrac{2+1 - i \sqrt{3}}{2} = \dfrac{3 - i \sqrt{3}}{2}
Donc :
j(1−j)=−1+i32×3−i32=−3+i3+3i3+34=4i34=i3j(1-j) = \dfrac{-1 + i \sqrt{3}}{2} \times \dfrac{3 - i \sqrt{3}}{2} = \dfrac{-3 + i \sqrt{3} + 3i\sqrt{3} + 3}{4} = \dfrac{4i\sqrt{3}}{4} = i\sqrt{3}
Donc :
1j(1−j)(j−jˉ)=1i3i3=−13\dfrac{1}{j(1-j)(j - \bar{j})} = \dfrac{1}{i\sqrt{3}i\sqrt{3}} = - \dfrac{1}{3}
On obtient alors :
C=−13C = - \dfrac{1}{3}
A ce stade, nous avons donc :
F(X)=1X(X3+1)=1X(X+1)(X+j)(X+jˉ)=1X−13(X+1)−13(X+j)+DX+jˉF(X) = \dfrac{1}{X(X^3+1)} = \dfrac{1}{X(X + 1)(X + j)(X + \bar{j})} = \dfrac{1}{X} - \dfrac{1}{3(X+1)} - \dfrac{1}{3(X + j)} + \dfrac{D}{X + \bar{j}}
Posons X=1X = 1, donc :
F(X=1)=11(13+1)=11−13(1+1)−13(1+j)+D1+jˉF(X=1) = \dfrac{1}{1(1^3+1)} = \dfrac{1}{1} - \dfrac{1}{3(1+1)} - \dfrac{1}{3(1 + j)} + \dfrac{D}{1 + \bar{j}}
Soit encore :
12=1−16−13(1+j)+D1+jˉ   ⟺   −13=−13(1+j)+D1+jˉ   ⟺   1=11+j−3D1+jˉ\dfrac{1}{2} = 1 - \dfrac{1}{6} - \dfrac{1}{3(1 + j)} + \dfrac{D}{1 + \bar{j}} \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, -\dfrac{1}{3} = - \dfrac{1}{3(1 + j)} + \dfrac{D}{1 + \bar{j}} \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, 1 = \dfrac{1}{1 + j} - \dfrac{3D}{1 + \bar{j}}
D'où :
3D1+jˉ=11+j−1   ⟺   3D1+jˉ=−1−i32   ⟺   3D1+jˉ=jˉ   ⟺   3D=jˉ(1+jˉ)   ⟺   3D=−1\dfrac{3D}{1 + \bar{j}} = \dfrac{1}{1 + j} - 1 \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \dfrac{3D}{1 + \bar{j}} = \dfrac{-1 - i \sqrt{3}}{2} \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \dfrac{3D}{1 + \bar{j}} = \bar{j} \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, 3D = \bar{j} (1+\bar{j}) \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, 3D = -1
Ce qui nous donne :
D=−13D = - \dfrac{1}{3}
Finalement, dans C\mathbb{C}, la décomposition en éléments simples de FF est donnée par l'expression :
F(X)=1X(X3+1)=1X(X+1)(X+j)(X+jˉ)=1X−13(X+1)−13(X+j)−13(X+jˉ){\color{red}{\boxed{F(X) = \dfrac{1}{X(X^3+1)} = \dfrac{1}{X(X + 1)(X + j)(X + \bar{j})} = \dfrac{1}{X} - \dfrac{1}{3(X+1)} - \dfrac{1}{3(X + j)} - \dfrac{1}{3(X + \bar{j})} }}}