Pour débuter - Exercice 1

On a la séquence calculatoire suivante :

Donc, on en déduit que :
$${\color{red}{\boxed{ P(x) = (6x^2 - 2x - 3) Q(x) + 2x+4 }}}$$

On a la séquence calculatoire suivante :

Donc, on en déduit que :
$${\color{red}{\boxed{ P(x) = (x^2 + x - 2) Q(x) + 0 }}}$$

On a la séquence calculatoire suivante :

Donc, on en déduit que :
$${\color{red}{\boxed{ P(x) = (2x^3 - 6x^2 + 2) Q(x) + (-1) }}}$$

D'après la question précédente, on a :
$$P(x) = (2x^3 - 6x^2 + 2) Q(x) + (-1)$$
Soit, pour $$x \neq -3$$ :
$$\dfrac{P(x)}{Q(x)} = \dfrac{(2x^3 - 6x^2 + 2) Q(x) + (-1)}{Q(x)}$$
En scindant en deux parties :
$$\dfrac{P(x)}{Q(x)} = \dfrac{(2x^3 - 6x^2 + 2) Q(x) }{Q(x)} + \dfrac{(-1)}{Q(x)}$$
Soit encore :
$$\dfrac{P(x)}{Q(x)} = 2x^3 - 6x^2 + 2 - \dfrac{1}{Q(x)}$$
Finalement, on en déduit que :
$${\color{red}{\boxed{ F(x) = \dfrac{P(x)}{Q(x)} = 2x^3 - 6x^2 + 2 - \dfrac{1}{x+3} }}}$$

Nous allons utiliser la technique de la racine évidente, puis une méthode de factorisation très efficace, et rapide, la $${\color{red}{\bf{méthode \,\, de \,\, Horner }}}$$.
Testons la valeur $$x = -1$$. On a alors :
$$P(x=-1) = (-1)^3+5\times(-1)+6 = -1 -5 + 6 = -6 + 6 = 0$$.
Ainsi, $$x = -1$$ est une racine évidente.
La méthode de Horner consiste à construire un tableau de trois lignes. Dans la ligne du haut, nous allons indiquer les coefficients du $${\color{blue}{\bf{polynôme \,\, à \,\, factoriser}}}$$, et dans l'ordre des puissances décroissantes. Il faudra indiquer un $$0$$ si une puissance n'est pas représentée dans le polynôme.
Dans la deuxième ligne, première colonne, on indiquera $${\color{green}{\bf{la \,\, racine \,\, évidente}}}$$ trouvée.
Puis dans la troisième ligne apparaitrons $${\color{red}{\bf{les \,\, coefficients \,\, d'un \,\, polynôme}}}$$ $$Q$$, tel que $$P = (x - (-1))Q = (x+1)Q$$. Avec la condition $$\deg(Q) = \deg(P) - 1$$.
Dans notre cas $$\deg(P) = 3$$ ce qui implique que $$\deg(Q) = 2$$.
On commence par recopier le premier coefficient (en bleu) du polynôme à factoriser (celui de la première ligne) dans la troisième ligne en dessous dans la même colonne (en rouge). Puis, on multiplie ce coefficient par la racine évidente, et le résultat se note dans la case se trouvant dans la deuxième ligne et dans la colonne suivante. A ce stade, on additionne les nombres se trouvant dans les cases des deux première ligne, et le résultat de cette addition s'inscrit la la même colonne mais dans la dernière ligne, donc en rouge. Et on recommence la même procédure avec ce nouveau nombre. Lorsque la procédure se termine, on doit obligatoirement trouver $${\color{black}{\bf{0}}}$$ dans la dernière case, à la croisée de la dernière colonne et de la dernière ligne.
On a alors :
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline & {\color{blue}{1}} & {\color{blue}{0}} & {\color{blue}{5}} & {\color{blue}{6}} \\ \hline {\color{green}{-1}} & & {\color{red}{1}} \times {\color{green}{-1}} = -1 & {\color{red}{-1}} \times {\color{green}{-1}} = 1 & {\color{red}{6}} \times {\color{green}{-1}} = -6 \\ \hline & {\color{red}{1}} & {\color{blue}{0}} + (-1) = {\color{red}{-1}} & {\color{blue}{5}} + 1 = {\color{red}{6}} & {\color{blue}{6}} + (-6) = {\color{black}{\bf{0}}} \\ \hline \end{array}$$
Les trois coefficients en rouge se trouvant dans la troisième et dernière ligne forment le polynôme $$Q$$ selon les puissances décroissantes.
On a donc :
$$Q(x) = {\color{red}{1}}x^2 + {\color{red}{-1}}x + {\color{red}{6}}$$
A ce stade, nous pouvons écrire que :
$$P(x) = (x+1) (x^2-x+6)$$
Essayons de factoriser, dans $$\mathbb{R}$$, le polynôme $$Q = x^2-x+6$$. Le discriminant associé vaut :
$$\Delta_Q = (-1)^2 - 4 \times 1 \times 6 = 1 - 24 = -23 < 0$$
On en déduit que $$Q$$ n'est pas factorisable dans $$\mathbb{R}$$.
Finalement, la factorisation de $$P$$, dans $$\mathbb{R}$$, est donnée par l'expression suivante :
$${\color{red}{\boxed{P(x) = (x+1) (x^2-x+6) }}}$$

D'après la question précédente, on sait que $$P(x) = (x+1) (x^2-x+6)$$.
De plus, le discriminant associé au polynôme du second degré $$Q(x) = x^2-x+6$$ est $$\Delta_Q = -23 < 0$$. On a alors, avec $$i^2 = -1$$ :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} r_1 & = & \dfrac{-(-1) + i\sqrt{-(-23)}}{2} \\ & & \\ r_2 & = & \dfrac{-(-1) - i\sqrt{-(-23)}}{2} \\\end{array} \right. \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} r_1 & = & \dfrac{1 + i\sqrt{23}}{2} \\ & & \\ r_2 & = & \dfrac{1 - i\sqrt{23}}{2} \\\end{array} \right.$$
D'où :
$$Q(x) = x^2-x+6 = 1 \times \left( x - r_1 \right) \left( x - r_2 \right)$$
Finalement, la factorisation de $$P$$, dans $$\mathbb{C}$$, est donnée par l'expression suivante :
$${\color{red}{\boxed{P(x) = (x+1) \left( x - \dfrac{1 + i\sqrt{23}}{2} \right) \left( x - \dfrac{1 - i\sqrt{23}}{2} \right) }}}$$