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Polynômes & Décomposition en éléments simples

Pour consolider ses classiques - Exercice 1

50 min
75
Toujours un exemple classique, d'abord dans R\mathbb{R}, puis dans C\mathbb{C}. Cela permet de vérifier l'assimilations des méthodes.
Question 1
Soit XX une indéterminée.
Soit FF la fraction rationnelle suivante :
F(X)=1X3(X3+1)F(X) =\dfrac{1}{X^3(X^3+1)}
On note par ii le nombre complexe imaginaire pur tel que i2=−1i^2=-1 et on notera par jj le nombre complexe suivant :
j=−1+i32j = \dfrac{-1 + i \sqrt{3}}{2}

Décomposer FF en éléments simples dans R{\color{red}{\mathbb{R}}}.

Correction
Soit aa et bb deux nombres réels.
On sait que :
a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)a^3 + b^3 = (a + b) (a^2 - ab + b^2)
Donc :
X3+1=X3+13=(X+1)(X2−X×1+12)=(X+1)(X2−X+1)X^3+1 = X^3 + 1^3 = (X + 1) (X^2 - X\times1 + 1^2) = (X + 1)(X^2-X+1)
Le discriminant Δ\Delta associé au polynôme X2−X+1X^2-X+1 est Δ=(−1)2−4×1×1=−3<0\Delta = (-1)^2 - 4 \times 1 \times 1 = -3 < 0. Donc ce polynôme X2−X+1X^2-X+1 n'est pas factorisable dans R\mathbb{R}. On a donc :
F(X)=1X3(X3+1)=1X3(X+1)(X2−X+1)F(X) = \dfrac{1}{X^3(X^3+1)} = \dfrac{1}{X^3(X + 1)(X^2-X+1)}
La décomposition en éléments simples de FF est donc de la forme :
F(X)=1X3(X3+1)=1X3(X+1)(X2−X+1)=AX+BX2+CX3+DX+1+EX+FX2−X+1F(X) = \dfrac{1}{X^3(X^3+1)} = \dfrac{1}{X^3(X + 1)(X^2-X+1)} = \dfrac{A}{X} + \dfrac{B}{X^2} + \dfrac{C}{X^3} + \dfrac{D}{X+1} + \dfrac{EX+F}{X^2-X+1}
Donc :
X3F(X)=1X3+1=1(X+1)(X2−X+1)=AX2+BX+C+X3DX+1+X3(EX+F)X2−X+1X^3F(X) = \dfrac{1}{X^3+1} = \dfrac{1}{(X + 1)(X^2-X+1)} = AX^2 + BX + C + \dfrac{X^3D}{X+1} + \dfrac{X^3(EX+F)}{X^2-X+1}
Posons X=0X=0 dans l'expression précédente. On a alors :
103+1=A×02+B×0+C+03DX+1+03(E×0+F)02−0+1   ⟺   A=1\dfrac{1}{0^3+1} = A \times 0^2 + B \times 0 + C + \dfrac{0^3D}{X+1} + \dfrac{0^3(E \times 0+F)}{0^2-0+1} \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, A = 1
Donc :
F(X)=1X3(X3+1)=1X3(X+1)(X2−X+1)=AX+BX2+1X3+DX+1+EX+FX2−X+1F(X) = \dfrac{1}{X^3(X^3+1)} = \dfrac{1}{X^3(X + 1)(X^2-X+1)} = \dfrac{A}{X} + \dfrac{B}{X^2} + \dfrac{1}{X^3} + \dfrac{D}{X+1} + \dfrac{EX+F}{X^2-X+1}
Puis,
(X+1)F(X)=1X3(X2−X+1)=(X+1)AX+(X+1)BX2+X+1X3+D+(X+1)(EX+F)X2−X+1(X + 1)F(X) = \dfrac{1}{X^3(X^2-X+1)} = \dfrac{(X + 1)A}{X} + \dfrac{(X + 1)B}{X^2} + \dfrac{X + 1}{X^3} + D + \dfrac{(X + 1)(EX+F)}{X^2-X+1}
Posons X=−1X = -1, on a alors :
1(−1)3((−1)2−(−1)+1)=(−1+1)AX+(−1+1)BX2+−1+1X3+D+(−1+1)(−E+F)(−1)2−(−1)+1\dfrac{1}{(-1)^3((-1)^2-(-1)+1)} = \dfrac{(-1 + 1)A}{X} + \dfrac{(-1 + 1)B}{X^2} + \dfrac{-1 + 1}{X^3} + D + \dfrac{(-1 + 1)(-E+F)}{(-1)^2-(-1)+1}
Soit :
1−3=0+0+0+D+0   ⟺   D=−13\dfrac{1}{-3} = 0 + 0 + 0 + D + 0 \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, D = -\dfrac{1}{3}
D'où :
F(X)=1X3(X3+1)=1X3(X+1)(X2−X+1)=AX+BX2+1X3−13(X+1)+EX+FX2−X+1F(X) = \dfrac{1}{X^3(X^3+1)} = \dfrac{1}{X^3(X + 1)(X^2-X+1)} = \dfrac{A}{X} + \dfrac{B}{X^2} + \dfrac{1}{X^3} - \dfrac{1}{3(X+1)} + \dfrac{EX+F}{X^2-X+1}
Posons X=1X = 1, on a alors :
113(13+1)=A1+B12+113−13(1+1)+E1+F12−1+1   ⟺   12=A+B+1−16+E+F\dfrac{1}{1^3(1^3+1)} = \dfrac{A}{1} + \dfrac{B}{1^2} + \dfrac{1}{1^3} - \dfrac{1}{3(1+1)} + \dfrac{E1+F}{1^2-1+1} \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \dfrac{1}{2} = A + B + 1 - \dfrac{1}{6} + E+F
Donc :
A+B+E+F=−13A+B+E+F = - \dfrac{1}{3}
Dans la décomposition de F(X)F(X), posons X=2X=2 :
F(X=2)=123(23+1)=A2+B22+123−13(2+1)+2E+F22−2+1F(X=2) = \dfrac{1}{2^3(2^3+1)} = \dfrac{A}{2} + \dfrac{B}{2^2} + \dfrac{1}{2^3} - \dfrac{1}{3(2+1)} + \dfrac{2E+F}{2^2-2+1}
Soit :
172=A2+B4+18−19+2E+F3   ⟺   1=36A+18B+9−8+24(2E+F)\dfrac{1}{72} = \dfrac{A}{2} + \dfrac{B}{4} + \dfrac{1}{8} - \dfrac{1}{9} + \dfrac{2E+F}{3} \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, 1 = 36A+18B+9-8+24(2E+F)
Donc :
0=36A+18B+24(2E+F)   ⟺   0=6A+3B+4(2E+F)0 = 36A+18B+24(2E+F) \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, 0 = 6A+3B+4(2E+F)
Donc :
6A+3B+8E+4F=06A+3B+8E+4F = 0
Dans la décomposition de F(X)F(X), posons maintenant X=−2X=-2 :
F(X=−2)=1(−2)3((−2)3+1)=A−2+B(−2)2+1(−2)3−13(−2+1)+−2E+F(−2)2−(−2)+1F(X=-2) = \dfrac{1}{(-2)^3((-2)^3+1)} = \dfrac{A}{-2} + \dfrac{B}{(-2)^2} + \dfrac{1}{(-2)^3} - \dfrac{1}{3(-2+1)} + \dfrac{-2E+F}{(-2)^2-(-2)+1}
Soit encore :
156=−A2+B4−18+13+−2E+F7   ⟺   1=−28A+14B−7+563+8(−2E+F)\dfrac{1}{56} = -\dfrac{A}{2} + \dfrac{B}{4} - \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{-2E+F}{7} \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, 1 = -28A+14B-7+\dfrac{56}{3} + 8(-2E+F)
D'où :
−323=−28A+14B−16E+8F-\dfrac{32}{3} = -28A+14B-16E+8F
Ou encore, en multipliant par −3-3 :
84A−42B+48E−24F=32   ⟺   42A−21B+24E−12F=1684A-42B+48E-24F = 32 \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, 42A-21B+24E-12F = 16
Dans la décomposition de F(X)F(X), posons cette fois X=3X=3 :
F(X=3)=133(33+1)=A3+B32+133−13(3+1)+3E+F32−3+1F(X=3) = \dfrac{1}{3^3(3^3+1)} = \dfrac{A}{3} + \dfrac{B}{3^2} + \dfrac{1}{3^3} - \dfrac{1}{3(3+1)} + \dfrac{3E+F}{3^2-3+1}
Ce qui nous donne :
1756=A3+B9+127−112+3E+F7   ⟺   1=252A+84B+28−63+108(3E+F)\dfrac{1}{756} = \dfrac{A}{3} + \dfrac{B}{9} + \dfrac{1}{27} - \dfrac{1}{12} + \dfrac{3E+F}{7} \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, 1 = 252A + 84B + 28 - 63 + 108(3E+F)
D'où :
1+63−28=252A+84B+108(3E+F)   ⟺   36=252A+84B+324E+108F1+63-28 = 252A + 84B + 108(3E+F) \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, 36 = 252A + 84B + 324E + 108F
Ce qui nous donne :
21A+7B+27E+9F=321A + 7B + 27E + 9F = 3
On a alors les 4 équations suivantes :
{A+B+E+F=−136A+3B+8E+4F=042A−21B+24E−12F=1621A+7B+27E+9F=3\left\lbrace \begin{array}{rcr} A + B + E + F & = & - \dfrac{1}{3} \\ 6A + 3B + 8E + 4F & = & 0 \\ 42A - 21B + 24E - 12F & = & 16 \\ 21A + 7B + 27E + 9F & = & 3 \\ \end{array} \right.
Ce qui nous donne :
{A=−13−B−E−F6(−13−B−E−F)+3B+8E+4F=042(−13−B−E−F)−21B+24E−12F=1621(−13−B−E−F)+7B+27E+9F=3\left\lbrace \begin{array}{rcl} A & = & - \dfrac{1}{3} - B - E - F \\ 6\left( - \dfrac{1}{3} - B - E - F \right) + 3B + 8E + 4F & = & 0 \\ 42\left( - \dfrac{1}{3} - B - E - F \right) - 21B + 24E - 12F & = & 16 \\ 21\left( - \dfrac{1}{3} - B - E - F \right) + 7B + 27E + 9F & = & 3 \\ \end{array} \right.
Donc :
{A=−13−B−E−F−3B+2E−2F=2−63B−18E−54F=30−14B+6E−12F=10   ⟺   {A=−13−B−E−F3B=2−2E+2F−21B−6E−18F=10−7B+3E−6F=5\left\lbrace \begin{array}{rcl} A & = & - \dfrac{1}{3} - B - E - F \\ - 3B + 2E - 2F & = & 2 \\ - 63B - 18E - 54F & = & 30 \\ - 14B + 6E - 12F & = & 10 \\ \end{array} \right. \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} A & = & - \dfrac{1}{3} - B - E - F \\ 3B & = & 2 - 2E + 2F \\ - 21B - 6E - 18F & = & 10 \\ - 7B + 3E - 6F & = & 5 \\ \end{array} \right.
Ainsi :
{A=−13−B−E−F3B=2−2E+2F−7(2−2E+2F)−6E−18F=10−7(2−2E+2F3)+3E−6F=5   ⟺   {A=−13−B−E−F3B=2−2E+2F8E−32F=2423E−32F=29\left\lbrace \begin{array}{rcl} A & = & - \dfrac{1}{3} - B - E - F \\ 3B & = & 2 - 2E + 2F \\ - 7\left( 2 - 2E + 2F \right) - 6E - 18F & = & 10 \\ - 7\left( \dfrac{2 - 2E + 2F}{3} \right) + 3E - 6F & = & 5 \\ \end{array} \right. \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} A & = & - \dfrac{1}{3} - B - E - F \\ 3B & = & 2 - 2E + 2F \\ 8E - 32F & = & 24 \\ 23E - 32F & = & 29 \\ \end{array} \right.
Soit encore :
{A=−13−B−E−F3B=2−2E+2FE−4F=323E−32F=29   ⟺   {A=−13−B−E−F3B=2−2E+2FE=3+4F23(3+4F)−32F=29\left\lbrace \begin{array}{rcl} A & = & - \dfrac{1}{3} - B - E - F \\ 3B & = & 2 - 2E + 2F \\ E - 4F & = & 3 \\ 23E - 32F & = & 29 \\ \end{array} \right. \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} A & = & - \dfrac{1}{3} - B - E - F \\ 3B & = & 2 - 2E + 2F \\ E & = & 3 + 4F \\ 23\left( 3 + 4F \right) - 32F & = & 29 \\ \end{array} \right.
Ce qui nous donne :
{A=−13−B−E−F3B=2−2E+2FE=3+4F69+60F=29   ⟺   {A=−13−B−E−F3B=2−2E+2FE=3+4F60F=−40\left\lbrace \begin{array}{rcl} A & = & - \dfrac{1}{3} - B - E - F \\ 3B & = & 2 - 2E + 2F \\ E & = & 3 + 4F \\ 69 + 60F & = & 29 \\ \end{array} \right. \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} A & = & - \dfrac{1}{3} - B - E - F \\ 3B & = & 2 - 2E + 2F \\ E & = & 3 + 4F \\ 60F & = & -40 \\ \end{array} \right.
D'où :
{A=−13−B−E−F3B=2−2E+2FE=3+4FF=−23   ⟺   {A=−13−B−E−F3B=2−2E+2FE=3−83F=−23   ⟺   {A=−13−B−E−F3B=2−2E+2FE=13F=−23\left\lbrace \begin{array}{rcl} A & = & - \dfrac{1}{3} - B - E - F \\ 3B & = & 2 - 2E + 2F \\ E & = & 3 + 4F \\ F & = & -\dfrac{2}{3} \\ \end{array} \right. \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} A & = & - \dfrac{1}{3} - B - E - F \\ 3B & = & 2 - 2E + 2F \\ E & = & 3 - \dfrac{8}{3} \\ F & = & -\dfrac{2}{3} \\ \end{array} \right. \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} A & = & - \dfrac{1}{3} - B - E - F \\ 3B & = & 2 - 2E + 2F \\ E & = & \dfrac{1}{3} \\ F & = & -\dfrac{2}{3} \\ \end{array} \right.
On en déduit alors que :
3B=2−2×13−2×23=2−23−43=2−63=2−2=03B = 2 - 2 \times \dfrac{1}{3} - 2 \times \dfrac{2}{3} = 2 - \dfrac{2}{3} - \dfrac{4}{3} = 2 - \dfrac{6}{3} = 2-2=0
Soit B=0B = 0.
Puis, on a :
A=−13−B−E−F=−13−0−13+23=−23+23=0A = - \dfrac{1}{3} - B - E - F = - \dfrac{1}{3} - 0 - \dfrac{1}{3} + \dfrac{2}{3} = - \dfrac{2}{3} + \dfrac{2}{3} = 0
On trouve donc que :
{A=0B=0E=13F=−23\left\lbrace \begin{array}{rcl} A & = & 0 \\ B & = & 0 \\ E & = & \dfrac{1}{3} \\ F & = & -\dfrac{2}{3} \\ \end{array} \right.
Finalement, dans R\mathbb{R}, la décomposition en éléments simples de FF est donnée par l'expression :
F(X)=1X3(X3+1)=1X3(X+1)(X2−X+1)=1X3−13(X+1)+X−23(X2−X+1){\color{red}{\boxed{F(X) = \dfrac{1}{X^3(X^3+1)} = \dfrac{1}{X^3(X + 1)(X^2-X+1)} = \dfrac{1}{X^3} - \dfrac{1}{3(X+1)} + \dfrac{X-2}{3(X^2-X+1)} }}}
Question 2

Décomposer FF en éléments simples dans C{\color{red}{\mathbb{C}}}.

Correction
Dans le résultat de la question précédente, à savoir :
F(X)=1X3(X3+1)=1X3(X+1)(X2−X+1)=1X3−13(X+1)+X−23(X2−X+1)F(X) = \dfrac{1}{X^3(X^3+1)} = \dfrac{1}{X^3(X + 1)(X^2-X+1)} = \dfrac{1}{X^3} - \dfrac{1}{3(X+1)} + \dfrac{X-2}{3(X^2-X+1)}
C'est le dernier terme X−23(X2−X+1)\dfrac{X-2}{3(X^2-X+1)} qui va changer. En effet, dans C\mathbb{C}, on a :
X2−X+1=0   X^2-X+1 = 0 \,\,\,
qui implique que :
{X1=1+i32X2=1−i32   ⟺   {X1=−−1−i32X2=−−1+i32   ⟺   {X1=−jˉX2=−j\left\lbrace \begin{array}{rcl} X_1 & = & \dfrac{1+i\sqrt{3}}{2} \\ X_2 & = & \dfrac{1-i\sqrt{3}}{2} \\ \end{array} \right. \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} X_1 & = & -\dfrac{-1-i\sqrt{3}}{2} \\ X_2 & = & -\dfrac{-1+i\sqrt{3}}{2} \\ \end{array} \right. \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} X_1 & = & -\bar{j} \\ X_2 & = & -j \\ \end{array} \right.
Donc, on en déduit que :
X2−X+1=(X−(−jˉ))(X−(−j))=(X+j)(X+jˉ)X^2-X+1 = \big( X - (-\bar{j}) \big) \big( X - (-j) \big) = (X + j)(X + \bar{j})
Donc, on a :
F(X)=1X3(X3+1)=1X3(X+1)(X+j)(X+jˉ)F(X) = \dfrac{1}{X^3(X^3+1)} = \dfrac{1}{X^3(X + 1)(X + j)(X + \bar{j})}
La décomposition en éléments simples de FF est donc de la forme :
F(X)=1X3(X3+1)=1X3(X+1)(X+j)(X+jˉ)=1X3−13(X+1)+AX+j+BX+jˉF(X) = \dfrac{1}{X^3(X^3+1)} = \dfrac{1}{X^3(X + 1)(X + j)(X + \bar{j})} = \dfrac{1}{X^3} - \dfrac{1}{3(X+1)} + \dfrac{\mathcal{A}}{X+j} + \dfrac{\mathcal{B}}{X+\bar{j}}
Donc :
(X+jˉ)F(X)=1X3(X+1)(X+j)=X+jˉX3−X+jˉ3(X+1)+(X+jˉ)AX+j+B(X+\bar{j})F(X) = \dfrac{1}{X^3(X + 1)(X + j)} = \dfrac{X+\bar{j}}{X^3} - \dfrac{X+\bar{j}}{3(X+1)} + \dfrac{(X+\bar{j})\mathcal{A}}{X+j} + \mathcal{B}
Si X=−jˉX = -\bar{j} alors on a :
1(−jˉ)3(−jˉ+1)(−jˉ+j)=0−0+0+B\dfrac{1}{(-\bar{j})^3(-\bar{j} + 1)(-\bar{j} + j)} = 0 - 0 + 0 + \mathcal{B}
Or, on a (−jˉ+j)=2iℑm(j)=2i32=i3(-\bar{j} + j) = 2i \Im\mathrm{m}(j) = 2i \dfrac{\sqrt{3}}{2} = i\sqrt{3}. Donc :
B=−1jˉ3(−jˉ+1)i3\mathcal{B} = \dfrac{-1}{\bar{j}^3(-\bar{j} + 1)i\sqrt{3}}
Puis jˉ3=1\bar{j}^3 = 1, d'où :
B=−1(1−jˉ)i3\mathcal{B} = \dfrac{-1}{(1-\bar{j})i\sqrt{3}}
Et, on a 1−jˉ=3+i321-\bar{j} = \dfrac{3+i\sqrt{3}}{2}, donc :
B=−2(3+i3)i3=2i(3+i3)3=16+i123=1+i36=−−1−i32×3=−jˉ3\mathcal{B} = \dfrac{-2}{(3+i\sqrt{3})i\sqrt{3}} = \dfrac{2i}{(3+i\sqrt{3})\sqrt{3}} = \dfrac{1}{6} + i \dfrac{1}{2\sqrt{3}} = \dfrac{1+i\sqrt{3}}{6} = -\dfrac{-1-i\sqrt{3}}{2 \times 3} = -\dfrac{\bar{j}}{3}
On obtient alors :
La décomposition en éléments simples de FF est donc de la forme :
F(X)=1X3(X3+1)=1X3(X+1)(X+j)(X+jˉ)=1X3−13(X+1)+AX+j−jˉ3(X+jˉ)F(X) = \dfrac{1}{X^3(X^3+1)} = \dfrac{1}{X^3(X + 1)(X + j)(X + \bar{j})} = \dfrac{1}{X^3} - \dfrac{1}{3(X+1)} + \dfrac{\mathcal{A}}{X+j} - \dfrac{\bar{j}}{3(X+\bar{j})}
Donc :
(X+j)F(X)=1X3(X+1)(X+jˉ)=X+jX3−X+j3(X+1)+A−(X+j)jˉ3(X+jˉ)(X+j)F(X) = \dfrac{1}{X^3(X + 1)(X + \bar{j})} = \dfrac{X+j}{X^3} - \dfrac{X+j}{3(X+1)} + \mathcal{A} - \dfrac{(X+j)\bar{j}}{3(X+\bar{j})}
Si X=jX = _j alors on a :
1(−j)3(−j+1)(−j+jˉ)=−j+jX3−−j+j3(−j+1)+A−(−j+j)jˉ3(−j+jˉ)\dfrac{1}{(-j)^3(-j + 1)(-j + \bar{j})} = \dfrac{-j+j}{X^3} - \dfrac{-j+j}{3(-j+1)} + \mathcal{A} - \dfrac{(-j+j)\bar{j}}{3(-j+\bar{j})}
Soit :
1(−j)3(−j+1)(−j+jˉ)=A\dfrac{1}{(-j)^3(-j + 1)(-j + \bar{j})} = \mathcal{A}
D'où :
A=1j3(1−j)(j−jˉ)\mathcal{A} = \dfrac{1}{j^3(1-j)(j - \bar{j})}
Or, on a (j−jˉ)=2iℑm(j)=2i32=i3(j-\bar{j}) = 2i \Im\mathrm{m}(j) = 2i \dfrac{\sqrt{3}}{2} = i\sqrt{3}. Et j3=1j^3 = 1, donc :
A=1(1−j)i3\mathcal{A} = \dfrac{1}{(1-j)i\sqrt{3}}
Puis, on a :
1−j=1−−1+i32=1+1−i32=3−i32=33−i32=3−i231 - j = 1 - \dfrac{-1 + i \sqrt{3}}{2} = 1 + \dfrac{1 - i \sqrt{3}}{2} = \dfrac{3 - i \sqrt{3}}{2} = \dfrac{\sqrt{3}\sqrt{3} - i \sqrt{3}}{2} = \dfrac{\sqrt{3} - i }{2}\sqrt{3}
Ainsi, on obtient :
A=13−i23i3=−2i3(3−i)=16−i123=16−i36=1−i36=−−1+i32×3=−j3\mathcal{A} = \dfrac{1}{\dfrac{\sqrt{3} - i }{2}\sqrt{3}i\sqrt{3}} = \dfrac{-2i}{3(\sqrt{3} - i)} = \dfrac{1}{6} - i\dfrac{1}{2\sqrt{3}} = \dfrac{1}{6} - i\dfrac{\sqrt{3}}{6} = \dfrac{1-i\sqrt{3}}{6} = -\dfrac{-1 + i\sqrt{3}}{2 \times 3} = - \dfrac{j}{3}
Finalement, dans C\mathbb{C}, la décomposition en éléments simples de FF est donc de la forme :
F(X)=1X3−13(X+1)−j3(X+j)−jˉ3(X+jˉ){\color{red}{\boxed{F(X) = \dfrac{1}{X^3} - \dfrac{1}{3(X+1)} - \dfrac{j}{3(X+j)} - \dfrac{\bar{j}}{3(X+\bar{j})} }}}