On continue encore ! - Exercice 1

On a :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} S(X) & = & X(X^6 + \alpha X^5 + \beta X^4 - X^3 + 5 X^2 - 2 X ) \\ T(X) & = & X( X^3 - 2 X + 1) \end{array} \right.$$
Posons alors :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} A(X) & = & X^6 + \alpha X^5 + \beta X^4 - X^3 + 5 X^2 - 2 X \\ B(X) & = & X^3 - 2 X + 1 \end{array} \right.$$
Ainsi, la division euclidienne de $$S$$ par $$T$$ suivant les puissances croissantes de $$X$$ jusqu'à l'ordre trois revient à celle de $$A$$ par $$B$$ (car le terme constant de $$B$$, à savoir $$1$$, n'est pas nul). On a donc :

Le reste de cette division peut s'écrire :
$$(\beta + 4) X^4 + (\alpha - 1) X^5 = X^4 ((\beta + 4) + (\alpha - 1) X) = X^{3+1} ((\beta + 4) + (\alpha - 1) X)$$
En posant $$Q(X) = -2X + X^2 + X^3$$ et $$R(X) = \beta + 4 + (\alpha - 1)X$$, on peut donc écrire que :
$$A(X) = B(X) \times Q(X) + X^{3+1} R(X)$$

La condition $$T$$ divise $$S$$ est équivalente à $$B$$ divise $$A$$, ce qui implique que $$R(X)=0$$. D'où :
$$\beta + 4 + (\alpha - 1)X = 0 \,\,\,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\,\,\, \left\lbrace{\color{red}{\begin{array}{rcl} \alpha & = & 1 \\ \beta & = & - 4 \end{array} }} \right.$$