Polynômes & Décomposition en éléments simples

On continue encore ! - Exercice 1

20 min
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Autour de la division polynomiale selon les puissances croissantes.
Question 1
Soit deux nombres réels α\alpha et β\beta.
On considère les deux polynômes SS et TT, à coefficients réels, suivants :
S(X)=X7+αX6+βX5X4+5X32X2etT(X)=X42X2+XS(X) = X^7 + \alpha X^6 + \beta X^5 - X^4 + 5 X^3 - 2 X^2 \,\,\,\,\,\,\, \mathrm{et} \,\,\,\,\,\,\, T(X) = X^4 - 2 X^2 + X

Effectuer la division euclidienne de SS par TT suivant les puissances croissantes de XX jusqu'à l'ordre trois.

Correction
On a :
{S(X)=X(X6+αX5+βX4X3+5X22X)T(X)=X(X32X+1)\left\lbrace \begin{array}{rcl} S(X) & = & X(X^6 + \alpha X^5 + \beta X^4 - X^3 + 5 X^2 - 2 X ) \\ T(X) & = & X( X^3 - 2 X + 1) \end{array} \right.
Posons alors :
{A(X)=X6+αX5+βX4X3+5X22XB(X)=X32X+1\left\lbrace \begin{array}{rcl} A(X) & = & X^6 + \alpha X^5 + \beta X^4 - X^3 + 5 X^2 - 2 X \\ B(X) & = & X^3 - 2 X + 1 \end{array} \right.
Ainsi, la division euclidienne de SS par TT suivant les puissances croissantes de XX jusqu'à l'ordre trois revient à celle de AA par BB (car le terme constant de BB, à savoir 11, n'est pas nul). On a donc :

Le reste de cette division peut s'écrire :
(β+4)X4+(α1)X5=X4((β+4)+(α1)X)=X3+1((β+4)+(α1)X)(\beta + 4) X^4 + (\alpha - 1) X^5 = X^4 ((\beta + 4) + (\alpha - 1) X) = X^{3+1} ((\beta + 4) + (\alpha - 1) X)
En posant Q(X)=2X+X2+X3Q(X) = -2X + X^2 + X^3 et R(X)=β+4+(α1)XR(X) = \beta + 4 + (\alpha - 1)X, on peut donc écrire que :
A(X)=B(X)×Q(X)+X3+1R(X)A(X) = B(X) \times Q(X) + X^{3+1} R(X)
Question 2

Déterminer les valeurs des deux nombres α\alpha et β\beta pour que TT divise SS.

Correction
La condition TT divise SS est équivalente à BB divise AA, ce qui implique que R(X)=0R(X)=0. D'où :
β+4+(α1)X=0{α=1β=4\beta + 4 + (\alpha - 1)X = 0 \,\,\,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\,\,\, \left\lbrace{\color{red}{\begin{array}{rcl} \alpha & = & 1 \\ \beta & = & - 4 \end{array} }} \right.