La formule d'Euler - Exercice 1

La décomposition en éléments simples de la fraction rationnelle $$R$$ dans $$\mathbb{C}(X)$$ est de la forme :
$$R(X) = \sum_{k=1}^{n} \dfrac{A_k}{X - a_k} \,\,\,\,\,\,\,\, \big(k \in [\![ n \, ; \, p ]\!] \big)$$
Les $$n \in \mathbb{N}$$ coefficients complexes $$A_k$$ se calculent tous en multipliant, $$\bf{successivement}$$, l'expression $$R(X) = \dfrac{P(X)}{Q(X)}$$ par $$X-a_k$$ et en posant après $$X = a_k$$. En effet, on a :
$$(X-a_k)R(X) = \dfrac{P(X)}{Q(X)}(X-a_k) = \dfrac{P(X)}{(X-a_1) \, (X-a_2) \cdots (X-a_k) \cdots (X-a_n)}(X-a_k)$$
En simplifiant par le terme non nul $$(X-a_k)$$, on obtient alors :
$$(X-a_k)R(X) = \dfrac{P(X)}{Q(X)}(X-a_k) = \dfrac{P(X)}{(X-a_1) \, (X-a_2) \cdots \cdots (X-a_n)}$$
D'où l'écriture :
$$(X-a_k)R(X) = \dfrac{P(X)}{Q(X)}(X-a_k) = \dfrac{P(X)}{\displaystyle{\prod_{i (\neq k)=1}^{n}} (X -a_i)}$$
Puis, on a :
$$(X-a_k)R(X) = \sum_{i=1}^{n} \dfrac{A_i(X-a_k)}{X - a_i} = A_k + \sum_{i(\neq k)=1}^{n} \dfrac{A_i(X-a_k)}{X - a_i}$$
D'où l'égalité des deux expressions de $$(X-a_k)R(X)$$ :
$$A_k + \sum_{i(\neq k)=1}^{n} \dfrac{A_i(X-a_k)}{X - a_i} = \dfrac{P(X)}{\displaystyle{\prod_{i (\neq k) =1}^{n}} (X -a_i)}$$
Dans cette dernière relation, posons $$X = a_k$$, on obtient alors :
$$A_k + \sum_{i(\neq k)=1}^{n} \dfrac{A_i(a_k-a_k)}{a_k - a_i} = \dfrac{P(a_k)}{\displaystyle{\prod_{i (\neq k)=1}^{n}} (a_k -a_i)} \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, A_k + 0 = \dfrac{P(a_k)}{\displaystyle{\prod_{i (\neq k)=1}^{n}} (a_k -a_i)}$$
Soit :
$$A_k = \dfrac{P(a_k)}{\displaystyle{\prod_{i (\neq k)=1}^{n}} (a_k -a_i)} \,\,\,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\,\,\, {\color{red}{R(X) = \sum_{k=1}^{n} \dfrac{\dfrac{P(a_k)}{\displaystyle{\prod_{i (\neq k)=1}^{n}} (a_k -a_i)}}{X - a_k} }}$$

On sait que :
$$R(X) = \dfrac{P(X)}{Q(X)} \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \sum_{k=1}^{n} \dfrac{A_k}{X - a_k} = \dfrac{P(X)}{Q(X)} \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, P(X) = Q(X)\sum_{k=1}^{n} \dfrac{A_k}{X - a_k}$$
Ce qui peut encore s'écrire comme :
$$P(X) = \sum_{k=1}^{n} Q(X) \dfrac{A_k}{X - a_k} \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, P(X) = \sum_{k=1}^{n} \prod_{i = 1}^{n} (X-a_i) \dfrac{A_k}{X - a_k}$$
Donc, en simplifiant par le terme non nul $$X-a_k$$, on trouve que :
$$P(X) = \sum_{k=1}^{n} \prod_{i(\neq k) = 1}^{n} (X-a_i) A_k \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, P(X) = \sum_{k=1}^{n} A_k \prod_{i(\neq k) = 1}^{n} (X-a_i)$$
Dans cette expression, le terme $$\displaystyle{\prod_{i(\neq k) = 1}^{n}} (X-a_i)$$ représente un polynôme de degré $$n-1$$ qui à la forme suivante (début et fin) :
$$\displaystyle{\prod_{i(\neq k) = 1}^{n}} (X-a_i) = X^{n-1} + \cdots + (-1)^{n-1}\displaystyle{\prod_{i(\neq k) = 1}^{n}} a_i$$
Ce qui implique que :
$$A_k \displaystyle{\prod_{i(\neq k) = 1}^{n}} (X-a_i) = A_k X^{n-1} + \cdots + A_k (-1)^{n-1} \displaystyle{\prod_{i(\neq k) = 1}^{n}} a_i$$
On en déduit alors que le polynôme $$P$$ à la "\textit{structure}" suivante :
$$P(X) = \left(\sum_{k = 1}^{n} A_k \right) X^{n-1} + \cdots + (-1)^{n-1} \sum_{k = 1}^{n} A_k \displaystyle{\prod_{i(\neq k) = 1}^{n}} a_i$$
Or, le sujet nous indique que $$P$$ est un polynôme de "degré $$n-2$$ au plus, ce qui implique que le coefficient devant $$X^{n-1}$$ est automatiquement nul. Ce qui nous permet d'écrire que :
$$\sum_{k = 1}^{n} A_k = 0$$
C'est à dire que l'on a bien :
$${\color{red}{\sum_{k = 1}^{n} \dfrac{P(a_k)}{\displaystyle{\prod_{i (\neq k)=1}^{n}} (a_k -a_i)} = 0}}$$

Soit $$s$$ un entier naturel tel que $$0 \leqslant s \leqslant n-2$$.
Plaçons-nous dans le cas particulier pour lequel :
$$P(X) = X^s \,\,\,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\,\,\, P(a_k) = a_k^s$$
Dans ce cas, on obtient les formules dites d'$$Euler$$ suivantes :
$${\color{red}{\sum_{k = 1}^{n} \dfrac{a_k^s}{\displaystyle{\prod_{i (\neq k)=1}^{n}} (a_k -a_i)} = 0 }}$$