Polynômes & Décomposition en éléments simples

Histoire de parité - Exercice 1

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Point  Meˊthode{\color{red}{\bf{Point \,\, Méthode}}} :
Soit FF est une fraction rationnelle paire ou impaire.
Si aa est un pôle d'ordre mm de FF, alors −a−a est également un pôle d'ordre mm de FF.
En comparant les décompositions en éléments simples de F(X)F(X) et F(−X)=±F(X)F(−X) = \pm F(X), et en utilisant leur unicité, on obtient des relations entre les coefficients de la décomposition en éléments simples de FF.
Question 1
Soit XX une indéterminée.
On considère la fraction rationnelle FF suivante :
F(X)=1(X2−1)(X2+1)2F(X) = \dfrac{1}{(X^2-1)(X^2+1)^2}
On note par ii le nombre complexe tel que i2=−1i^2 = -1.

En faisant usage des propriétés de parité, déterminer, dans R\mathbb{R}, la décomposition en éléments simples de FF.

Correction
On constate que :
F(−X)=1((−X)2−1)((−X)2+1)2=1(X2−1)(X2+1)2=F(X)F(-X) = \dfrac{1}{\big((-X)^2-1\big) \big((-X)^2+1\big)^2} = \dfrac{1}{(X^2-1)(X^2+1)^2} = F(X)
Donc, FF est paire.
Dans R\mathbb{R}, on a la factorisation suivante :
F(X)=1(X−1)(X+1)(X2+1)2F(X) = \dfrac{1}{(X-1)(X+1)(X^2+1)^2}
On en déduit la forme de la décomposition en éléments simples suivante :
F(X)=1(X−1)(X+1)(X2+1)2=AX−1+BX+1+CX+DX2+1+EX+F(X2+1)2F(X) = \dfrac{1}{(X-1)(X+1)(X^2+1)^2} = \dfrac{A}{X-1} + \dfrac{B}{X+1} + \dfrac{CX+D}{X^2+1} + \dfrac{EX+F}{(X^2+1)^2}
On en déduit alors que :
F(−X)=A−X−1+B−X+1+−CX+D(−X)2+1+−EX+F((−X)2+1)2F(-X) = \dfrac{A}{-X-1} + \dfrac{B}{-X+1} + \dfrac{-CX+D}{(-X)^2+1} + \dfrac{-EX+F}{((-X)^2+1)^2}
Soit :
F(−X)=−BX−1+−AX+1+−CX+DX2+1+−EX+F(X2+1)2F(-X) = \dfrac{-B}{X-1} + \dfrac{-A}{X+1} + \dfrac{-CX+D}{X^2+1} + \dfrac{-EX+F}{(X^2+1)^2}
Or, la parité de FF nous permet d'écrire que :
F(X)=F(−X)F(X) = F(-X)
Soit encore :
AX−1+BX+1+CX+DX2+1+EX+F(X2+1)2=−BX−1+−AX+1+−CX+DX2+1+−EX+F(X2+1)2\dfrac{A}{X-1} + \dfrac{B}{X+1} + \dfrac{CX+D}{X^2+1} + \dfrac{EX+F}{(X^2+1)^2} = \dfrac{-B}{X-1} + \dfrac{-A}{X+1} + \dfrac{-CX+D}{X^2+1} + \dfrac{-EX+F}{(X^2+1)^2}
L'unicité (voir les rappels de cours) de la décomposition en éléments simple de FF impose alors A=−BA = -B et que C=−CC = -C, donc C=0C =0, mais également E=−EE = -E, ce qui nous donne E=0E = 0.
Ainsi, on obtient la forme de la décomposition en éléments simple de FF suivante :
F(X)=AX−1−AX+1+DX2+1+F(X2+1)2F(X) = \dfrac{A}{X-1} - \dfrac{A}{X+1} + \dfrac{D}{X^2+1} + \dfrac{F}{(X^2+1)^2}
Ceci nous permet d'écrire que :
(X−1)F(X)=1(X+1)(X2+1)2=A−(X−1)AX+1+(X−1)DX2+1+(X−1)F(X2+1)2(X-1)F(X) = \dfrac{1}{(X+1)(X^2+1)^2} = A - \dfrac{(X-1)A}{X+1} + \dfrac{(X-1)D}{X^2+1} + \dfrac{(X-1)F}{(X^2+1)^2}
Si X=1X = 1 alors on obtient :
1(1+1)(12+1)2=A−(1−1)A1+1+(1−1)D12+1+(1−1)F(12+1)2   ⟺   18=A−0+0+0   ⟺   A=18\dfrac{1}{(1+1)(1^2+1)^2} = A - \dfrac{(1-1)A}{1+1} + \dfrac{(1-1)D}{1^2+1} + \dfrac{(1-1)F}{(1^2+1)^2} \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \dfrac{1}{8} = A - 0 + 0 + 0 \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, A = \dfrac{1}{8}
Donc :
F(X)=18(X−1)−18(X+1)+DX2+1+F(X2+1)2F(X) = \dfrac{1}{8(X-1)} - \dfrac{1}{8(X+1)} + \dfrac{D}{X^2+1} + \dfrac{F}{(X^2+1)^2}
Ceci nous permet d'écrire que :
(X2+1)2F(X)=1(X−1)(X+1)=(X2+1)28(X−1)−(X2+1)28(X+1)+(X2+1)D+F(X^2+1)^2F(X) = \dfrac{1}{(X-1)(X+1)} = \dfrac{(X^2+1)^2}{8(X-1)} - \dfrac{(X^2+1)^2}{8(X+1)} + (X^2+1)D + F
Si X=iX = i alors on obtient :
1(i−1)(i+1)=(i2+1)28(i−1)−(i2+1)28(X+1)+(i2+1)D+F   ⟺   1i2−12=(−1+1)28(i−1)−(−1+1)28(X+1)+(−1+1)D+F\dfrac{1}{(i-1)(i+1)} = \dfrac{(i^2+1)^2}{8(i-1)} - \dfrac{(i^2+1)^2}{8(X+1)} + (i^2+1)D + F \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \dfrac{1}{i^2-1^2} = \dfrac{(-1+1)^2}{8(i-1)} - \dfrac{(-1+1)^2}{8(X+1)} + (-1+1)D + F
Soit :
1−1−1=0−0+0+F   ⟺   1−2=F   ⟺   F=−12\dfrac{1}{-1-1} = 0 - 0 + 0 + F \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \dfrac{1}{-2} = F \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, F = -\dfrac{1}{2}
Donc, on obtient :
F(X)=1(X2−1)(X2+1)2=18(X−1)−18(X+1)+DX2+1−12(X2+1)2F(X) = \dfrac{1}{(X^2-1)(X^2+1)^2} = \dfrac{1}{8(X-1)} - \dfrac{1}{8(X+1)} + \dfrac{D}{X^2+1} - \dfrac{1}{2(X^2+1)^2}
Posons X=0X = 0, on trouve alors :
F(X=0)=1(02−1)(02+1)2=18(0−1)−18(0+1)+D02+1−12(02+1)2   ⟺   −1=−18−18+D−12F(X=0) = \dfrac{1}{(0^2-1)(0^2+1)^2} = \dfrac{1}{8(0-1)} - \dfrac{1}{8(0+1)} + \dfrac{D}{0^2+1} - \dfrac{1}{2(0^2+1)^2} \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, -1 = -\dfrac{1}{8} - \dfrac{1}{8} + D - \dfrac{1}{2}
Donc :
12−1=−28+D   ⟺   −12=−14+D   ⟺   −12+14=D   ⟺   D=−14\dfrac{1}{2} - 1 = -\dfrac{2}{8} + D \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, -\dfrac{1}{2} = -\dfrac{1}{4} + D \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, -\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} = D \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, D = -\dfrac{1}{4}
Finalement, la décomposition en éléments simples, dans R\mathbb{R}, est donnée par l'expression suivante :
F(X)=1(X2−1)(X2+1)2=18(X−1)−18(X+1)−14(X2+1)−12(X2+1)2{\color{red}{\boxed{F(X) = \dfrac{1}{(X^2-1)(X^2+1)^2} = \dfrac{1}{8(X-1)} - \dfrac{1}{8(X+1)} - \dfrac{1}{4(X^2+1)} - \dfrac{1}{2(X^2+1)^2} }}}