Fractions rationnelles et leurs décompositions

Une fraction rationnelle se présente sous la forme $$\dfrac{P}{Q}$$, où $$P$$ et $$Q$$ sont deux polynômes, et $$Q$$ est non nul.
Si $$\deg(P) > \deg(Q)$$ on peut alors réaliser la division de $$P$$ par $$Q$$, suivant les puissances décroissantes, pour faire apparaître une partie entière, qui est un polynôme $$E$$, et une nouvelle fraction rationnelle $$\dfrac{P_1}{Q}$$, avec cette fois la condition $$\deg(P_1) < \deg(Q)$$. Dans ce cas, on a :
$$P = QE + P_1$$
Soit :
$$\dfrac{P}{Q} = E + \dfrac{P_1}{Q}$$
L'objectif est de savoir décomposer, en éléments simples, la fraction rationnelle $$\dfrac{P_1}{Q}$$.
C'est pourquoi nous allons nous intéresser à la fraction rationnelle $$\dfrac{P}{Q}$$ avec la condition $$\deg(P) < \deg(Q)$$. Cela signifie que la fraction rationnelle $$\dfrac{P}{Q}$$ est $${\color{blue}{\bf{irréductible}}}$$. En outre, nous ferons l'hypothèse que les coefficients de $$P$$ et $$Q$$ sont réels.
On appelle $${\color{red}{\bf{pôle}}}$$ de la fraction rationnelle, toute valeur de l'indéterminée $$X$$ qui annule le dénominateur $$Q$$. Les pôles peuvent être réels ou complexes. Autrement dit, les pôles de la fraction rationnelle $$\dfrac{P}{Q}$$ sont les racines du numérateur $$Q$$.

Si $$a$$ est une racine de $$Q$$, alors $$Q(a)=0$$.
Si cette racine $$a$$ est d'ordre de multiplicité $$m$$, alors $$Q$$ peut se mettre sous la forme $$Q = (X-a)^m Q_1$$.
Dans ce cas on a :
$$\dfrac{P}{Q} = \dfrac{P}{(X-a)^m Q_1} \,\,\,\, \mathrm{avec} : Q_1(a) \neq 0$$
De plus, comme la fraction rationnelle $$\dfrac{P}{Q}$$ est $${\color{blue}{\bf{irréductible}}}$$ cela implique que $$P$$ n'est pas factorisable par $$X-a$$, et de fait $$a$$ n'est pas une racine de $$P$$, donc $$P(a) \neq 0$$.
Et on a la décomposition suivante :
$$\dfrac{P(X)}{Q(X)} = \dfrac{P(X)}{(X-a)^m Q_1(X)} = {\color{red}{\dfrac{A_1}{(X-a)^m} + \dfrac{A_2}{(X-a)^{m-1}} + \cdots + \dfrac{A_m}{X-a}}} + {\color{blue}{\dfrac{R(X-a)}{Q_1(X)}}} \,\,\,\, \mathrm{avec :} \deg(R) < \deg(Q_1)$$
La première partie s'appelle $${\color{red}{\bf{la \,\, partie \,\, principale}}}$$ relative au pôle $$a$$. Il s'agit d'un polynôme de degré $$m$$, le terme final est $${\color{blue}{\bf{une \,\, fraction \,\, rationnelle}}}$$ qui n'admet pas $$a$$ comme pôle. Les nombres réels $$A_1$$, $$A_2$$, $$\cdots$$, $$A_m$$ sont à déterminer. Par exemple, si on multiplie $$\dfrac{P(X)}{Q(X)}$$ par $$(X-a)^m$$, alors on obtient :
$$\dfrac{(X-a)^mP(X)}{Q(X)} = \dfrac{P(X)}{Q_1(X)} = {\color{red}{A_1 + A_2(X-a) + \cdots + A_m(X-a)^{m-1}}} + {\color{blue}{\dfrac{(X-a)^mR(X-a)}{Q_1(X)}}}$$
Puis, en posant $$X=a$$, il reste donc :
$$\dfrac{P(a)}{Q_1(a)} = {\color{red}{A_1}}$$

Nous allons maintenant décrire la méthodologie générale à une décomposition en élément simples d'une fraction rationnelle $$F$$.
Soit $$F = \dfrac{N}{D}$$ une fraction rationnelle, $$N$$ et $$D$$ sont deux polynômes de l'indéterminée $$X$$.
$${\color{green}{\bf{\diamondsuit \,\, Si \,\, }} \deg(N) \geqslant \deg(D)}$$
Alors on réalise la division euclidienne du dividende $$N$$ par le diviseur $$D$$. Notons respectivement par $$Q$$ et $$R$$ le quotient et le reste de cette division euclidienne. On obtient alors :
$$N = DQ + R$$
Soit :
$$F = \dfrac{N}{D} = Q + \dfrac{R}{D}$$
Dans ce cas $$Q$$ est la partie entière de la fraction rationnelle $$F$$ et $$\dfrac{R}{D}$$ est la partie fractionnaire (parfois appelée partie polaire) de la fraction rationnelle $$F$$. La partie fractionnaire $$\dfrac{R}{D}$$ est telle que $$\deg(R) < \deg(D)$$.
Ensuite, on décompose en éléments simples la La partie fractionnaire $$\dfrac{R}{D}$$ comme expliqué dans le point ci dessous.
$${\color{green}{\bf{\diamondsuit \diamondsuit \,\, Si \,\, }} \deg(N) < \deg(D)}$$
Alors on factorise le dénominateur $$D$$. Suivant que la factorisation se déroule dans $$\mathbb{R}$$ ou $$\mathbb{C}$$ la procédure est légèrement différente. De manière générale, on a :
$${\color{gblack}{\spadesuit \,\, Dans \,\, \mathbb{R} :}}$$
Notons par $$a_1$$, $$a_2$$, $$\cdots$$, $$a_n$$, les $$n \in \mathbb{N}^\star$$ différentes racines réelles du dénominateur $$D$$, dont les multiplicités respectives sont notées $$m_1$$, $$m_2$$, $$\cdots$$, $$m_n$$. Il est toujours possible, avec $$\alpha \in \mathbb{R}^\star$$, de mettre $$D$$ sous la forme :
$$D = \alpha \prod_{i=1}^{n}(X-a_i)^{m_i} \prod_{j=1}^{k}(X^2 + \gamma_j X + \beta_j)^{p_j}$$
Les coefficients $$\gamma_j$$ et $$\beta_j$$ (avec $$j \in [\![1\,;\,k]\!])$$ sont tous réels et doivent vérifier la condition suivante :
$$\forall j \in [\![1\,;\,k]\!], \,\, \gamma_j^2 - 4 \beta_j < 0$$
Cette condition permet simplement de s'assurer que les $$k \in \mathbb{N}$$ polynômes du second degré $$X^2 + \gamma_j X + \beta_j$$ soit non factorisable dans $$\mathbb{R}$$.
$${\color{gblack}{\spadesuit \spadesuit \,\, Dans \,\, \mathbb{C} :}}$$
Notons par $$c_1$$, $$c_2$$, $$\cdots$$, $$c_n$$, les $$n \in \mathbb{N}^\star$$ différentes racines complexes du dénominateur $$D$$, dont les multiplicités respectives sont notées $$m_1$$, $$m_2$$, $$\cdots$$, $$m_n$$. Il est toujours possible, avec $$\alpha \in \mathbb{C}^\star$$, de mettre $$D$$ sous la forme :
$$D = \alpha \prod_{i=1}^{n}(X-c_i)^{m_i}$$
Puis, à ce stade, il ne nous reste plus qu'à écrire formellement la décomposition en éléments simples. Suivant que l'on travaille dans $$\mathbb{R}$$ ou $$\mathbb{C}$$, la forme de la décomposition en éléments simples est donnée par :
$${\color{gblack}{\spadesuit \,\, Dans \,\, \mathbb{R} :}}$$
On conserve les mêmes notations.
Notons par $$a_1$$, $$a_2$$, $$\cdots$$, $$a_n$$, les $$n \in \mathbb{N}^\star$$ différentes racines réelles du dénominateur $$D$$, dont les multiplicités respectives sont notées $$m_1$$, $$m_2$$, $$\cdots$$, $$m_n$$. Il est toujours possible, avec $$\alpha \in \mathbb{R}^\star$$.
La fraction rationnelle $$F$$ s'écrit comme :
$$F = Q + \sum_{i=1}^{n} \left( \sum_{j=1}^{m_i} \dfrac{r_{ij}}{(X-a_i)^j} \right) + \sum_{i=1}^{k} \left( \sum_{j=1}^{p_i} \dfrac{\varepsilon_{ij} X + \mu_{ij}}{(X^2 + \alpha_j X + \beta_j)^j} \right)$$
Les coefficients $$r_{ij}$$, $$\varepsilon_{ij}$$ et $$\mu_{ij}$$ sont tous des nombres réels, et ceci quelque soit las valeurs des indices $$i$$ et $$j$$. Par des méthodes diverses il faut tous les déterminer.
$${\color{gblack}{\spadesuit \spadesuit \,\, Dans \,\, \mathbb{C} :}}$$
On conserve les mêmes notations.
Notons par $$c_1$$, $$c_2$$, $$\cdots$$, $$c_n$$, les $$n \in \mathbb{N}^\star$$ différentes racines complexes du dénominateur $$D$$, dont les multiplicités respectives sont notées $$m_1$$, $$m_2$$, $$\cdots$$, $$m_n$$. Il est toujours possible, avec $$\alpha \in \mathbb{C}^\star$$.
La fraction rationnelle $$F$$ s'écrit comme :
$$F = Q + \sum_{i=1}^{n} \left( \sum_{j=1}^{m_i} \dfrac{r_{ij}}{(X-c_i)^j} \right)$$
Les coefficients $$r_{ij}$$ sont tous des nombres complexes, et ceci quelque soit las valeurs des indices $$i$$ et $$j$$. Par des méthodes diverses il faut tous les déterminer.