Forme de décomposition en éléments simples - Exercice 2

On a :
$$F(X) = \dfrac{X+8}{5X^2(X+1)^3(X^2+3X+10)^2}$$
Donc, dans $$\mathbb{R}$$, la forme de la décomposition en éléments simples est la suivante :
$${\color{red}{\boxed{F(X) = \dfrac{A}{X} + \dfrac{B}{X^2} + \dfrac{C}{X+1} + \dfrac{D}{(X+1)^2} + \dfrac{E}{(X+1)^3} + \dfrac{FX+G}{X^2+3X+10} + \dfrac{HX+I}{(X^2+3X+10)^2} }}}$$
$${\color{blue}{\bf{ \clubsuit \,\, Remarque :}}}$$
Vous pouvez vous AMUSER à déterminer la valeur des neuf coefficients afin d'obtenir la décomposition en éléments simples suivante :
$${\color{blue}{\boxed{ F(X) = -\dfrac{139}{2500X} + \dfrac{2}{125X^2} + \dfrac{1141}{20480(X+1} + \dfrac{53}{1280(X+1)^2} + \dfrac{7}{320(X+1)^3} - \dfrac{289X+5202}{2560000(X^2+3X+10)} - \dfrac{63X+256}{64000(X^2+3X+10)^2} }}}$$

Le degré du numérateur est supérieur au degré du dénominateur, donc nous devons réaliser la division euclidienne du numérateur (la dividende) par la dénominateur (le diviseur). On obtient alors :
$$X^5 - 4X^3 + 4X^2 = (X^4 - 2X^3 - X + 2) \times (X+2) + (5X^2-4)$$
Donc le quotient est $$Q(X) = X+2$$ et le reste est $$R(X) = 5X^2-4$$.
Donc, on obtient :
$$F(X)= \dfrac{X^5 - 4X^3 + 4X^2}{X^4 - 2X^3 - X + 2} = \dfrac{(X^4 - 2X^3 - X + 2) \times (X+2) + (5X^2-4)}{X^4 - 2X^3 - X + 2}$$
Soit :
$$F(X)= \dfrac{X^5 - 4X^3 + 4X^2}{X^4 - 2X^3 - X + 2} = X+2 + \dfrac{5X^2-4}{X^4 - 2X^3 - X + 2}$$
Nous allons devoir réduire en élément simple la fraction rationnelle $$\mathcal{F}$$ suivante :
$$\mathcal{F} = \dfrac{5X^2-4}{X^4 - 2X^3 - X + 2}$$
Afin de factoriser le dénominateur $$X^4 - 2X^3 - X + 2$$ nous allons chercher une racine évidente. On constate que $$X = 1$$ est une racine évidente. En effet :
$$1^4 - 2\times 1^3 - 1 + 2 = 1 - 2 - 1 + 2 = 0$$
Utilisons le tableau de $$Horner$$ pour réaliser la factorisation de $$X^4 - 2X^3 - X + 2$$ par $$X - 1$$. On a alors :
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline & 1 & -2 & 0 & -1 & 2 \\ \hline 1 & & 1 & -1 & -1 & -2 \\ \hline & 1 & -1 & -1 & -2 & {\color{red}{0}}\\ \hline\end{array}$$
Donc, on peut donc écrire que :
$$X^4 - 2X^3 - X + 2 = (X - 1) \times (X^3-X^2-X-2)$$
Maintenant nous devons essayer de factoriser le polynôme $$X^3-X^2-X-2$$. Nous constatons que $$X = 2$$ est une racine évidente. En effet, nous avons :
$$2^3-2^2-2-2 = 8 - 4 - 2 - 2 = 4 - 4 = 0$$
Donc, utilisons à nouveau le tableau de $$Horner$$ pour réaliser la factorisation de $$X^3-X^2-X-2$$ par $$X - 2$$. On a alors :
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline & 1 & -1 & -1 & -2 \\ \hline 2 & & 2 & 2 & 2 \\ \hline & 1 & 1 & 1 & {\color{red}{0}} \\ \hline\end{array}$$
Donc, on peut donc écrire que :
$$X^3-X^2-X-2 = (X - 2) \times (X^2+X+1)$$
Donc, on peut donc écrire que :
$$X^4 - 2X^3 - X + 2 = (X - 1) \times (X - 2) \times (X^2+X+1)$$
Le discriminant associé au polynôme du second degré $$X^2+X+1$$ est $$\Delta = 1^2 - 4 \times 1 \times 1 = 1 - 4 = -3 < 0$$. Donc ce polynôme du second degré $$X^2+X+1$$ n'est pas factorisable dans $$\mathbb{R}$$. Ainsi, on trouve que :
$$\mathcal{F}(X) = \dfrac{5X^2-4}{X^4 - 2X^3 - X + 2} = \dfrac{5X^2-4}{(X - 1) \times (X - 2) \times (X^2+X+1)}$$
La décomposition en éléments simples associée à $$\mathcal{F}$$ est donc donnée par l'expression suivante :
$$\mathcal{F}(X) = \dfrac{5X^2-4}{X^4 - 2X^3 - X + 2} = \dfrac{A}{X - 1} + \dfrac{B}{X - 2} + \dfrac{CX+D}{X^2+X+1}$$
Finalement, on trouve que la décomposition en éléments simples associée à $$F$$ est donc donnée par l'expression suivante :
$${\color{red}{\boxed{F(X) = \dfrac{X^5 - 4X^3 + 4X^2}{X^4 - 2X^3 - X + 2} = X + 2 + \dfrac{A}{X - 1} + \dfrac{B}{X - 2} + \dfrac{CX+D}{X^2+X+1} }}}$$
$${\color{blue}{\bf{ \clubsuit \,\, Remarque :}}}$$
Vous pouvez vous AMUSER à déterminer la valeur des quatre coefficients afin d'obtenir la décomposition en éléments simples suivante :
$${\color{blue}{\boxed{ F(X) = X + 2 - \dfrac{1}{3(X - 1)} - \dfrac{16}{7(X - 2)} - \dfrac{29X-11}{21(X^2+X+1)} }}}$$